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1、第二章 有限元法的基本原理,第一节 弹性力学有关知识,第二节 平面问题有限元法,平面问题有限元法,数值计算方法,近似解,差分法、变分法,微分方程边值问题,离散、分片插值,单元、节点,非均匀网格简化插值函数,Review,单元通过节点连接,第一节 弹性力学有关知识,载荷(load)应力(Stress)应变(Strain)位移(Displacement),一、弹性力学中的物理量,Pv=pvx pvy pvzT,Pc=pcx pcy pczT,Ps=psx psy pszT,外界作用在弹性体上的力，又称为外力,载 荷,应 力,=x y z xy yz zx T,6个应力分量,应 变,=x y z x
2、y yz zx T,6个应变分量,Displacement,x axis:uy axis:vz axis:w,d=u v wT,位 移,变 形(deform,deformation),Pv=pvx pvy pvzT,Pc=pcx pcy pczT,Ps=psx psy pszT,=x y z xy yz zx T,=x y z xy yz zx T,d=u v wT,平衡方程 几何方程 物理方程,二、弹性力学的基本方程,Relationship among load,stress,strain and displacement,1、平衡方程,应力 载荷,2、几何方程,应变 位移,3、物 理 方
3、 程,应变 应力,平衡方程：3几何方程：6物理方程：6,15,15,=,Stress：6Strain：6Disp.：3,基本未知量,stresses 力法Displacements 位移法stress,displacements 混合法,三、虚位移原理,Learn by yourself,definition of plane problem,3D,四、平面问题定义,plane stress,一个方向的尺寸远小于其他两个方向的尺寸；载荷平行于平板平面内并沿厚度方向均匀分布,plane strain,一个方向的尺寸远大于其他两个方向的尺寸；载荷平行于截面并沿长度方向均匀分布,3D model,M
4、uch easier,位 移,载 荷,几何方程,物理方程,基本未知量,解题思路,Procedure of Static Analysis of Plane Stress Problem,第二节 平面问题有限元法,平面应力问题的线性静力分析,static loadlinearstress,deformation,一、结构离散,Procedure of Static Analysis,单元编号（element label）节点编号（node label）,(ui,vi)(uj,vj)(um,vm),Element label Node label Node location,Disp.Compon
5、ents:,已知,未知,(ui,vi)、(uj,vj)、(um,vm),二、单元分析(Element Analysis),目的：形成单元位移、应变、应力表达式 形成每个单元的刚度矩阵,1、位移函数(displacement function),位移插值函数,单元内的位移插值表达式,分片插值,节点位移，单元内任一点的位移,Ni、Nj、Nm,形函数物理意义,性 质,1.,2.,3.,Requirements for displacement function,(1)常数项,(2)线性项,(3)位移连续性,(4)几何各向同性,1 x y x2 xy y2 x3 x2y xy2 y3 x4 x3y x
6、2y2 xy3 y4 x5 x4y x3y2 x2y3 xy4 y5,收敛(convergence),位移函数应满足的条件,充分条件,位 移,载 荷,几何方程,物理方程,基本未知量,解题思路,2、单元应变和应力(element strain and stress),(l=i，j，m),应变矩阵,bi、bj、bm ci、cj、cm,常数矩阵,与单元形状有关,应力矩阵,基本未知量,数量有限！,质点位移d(x,y),3、单元刚度矩阵(element stiffness matrix),单元刚阵,单元材料 板的厚度 单元面积 单元形状,常数矩阵,单元平衡方程,单元刚阵的性质,(2)奇异性(singul
7、arity),(1)对称性(symmetry),二、单元分析(Element Analysis),目的：形成单元位移、应变、应力表达式,形成每个单元的刚度矩阵,Question?,Can you obtain qe by solving the equation above?,Why?,线性方程组,三、总刚集成,global stiffness matrix of the structure,内力抵消,总刚矩阵,(s=i，j，m),1、总刚集成原理,K,结构平衡方程,总刚矩阵(Global Stiffness Matrix),2、总刚集成过程,（1）扩阶过程,（2）叠加过程,3、总刚矩阵的特点
8、,对称性（Symmetry）KT=K 稀疏性（Sparse）带状性（Band）奇异性（singularity）|K|=0,四、载荷移置,Kq=R,Nodal force:Concentrated force at nodes,1、集中力的移置,=,2、面力的移置,3、体力的移置,Question?,Can you obtain q by solving the equation above?,Why?,Kq=R,线性方程组,Kq=R,五、约束处理,消除结构的刚体运动，从而消除K的奇异性,Time consuming!,六、求解线性方程组,七、计算其它物理量,位 移 法,节 点 位 移,无穷数量
9、的质点位移,八、计算结果处理,1=(+)/22=(+)/6,1=(+)/22=(+)/2,九、结果显示、打印、分析,procedure of static analysis,Discretion,Global stiffness matrix,Load Translation,Results Process&Display,Calculate Other Quantities,Restrain Process,Solve Equations,Element analysis,Discretion,Patch interpolation,Displacement function defined over a element,points:Infinite nodes:finite,Kq=R,qe:basic unknowns,q,Equilibrium equations for each element,Equilibrium equation for whole structure,solve,Summary,Any Question?,The End,
