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1、9-6 有电介质时的高斯定理 电位移,1.有电介质时的高斯定理 电位移,同时考虑自由电荷和束缚电荷产生的电场,总电场,束缚电荷,自由电荷,由电荷守恒定律和面上束缚电荷，得面内束缚电荷,高 斯,定义：电位移矢量,有介质时的高斯定理,通过电介质中任一闭合曲面的电位移通量等于该面包围的自由电荷的代数和。,有电介质时的高斯定理 电位移,代入得,同时描述电场和电介质极化的复合矢量。,电位移线与电场线,性质不同。,电位移矢量,有电介质时的高斯定理 电位移,有电介质存在时的高斯定理的应用,（1）分析自由电荷分布的对称性，选择适当的高斯面，求出电位移矢量。,（2）根据电位移矢量与电场的关系，求出电场。,（3）
2、根据电极化强度与电场的关系，求出电极化强度。,（4）根据束缚电荷与电极化强度关系，求出束缚电荷。,2.三矢量之间关系,三矢量间关系,例1.一无限长同轴金属圆筒，内筒半径为R1，外筒半径为R2，内外筒间充满相对介电常数为r的油，在内外筒间加上电压U(外筒为正极），求电场及束缚电荷分布。,解：,根据自由电荷和电介质分布的对称性，电场强度和电位移矢量均应有柱对称性。,设内圆筒单位长度带电为，以r为底半径、l为高作一与圆筒同轴的圆柱面为高斯面，则,有电介质时的高斯定理 电位移,由电位移与电场的关系，知,内外筒电势差,代入得到电场的分布为：,沿半径向里,有电介质时的高斯定理 电位移,由,得电极化强度矢量
3、的分布,沿半径向里,束缚电荷在介质内表面为正，外表面为负。,有电介质时的高斯定理 电位移,例2.,一平板电容器板间为真空时，两极板上所带电荷的面密度分别为+和-，电压U0=200V。撤去充电电源，在板间按图示充以三种介质，介质1充满一半空间，介质2和3的厚度相同。求介质表面的束缚电荷。（忽略边缘效应）,解：,忽略边缘效应，板间各处、均垂直于板面,且在同一介质中相同。,以1、2分别表示极板左半部及右半部分的面电荷密度，表示各介质中的电场和电位移。,有电介质时的高斯定理 电位移,电介质中高斯定理,分别考虑三种介质：,介质1,介质2,介质3,在各电介质中作圆柱形高斯面，两底面平行于极板，上底在上极板
4、内。,侧面、上底面电场电位移通量均为零。,有电介质时的高斯定理 电位移,可解得,由电场与电位移关系得：,平衡时导体是等势体,电荷守恒,有电介质时的高斯定理 电位移,上负下正,上负下正,上负下正,有电介质时的高斯定理 电位移,例题9-6 一半径为R的金属球，带有电荷q0,浸埋在均匀“无限大”电介质（电容率为），求球外任一点P的场强及极化电荷分布。,解:根据金属球是等势体，而且介质又以球体球心为中心对称分布，可知电场分布必仍具球对称性，用有电介质时的高斯定理来。如图所示，过P点作一半径为r并与金属球同心的闭合球面S，由高斯定理知,有电介质时的高斯定理 电位移,所以,写成矢量式为,有电介质时的高斯定
5、理 电位移,结果表明：带电金属球周围充满均匀无限大电介质后，其场强减弱到真空时的1/r倍,可求出电极化强度为,电极化强度 与 有关，是非均匀极化。在电介质内部极化电荷体密度等于零，极化面电荷分布在与金属交界处的电介质变面上（另一电介质表面在无限远处），其电荷面密度为,有电介质时的高斯定理 电位移,因为r 1，上式说明恒与q0反号，在交界面处只有电荷和极化电荷的总电荷量为,总电荷量减小到自由电荷量的1/r倍，这是离球心r处P点的场强减小到真空时的1/r倍的原因。,有电介质时的高斯定理 电位移,解（1）设场强分别为E1 和E2，电位移分别为D1 和D2，E1和E2 与板极面垂直，都属均匀场。先在两
6、层电介质交界面处作一高斯闭合面S1，在此高斯面内的自由电荷为零。由电介质时的高斯定理得,例题9-7 平行板电容器两板极的面积为S，如图所示，两板极之间充有两层电介质，电容率分别为1 和2，厚度分别为d1 和d2，电容器两板极上自由电荷面密度为。求（1）在各层电介质的电位移和场强，（2）电容器的电容.,有电介质时的高斯定理 电位移,所以,即在两电介质内，电位移 和 的量值相等。由于,所以,可见在这两层电介质中场强并不相等，而是和电容率（或相对电容率）成反比。,有电介质时的高斯定理 电位移,为了求出电介质中电位移和场强的大小，我们可另作一个高斯闭合面S2，如图中左边虚线所示，这一闭合面内的自由电荷
7、等于正极板上的电荷，按有电介质时的高斯定理，得,方向都是由左指向右。,有电介质时的高斯定理 电位移,q=S是每一极板上的电荷，这个电容器的电容为,可见电容电介质的放置次序无关。上述结果可以推广到两极板间有任意多层电介质的情况（每一层的厚度可以不同，但其相互叠合的两表面必须都和电容器两极板的表面相平行）。,（2）正、负两极板A、B间的电势差为,有电介质时的高斯定理 电位移,q=S是每一极板上的电荷，这个电容器的电容为,可见电容电介质的放置次序无关。上述结果可以推广到两极板间有任意多层电介质的情况（每一层的厚度可以不同，但其相互叠合的两表面必须都和电容器两极板的表面相平行）。,（2）正、负两极板A、B间的电势差为,有电介质时的高斯定理 电位移,
