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1、微积分讲课提纲,微积分（I）浙江大学理学院讲课人：朱静芬,第三节 函数极限,一、函数极限的概念,二、函数极限的性质,三、函数极限存在的准则,五、两个重要极限,四、无穷小量、无穷大量、阶的比较,一、无穷小,语言表述 当 时,有 则,例如,（4）不能说函数 是无穷小,应该说在什么 情况下的无穷小.即指出自变量的变化过程.,注意:,（1）无穷小是变量,不能与很小的数混淆;,（2）零是可以作为无穷小的唯一的数.,（3）此概念对数列极限也适用.若,称 数列 为 的无穷小。,有界量与无界量,若存在 的某空心邻域，使f(x)在 内有界，则称f(x)当 时是有界量。,对 无论多么小的某空心邻域，任给M 0，存
2、在 x,使|f(x)|M，称 f(x)当 时是无界量。,定义：,定义：,2、无穷小与函数极限的关系:,意义,（1）将一般极限问题转化为特殊极限问题(无穷小);,3、无穷小的运算性质:,定理2 在同一过程中,有限个无穷小的代数和仍是无穷小.,证,注意无穷多个无穷小的代数和未必是无穷小.,定理3 有界函数与无穷小的乘积是无穷小.,证,推论1 在同一过程中,有极限的变量与无穷小的乘积是无穷小.,推论2 常数与无穷小的乘积是无穷小.,推论3 有限个无穷小的乘积也是无穷小.,例如,注意无穷多个无穷小的乘积未必是无穷小.,例如,极限不同,反映了趋向于零的“快慢”程度不同.,观察各极限,二、无穷小的比较,定
3、义:,例如，,例：,证明,充分性,三、无穷大,注意,（1）无穷大是变量,不能与很大的数混淆;,不是无穷大,无界，,无穷大是一种特殊的无界变量,但是无界变量未必是无穷大.,证,2、无穷大的运算性质,(2)在某极限过程中,无穷大量与有界量之和仍为无穷大量.,(3)在某极限过程中,有限个无穷大量之积仍是一个无穷大量.,不是无穷大量,是无穷大量,考察,考察,无穷大量与有界量之积不一定是无穷大量.,3、无穷小与无穷大的关系,定理4 在同一过程中,无穷大的倒数为无穷小;恒不为零的无穷小的倒数为无穷大.,证,意义 关于无穷大的讨论,都可归结为关于无穷小的讨论.,解:,(1),证明,四、两个重要极限,例.求,例.求,推广:,例.求,解.,例.求,解.,例.求,定义：,例：求,解 原式,例,解,定理(等价无穷量替换定理),证,意义：在求函数极限时，分子、分母、中的因式可以用它们的简单的等价量来替换，以便进行化简。但替换以后的函数极限要存在或为无穷大。,注意：分子、分母中进行加、减的项不能替换，应分解因式，用因式来替换。,例 求,解,例 求,解,例,解,不能滥用等价无穷小代换.,注意,切记，只可对函数的因子作等价无穷小代换，对于代数和中各无穷小不能分别代换.,解：,例,解,解,错,连续两次使用等价无穷小替代.,等价无穷小替代,例：,解：,例,解,
