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1、2.交错级数的收敛判别法,3.绝对收敛与条件收敛,4.任意项级数的收敛判别法,1.正项级数的收敛判别法,2 数项级数的收敛判别法,前面所讲的常数项级数中，各项均可是正数，负数或零。正项级数是其中一种特殊情况。如果级数中各项是由正数或零组成，这就称该级数为正项级数。同理也有负项级数。而负项级数每一项都乘以后即变成正项级数，两者有着一些相仿的性质，正项级数在级数中占有很重要的地位。很多级数的敛散性讨论都会转为正项级数的敛散性.,定义 设级数,为正项级数.,显然,正项级数的部分和sn数列是单调增加的，即,一、正项级数的收敛判别法,定理 正项级数,收敛,有界.,证:“,”,收敛,收敛,有界.,有界,又
2、,是一个单调上升数列,存在,收敛.,“,”,证明:这是一个正项级数，其部分和为:,故sn有界，所以原级数收敛.,定理1(比较判别法),设,与,是两个正项级数，,且,那么,（1）如果,收敛，则,收敛。,（2）如果,发散，则,发散。,证:设,和,分别表示,和,的部分和，,显然由,(1),收敛,有界,有界,也收敛.,(2),发散,无界,无界,也发散.,例2 判定p-级数,的敛散性.,(常数 p0),由此可得结论，p级数当 时发散，p1时收敛.,证明,思考题：若正项级数,则下列级数的敛散性,(2),(3),收敛，,(1),例4 判断下列级数的敛散性,定理2（比较审敛法的极限形式）,证明,由比较审敛法的
3、推论,得证.,(2)由于,(=0),取=1时，N 0,当n N时，,故由比较判别法，当=0时，,(3)由于,(=)，故,M 0(不妨取M 1),N 0,当n N 时，,即 0 vn un,由比较判别法，当=时，,解,原级数发散.,故原级数收敛.,练习1 判别级数,的敛散性(a0为常数),解：因为,(即=1为常数),又,是调和级数，它是发散的,发散.,故原级数,练习2 判别级数,的敛散性，其中,x0为常数.,解：由于,而,是n=2的P一级数，收敛的,故原级数,比值审敛法的优点:,不必找参考级数.,两点注意:,例7 判别级数,解:,由比值判别法可知所给级数发散.,由比值判别法可知所给级数发散.,例
4、9 判别级数,的敛散性,其中x0为常数,解：记,即=01，故该级数收敛.,例10 判别级数,的敛散性,其中x0为常数.,解：记,即=x2,由达朗贝尔判别法.,当|x|=1 时，=1,但原级数为,这是 n=2 的 p一级数，是收敛的.,综上所述，当 0 1 时，原级数发散.,当0|x|1时，1,级数收敛.,当|x|1时，1,级数发散.,解,比值审敛法失效,改用比较审敛法,级数收敛.,例12 判别级数,的敛散性,其中x0,a0为常数,解：记,即,当xa时，,当0 xa时，,当 x=a 时，=1,但,故原级数发散.,综上所述，当 0 xa 时，原级数收敛.当 x a时，原级数发散.,二、交错级数及其
5、审敛法,定义:正、负项相间的级数称为交错级数.,证明,满足收敛的两个条件,定理证毕.,解,原级数收敛.,练习 判别级数,的敛散性.,解：这是一个交错级数，,又,令,x2,+)，则,x2,+),故 f(x)2,+)，即有unun+1成立 由莱布尼兹判别法，该级数收敛.,三、绝对收敛与条件收敛,定义 正项和负项任意出现的级数称为任意项级数.,证明,上定理的作用：,任意项级数,正项级数,例如,解,故由定理知原级数绝对收敛.,解,故由定理知原级数发散.,练习2 级数,是否绝对收敛?,解：,由调和级数的发散性可知,故,发散.,但原级数是一个收敛的交错级数,故原级数是条件收敛，不是绝对收敛的.,绝对收敛的级数几个注释：,1、绝对收敛的级数不因为改变其项的位置而改变 其和.这也叫级数的重排.对于一般的级数则不 成立.,2、对于级数的乘法，我们规定两个级数按多项式 乘法规则形式地作乘法：,如果两个级数都绝对收敛，则两个级数相乘所得到的级数也绝对收敛；且当,若两个级数不绝对收敛，则上式不一定成立。,四、任意项级数的收敛判别法,绝对收敛定理只能判别级数的绝对收敛性，而不能判别级数的条件收敛性。为了讨论级数的条件收敛性，我们给出两个常用的一般级数判别发，先看一个引理。,
