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1、3.5 无穷小量与无穷大量,本节讨论极限的求法。利用极限的定义，从变量的变化趋势来观察函数的极限，对于比较复杂的函数难于实现。为此需要介绍极限的运算法则。首先来介绍无穷小。,一、无穷小,在实际应用中，经常会遇到极限为0的变量。对于这种变量不仅具有实际意义，而且更具有理论价值，值得我们单独给出定义,1.定义:,极限为零的变量称为无穷小.,例如,注意,1.称函数为无穷小，必须指明自变量的变化过程；,2.无穷小是变量,不能与很小的数混淆;,3.零是可以作为无穷小的唯一的数.,2.无穷小与函数极限的关系:,证,必要性,充分性,意义,1.将一般极限问题转化为特殊极限问题(无穷小);,3.无穷小的运算性质
2、:,定理2 在同一过程中,有限个无穷小的代数和仍是无穷小.,证,注意无穷多个无穷小的代数和未必是无穷小.,定理3 有界函数与无穷小的乘积是无穷小.,证,推论1 在同一过程中,有极限的变量与无穷小的乘积是无穷小.,推论2 常数与无穷小的乘积是无穷小.,推论3 有限个无穷小的乘积也是无穷小.,都是无穷小,二、无穷大,绝对值无限增大的变量称为无穷大.,特殊情形：正无穷大，负无穷大,注意,1.无穷大是变量,不能与很大的数混淆;,3.无穷大是一种特殊的无界变量,但是无界变量未必是无穷大.,无界，,不是无穷大,证,三、无穷小与无穷大的关系,定理4 在同一过程中,无穷大的倒数为无穷小;恒不为零的无穷小的倒数
3、为无穷大.,证,意义 关于无穷大的讨论,都可归结为关于无穷小的讨论.,极限运算法则的证明,定理,证,由无穷小运算法则,得,有界，,注,此定理对于数列同样成立,此定理证明的基本原则：,(1),(2)可推广到任意有限个具有极限的函数,(2)有两个重要的推论,四、无穷小的比较,例如,观察各极限,不可比.,极限不同,反映了趋向于零的“快慢”程度不同.,定义:,例1,解,例2,解,常用等价无穷小:,注,上述10个等价无穷小（包括反、对、幂、指、三）必须熟练掌握,用等价无穷小可给出函数的近似表达式:,一般地有,即与等价,与互为主要部分,例如,补充,高阶无穷小的运算规律,五、等价无穷小替换,定理(等价无穷小
4、替换定理),证,意义,求两个无穷小之比的极限时，可将其中的分子或分母或乘积因子中的无穷小用与其等价的较简单的无穷小代替，以简化计算。具体代换时，可只代换分子，也可只代换分母，或者分子分母同时代换。,例3,解,注意,不能滥用等价无穷小代换.,对于代数和中各无穷小不能分别替换.,等价关系具有：自反性，对称性，传递性,例4,解,错,解,例5,解,例6 求,解一,解二,解三,例7 求,解,关于1型极限的求法,无穷小与无穷大是相对于过程而言的.,1、主要内容:,两个定义;四个定理;三个推论.,2、几点注意:,（1）无穷小（大）是变量,不能与很小（大）的数混淆，零是唯一的无穷小的数；,（2）无穷多个无穷小
5、的代数和（乘积）未必是无穷小.,（3）无界变量未必是无穷大.,六、小结,3.无穷小的比较:,反映了同一过程中,两无穷小趋于零的速度快慢,但并不是所有的无穷小都可进行比较.,高(低)阶无穷小;等价无穷小;无穷小的阶.,4.等价无穷小的替换:,求极限的又一种方法,注意适用条件.,作业,P66:1,2,3,5,6.,思考题1,思考题2,在某个过程中，若 有极限，无极限，那么 是否有极限？为什么？,思考题1解答,不能保证.,例,有,思考题2解答,没有极限,假设 有极限，,有极限，,由极限运算法则可知：,必有极限，,与已知矛盾，,故假设错误,思考题,任何两个无穷小量都可以比较吗？,思考题解答,不能,例当 时,都是无穷小量,但,不存在且不为无穷大,故当 时,
