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1、无穷级数与函数逼近,孙永健制作 二四年二月,无穷级数与函数逼近,级数和的演示 函数幂级数展开 傅立叶级数,定义 称为级数 的前n项和(n=1,2,).简称部分和.,由此可由无穷级数，得到一个部分和数列,若 存在，则称级数 收敛，并称此极限值S为级数的和，记为.若 不存在，则称级数 发散.,例1：观察 的部分和序列 的变化趋势，并求和。,级数和的演示,解：,程序1,Sn_:=Sum1/k2,k,ndata=TableSn,n,100;ListPlotdata,运行后的图象,图1,程序1 再求出其和来,Sn_:=Sum1/k2,k,ndata=TableSn,n,100;ListPlotdataN
2、Sum1/k2,k,Infinity,运行后得其和的近似值为,1.644934066848,例2,求 的和,程序2,sn_:=Sum(-1)k/k2,k,nd=Tablesn,n,100;ListPlotdNSum(-1)n/n2,n,1,Infinity,图2,图3,运行后得其和的近似值为,-0.82246703342411321,例3,求幂级数 的和。,程序3,Sumxn/(n*3n),n,1,Infinity,运行后的结果,函数幂级数展开例4,写出函数f(x)=sinx的幂级数展开式，并利用图形考察幂级数部分和逼近函数的情况。,解：,幂级数展开必为：即为Maclaurin级数,展开式为,
3、故sinx可展开为,程序4,fx_:=Sinxgn_,x_=Dfx,x,n;sn_,x_:=Sumgk,0*xk/k!,k,0,n,程序4,fx_:=Sinxgn_,x_=Dfx,x,n;sn_,x_:=Sumgk,0*xk/k!,k,0,nDoPlotsn,x,Sinx,x,-Pi,Pi,PlotRange-1.1,1.1,PlotStyle-RGBColor0,0,1,RGBColor1,0,0,n,1,9,2,运行后的图象,图4,图5,图6,图7,图8,结论1,从这些图可以比较清晰地看到幂级数展开式前n项部分和逼近函数的情况，这里n=9，在区间-,上幂级数与函数本身看起来已没有什么差异。
4、我们再来看分别在闭区间-,和-2,2 上在同一个坐标系中这些图象的情况,程序4,fx_:=Sinxgn_,x_=Dfx,x,n;sn_,x_:=Sumgk,0*xk/k!,k,0,nDoPlotsn,x,Sinx,x,-Pi,Pi,PlotRange-1.1,1.1,PlotStyle-RGBColor0,0,1,RGBColor1,0,0,n,1,9,2t=Tablesn,x,n,1,9,2;PlotEvaluatet,x,-Pi,PiPlotEvaluatet,x,-2Pi,2Pi,运行后的图象,图9,图10,图11,结论2,从图中可看到，函数的幂级数展开式的前n项部分和函数逼近函数的程度
5、，随着n的增大而提高。但对于确定n而言，它只在展开点附近的一个局部范围内才有较好的近似精确度。,傅立叶级数,自然界中许多现象是周期性重复的，例如，声波是空气粒子周期性振动而产生的，人们呼吸时肺部的运动和心脏的跳动也是周期性的，交流电也体现了周期变化。对自然界的这种周期变化现象可以用周期函数近似地描述。在数学上也就是用三角多项式逼近函数的问题，傅立叶级数就是一种逼近的方法,以2为周期的周期函数f(x)的傅立叶级数由下式所定义：其中,例5,设周期为2的周期函数f(x)在一个周期内的表达式为试生成f(x)的傅立叶级数，并从图上观察该函数的部分和逼近f(x)的情况。,程序5,fx_:=Whichx50,PlotStyle-RGBColor0,0,1,RGBColor1,0,0,n,1,21,4,运行后的图象,图12,图13,图14,图15,图16,图17,感谢大家,请提宝贵意见,
