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1、第三节 格林公式及其应用,一.格林公式,二.平面上曲线积分与路径无关的条件,三.二元函数的全微分求积,一.对弧长的曲线积分第一类曲线积分,二、对坐标的曲线积分第二类曲线积分,三、两种曲线积分的关系,复习,一.格林公式,平面单连通与复连通区域的概念:,否则称为复连通区域.,单连通（无洞）,复连通（有洞）,当你沿这个方向行走时,区域。,内靠近你的那一部分区域总在你的左侧.,第三节 格林公式及其应用,定理1,分析:,只须证:,函数,则有,格林(Green)公式,因,超过两个。,所以,证,（1）,所以,证毕.,解,由格林公式得,画草图,例2,计算,其中 D 是以 O(0,0),A(1,1),B(0,1
2、)为,顶点的三角形闭区域.,解,证,由格林公式得,边界.,由格林公式得,解,解,构造成封闭曲线,由格林公式知,添加辅助线,解,（1）若,由格林公式得,（2）若,添加辅助线,取顺时针方向.,由格林公式得,特别地，格林公式中,则,所以,解,若取,二.平面上曲线积分与路径无关的条件,恒有,成立，,即,内与路径无关.,等价于,定理2,导数,证,有,即曲线积分与路径无关.,反证法.,不妨设,存在,内恒有,则,矛盾.,证毕,解,在整个平面区域内曲线积分与路径无关,例9 计算,解,所以曲线积分与路径无关。,取折线,三.二元函数的全微分求积,对可微函数,其全微分为,问题:,如何求出这个函数,定理3,充要条件是
3、,且,导数，,证,必要性,设存在某 u(x,y),使得,则,从而,这个积分写成,当起点,给定时,这个积分的值由终点 M(x,y),所确定.因此它是 x,y 的函数,记为,下面证明,由偏导数的定义,充分性,设条件在G内成立,为起点 M(x,y)为终点的曲线积分与路径无关.于是可把,由定理2知,在区域G内以,从而,由定积分中值定理,上式两边除以x,并令x0取极限,可得,同理可证,因函数 P(x,y),Q(x,y)都是连续的,故函数 u(x,y)可微分,并且,证毕.,是某个函数的全微分,并求出一个这样的函数。,解,所以,是某个函数的全微分。,注.,若积分路线的起点不同,所得结果可能差一常数.,例11,并求出一个这样的函数.,解,令,因此在右半平面内,是某个函数的全微分.,在右半平面内恒成立.,就有,在右半平面(x 0)内是某个函数的全微分,验证,取积分路线如图所示,
