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1、第十章 平板弯曲问题,10.1 Kirchhoff板单元10.2 Mindlin板单元10.3 离散Kirchhoff板单元10.4 小结,1,10.平板弯曲问题,本章要点板弯曲理论的基本假设和方程Kirchhoff板单元的构造方法和特点Mindlin板单元的构造方法和特点离散Kirchhoff单元的基本特点,有限元法基础,2,10.平板弯曲问题,关键概念C1类板单元 C0类板单元非协调板单元 协调板单元Ks奇异性条件 Ke非奇异性条件DKT板单元,有限元法基础,3,10.平板弯曲问题,有限元法基础,4,Z,X,Y,中面,板的特点：在一个方向的尺度远远小于其他两个方向，中面是平面，只承受横向载
2、荷。,10.1 Kirchhoff板单元,有限元法基础,5,一.基本方程Kirchhoff假设 1）变形前垂直于中面的直线段，变形后依然垂 直于中面，并且忽略它的伸缩变形 2）忽略厚度方向的应力，即,10.1 Kirchhoff板单元,有限元法基础,6,板中任意点的位移表示为,三维问题,二维问题,10.1 Kirchhoff板单元,有限元法基础,7,定义广义应变和 广义内力广义应力应变关系,抗弯刚度,10.1 Kirchhoff板单元,有限元法基础,8,应力与广义内力的关系平衡方程以中面挠度w表示的微分方程,10.1 Kirchhoff板单元,有限元法基础,9,边界条件1）固支类边界2）简支类
3、边界3）给定力边界,10.1 Kirchhoff板单元,有限元法基础,10,10.1 Kirchhoff板单元,有限元法基础,11,最小势能原理以上广义应变是挠度w的二阶导数关系，基于此理论的板单元是C1类连续问题。,10.1 Kirchhoff板单元,有限元法基础,12,有限元列式 设插值函数为 通过泛函取驻值得有限元方程 单元刚度矩阵,10.1 Kirchhoff板单元,有限元法基础,13,二.非协调矩形板单元 每节点有3DOF，4节点单元共12个节点DOF。,10.1 Kirchhoff板单元,有限元法基础,14,插值函数 按广义坐标有限元法，在Pascal三角形中选取12项多项式,10
4、.1 Kirchhoff板单元,有限元法基础,15,10.1 Kirchhoff板单元,有限元法基础,16,以节点DOF表示插值函数 表示为矩阵形式,10.1 Kirchhoff板单元,有限元法基础,17,以自然坐标表示,10.1 Kirchhoff板单元,有限元法基础,18,收敛性检查 1）位移模式 代表刚体位移 沿Z向的平移和绕y轴和X轴的转动 2）位移模式 代表常曲率,满足完备性要求,10.1 Kirchhoff板单元,有限元法基础,19,3）单元间连续性检查 单元边界为x=常数 或 y=常数，w是三次变化曲线。以23边为例，可以由 4个参数完全确定。在23边的法向导数为 为三次x变化,
5、而在边界上只有2个参数。,法向导数不连续,10.1 Kirchhoff板单元,有限元法基础,20,4）由于在单元间边界上法向导数不连续，所以插值函数是非协调的；5）单元不满足收敛准则，但是可以验证该单元通过补片试验（Patch Test），故当单元剖分不断缩小时，计算结果还是能收敛于精确解。,通过补片试验,实际验算,10.1 Kirchhoff板单元,有限元法基础,21,例:均布载荷下四边固支方形薄板,利用对称性取四分之一板计算,10.1 Kirchhoff板单元,有限元法基础,22,例:载荷作用下方形薄板,利用对称性取四分之一板计算,注：由于是非协调元，位移解并补满足下界条件,10.1 Ki
6、rchhoff板单元,有限元法基础,23,三.3节点三角形非协调板单元共有3 39个DOF三次完备多项式,i,j,m,10项,10.1 Kirchhoff板单元,有限元法基础,24,插值函数,面积坐标,刚体位移,常应变,10.1 Kirchhoff板单元,有限元法基础,25,坐标变换代入节点坐标求出系数，得到形函数,10.1 Kirchhoff板单元,有限元法基础,26,位移插值函数的特点 插值函数包含有完备的线性项和二次项，能正确反映刚体位移和常应变；在单元边界上，w是三次变化，可由两端节点的w 和w,s唯一确定，w是协调的；在单元边界上，w,n是二次变化的,不能由两端节点的w,n确定，w,
7、n是非协调的。,10.1 Kirchhoff板单元,有限元法基础,27,Irons等已证明如果单元网格是由3组等间距直线产生的，单元能够通过补片试验，并收敛于解析解。,10.1 Kirchhoff板单元,有限元法基础,28,3节点三角板元,四.协调单元思路：在边界(如i-j)上寻找校正函数，具有性质1）在全部边界上2）在 j-m,i-m 边上3)在 i-j 上，按二次变化，且在中点上取1,单元边界上w,n 二次变化,非协调元,10.1 Kirchhoff板单元,有限元法基础,29,插直函数w是非协调元的产值函数,为待定常数。目的：调整 使在单元边界中点处的 w,n等于两端节点的 w,n 的平均
8、值，也即使得边界上法向导数线性化，可由两端点的值唯一确定。,10.1 Kirchhoff板单元,有限元法基础,30,的确定线性化要求，在边界中点处,原插值函数计算出的各边界中点值,原插值函数计算的边界中点平均值,10.1 Kirchhoff板单元,有限元法基础,31,校正函数可以验证以上函数满足校正函数的要求，即在全部边界上等于零，在i-m和j-m边法向导数为零，在i-j边上 二次变化。令,10.1 Kirchhoff板单元,有限元法基础,32,单元特点单元协调性完全满足随着单元尺寸不断减小，解能单调收敛于精确解有高阶校正函数，要提高数值积分阶次实际计算时，单元往往过于刚硬,10.1 Kirc
9、hhoff板单元,有限元法基础,33,例：简支方板受中心集中力,协调薄板元列式的其他方法1）组合单元法 将四个三角形单元组合为一个四边形单元，选用特殊插值函数，使之满足连续性要求，并凝聚内部节点2）多节点参数法 引入高阶导数项作为节点DOF，以提高边界的协调性，例如,10.1 Kirchhoff板单元,有限元法基础,34,Reissner-Mindlin 变形假设 变形前垂直于中面的直线段，变形后仍然保持为直线段，但不在垂直于中面。,10.2 Mindlin板单元,有限元法基础,35,广义应变变分原理,10.2 Mindlin板单元,有限元法基础,36,一般取 k=5/6,位移插值,10.2
10、Mindlin板单元,有限元法基础,37,应变-节点DOF矩阵,10.2 Mindlin板单元,有限元法基础,38,有限元方程由泛函取极值条件得单元刚度矩阵,10.2 Mindlin板单元,有限元法基础,39,边界条件 三种类型：1）2）3）给定位移属于强制边界条件，给定内力属于自然边界条件,10.2 Mindlin板单元,有限元法基础,40,剪切自锁 与Timoshenko梁单元一样Mindlin板元中剪切能量引入后，存在罚因子现象解决办法有减缩积分、假设应变等方法多变量有限元也是常见的处理方法,10.2 Mindlin板单元,有限元法基础,41,积分方案目标：保证K非奇异性和Ks奇异性保证
11、K非奇异性的必要条件M单元数；ng高斯积分点数；d应变分量数；N系统的独立DOF数。N节点总数每节点DOF数给定约束数,10.2 Mindlin板单元,有限元法基础,42,对Mindlin板单元，保证K非奇异性的必要条件nb 和ns分别为Kb和Ks的高斯积分点数；db和ds分别为Kb和Ks的应变分量数，db3，ds2。保证Ks奇异性的必要条件,10.2 Mindlin板单元,有限元法基础,43,积分方案,10.2 Mindlin板单元,有限元法基础,44,假设应变法 以4节点Mindlin板元为例，为双线性插值，剪应变为,10.2 Mindlin板单元,有限元法基础,45,新泛函假设剪应变4节
12、点取样点,10.2 Mindlin板单元,有限元法基础,46,剪应变取样点,10.2 Mindlin板单元,有限元法基础,47,思路 使用Mindlin板理论，将薄板的C1类连续降为C0类连续问题，然后在一些离散点上和特定线上满足Kirchhoff假设，这样建立的单元避免了C1类的插值的难点，也避开了Ks奇异的处理。DKT单元只适合应用于薄板分析。,10.3 离散Kirchhoff薄板单元（DKT）,有限元法基础,48,泛函表达式位移插值,10.3 离散Kirchhoff薄板单元（DKT）,有限元法基础,49,离散Kirchhoff假设1）在角节点2）在各边中节点,10.3 离散Kirchhoff薄板单元（DKT）,有限元法基础,50,在单元边界假设三次w节点参数 wi，w,si 在i-j边上切向导数，其中lij为边长利用6个离散Kirchhoff约束条件可消除单元的6个边中点DOF，得到单元是9DOF的3节点三角形薄板元,10.3 离散Kirchhoff薄板单元（DKT）,有限元法基础,51,板弯曲理论中对垂直于中面的直线段的不同变形假设导致不同的连续性问题；使用C1类板理论建立有限元列式，选取连续的位移插值函比较困难；使用C0类板理论建立有限元列式，需要处理剪切自锁现象。,10.4 小结,有限元法基础,52,
