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1、8.1 引言 1.引起有限字长的误差源：A/D变换的量化误差；用有限精度的数表示系统各系数引起的量化误差；在运算时为限制数位扩展而进行的尾数处理(舍入或 截尾)及防止溢出而压缩信号电平所产生的量化误差；溢出振荡产生的误差；固定信号输入时产生的极限环振荡带来的误差；,第8章 数字系统的有限字长效应,2.与误差有关的因素：系统中数的表示方式 原码 补码 反码 数的处理方式：相加时的上溢 舍入 相乘时的下溢 截尾 滤波器的实现方式：IIR、FIR、FFT的各种不同实现方式；信号形式：规则信号、随机信号 3.分析方法：非线性模型 统计分析模型,二进制表数,浮点定点：快速、经济；常用于专用机,8.2 二
2、进制数的表示及量化误差 1.定点及浮点表数 x=2cM 定点表数：c=常数 特点：运算方便，实现简单，快速，经济；动态范围小；浮点表数：c随时调整，而且把尾数M的最高位调整为1，称为规格化表示，1 特点：动态范围大，但运算复杂，设备量大，速度慢；IEEE 7541985标准定义的单精度浮点格式 31 30 23 22 0,8 bit,23 bit,成组浮点：按运算要求把数分成若干组（例如FFT中，每 级作为一组），每组数中最大数的阶码c，作 为该组数的共同阶码，用这单一阶码做运算；特点：运算简单，同时有一定的精度。2.补码表数：又称“二的求补”补码定义：其真值为 b00 x0 b0=1 x0，
3、,0 x11 x0,Xmx Xm,b0符号位,bi为0或1,Xm：确定x表数范围，若系统用纯小数运算，则：Xm=1；有限位寄存储器数的表示：寄存储器为 B+1 位,经量化 3.补码相加运算及其特性 补码加法：f(x)=x1+x2=x12+x22=x1+x2 2 若符号位有进位，则舍弃,12B，其中最小量化间隔：q=2B,1,补码加法的两个重要特性：f(x)是x的周期性函数，周期为2；如果补码运算总和不溢出，则中间结果有溢出，不会影 响结果的正确性；表示为：fffffx1+x2+xN=fx1+x2+xN 相加溢出处理（上溢，overflow）饱和(saturation)处理 环绕（wrap）处理
4、 4.补码相乘运算 相乘由于字长加长引起下溢，处理方法,截尾(Truncation)舍入(Round-off),5.定点补码表数下溢处理量化误差分析：量化误差定义：e=xQ-x 1)定点表数、截尾处理量化误差：eT=xQ-x 正数x0情况：x=0b1 b2 bB bB+1 bB+2 bB1 若：bB+1=bB+2=bB+3=0，则有 xQ=x，eT=eTmin=xQ-x=0 bB+1=bB+2=bB+3=1，则有 eT=eTmax=xQ-x 0 eTmax=xQ-x=-2-B=q0-2-B=q eT0 负数x 0补码情况：x=1b1 b2 bB bB+1 bB+2 bB1,若：bB+1=bB+
5、2=bB+3=0，则有 xQ=x，eT=eTmin=xQ-x=0 bB+1=bB+2=bB+3=1，则有 eT=eTmax=xQ-x 0 eTmax=xQ-x=-2-B=q0-2-B=q eT0,q,2q,-q,-2q,q,2q,-q,-2q,截尾处理量化的非线性关系：,eT,P(eT),1/q,0,-q,xQ,x,2)定点表数、舍入处理量化误差：eR=xQ-x 正数x0情况：x=0b1 b2 bB bB+1 bB+2 bB1 若 bB+1=0,bB+2=bB+2=bB1=1,产生最大误差 eR=xQx=同样：若 bB+1=1,bB+2=bB+2=bB1=0,产生最大误差 eR=xQx=,舍入
6、量化误差范围：eR 负数x 0补码情况：x=1b1 b2 bB bB+1 bB+2 bB1 xQ=同样可以证明：舍入处理量化误差范围：eR=xQ-x,舍入处理量化的非线性关系：,xQ,x,q,2q,-q,-2q,2q,q,-q,-2q,eR,PeR,0,q,q,1/q,6.量化误差的统计分析模型：x(n)Q=x(n)+e(n)1)对e(n)统计特性的假设 2)e(n)的统计量表征：平均值：截尾处理：=Ee(n)=舍入处理：方差：两者相同=,舍入处理的自协方差序列 8.3 A/D变换中的量化误差 1.A/D变换的物理模型 非线性分析模型：统计分析模型：,取样器,量化器,xa(t),xa(nT)=
7、x(n),限带信号,取样器,xa(t),x(n),x(n)Q=x(n)+e(n),e(n),e(n)经常被看作量化误差，又被称为量化噪声，它的性质 如前面所述，对定点运算e(n)具有加性噪声性质；A/D统计分析模型经常用来估计A/D所需的位数；2.A/D变换输出（S/N）的计算 上式表明：字长每增加一位，提高6dB 3.A/D量化噪声通过线性系统,h(n),x(n),e(n),x(n)Q,y(n)Q=y(n)+f(n),设线性系统具有无限精度，h(n)=x(n)+e(n)h(n)=f(n)均值：mf=Ef(n)=E=me 对舍入处理：me=0,mf=0 f(n)方差：=E(f(n)-mf)2=
8、Ef2(n)=,mf=0,=,f(n)的自相关函数：ff(m)=Ef(n)f(n+m)=E 8.4 数字系统运算量化噪声的直观分析 数字系统的量化效应：系数量化效应：造成零、极点位置移动和频响变化；运算过程中的量化效应：相加形成溢出；相乘位数增加，尾数处理 形成量化噪声；,h(n)的自相关函数,1.定点补码运算、舍入处理运算量化噪声的模型,o,o,y(n),x(n),z-1,o,o,y(n),x(n),z-1,o,o,y(n)+f(n),x(n),z-1,Q,e(n),理想线性系统模型 非线性系统模型 统计分析模型 2.IIR滤波器运算量化噪声举例：,o,o,o,o,o,A,B,C,x(n),
9、y(n),2,z-1,z-1,e1(n),e2(n),e3(n),e4(n),e5(n),gi(n),ei(n),fi(n),3.并联系统运算量化噪声概述：并联系统运算量化噪声模型；从系数量化误差角度，由于零点无法控制，因而系数 量化后零点变化大，导至滤波器阻带性能变环；4.串联系统运算量化噪声概述：.串联系统运算量化噪声和组成系统的二阶子系统本身的 零、极点组合及二阶子系统前后组合有关；,串联系统运算量化噪声模型；构成二阶子系统本身的零、极点组合以就近搭配为原则，使频响比较平坦；从运算量化噪声角度。把临近 单位的高增益子系统，放在最 前面，以后按增益逐步递减排 列，这样高增益级不会频频放 大
10、各噪声分量；从信号角度，为防止溢出把低增益级放在前面，以提高；,12阶IIR滤波器的（椭圆）频率响应的幅度,未量化时通带带内频率响应,16位整数定点表示滤波器系数的直接实现幅度响应,16位整数定点表示滤波器系数的2阶并联实现幅度响应,16位整数定点表示滤波器系数的2阶级（串）联实现幅度响应,5.FIR滤波器运算量化噪声：对线性相位FIR滤波器的运算量化噪声；如果用级联形式实现，则希望是每个噪声源到输出端的 转移函数的频率特性比较平坦，没有很高的峰值增益；,28点冲激响应FIR滤波器频率响应的幅度,28点冲激响应FIR滤波器频率响应的幅度未量化时通带和组带衰减（通带逼近1的误差，阻带逼近0的误差
11、）,28点冲激响应FIR滤波器频率响应的幅度16位量化时通带和组带衰减（直接实现）,28点冲激响应FIR滤波器频率响应的幅度14位量化时通带和组带衰减（直接实现）,28点冲激响应FIR滤波器频率响应的幅度13位量化时通带和组带衰减（直接实现）,28点冲激响应FIR滤波器频率响应的幅度8位量化时通带和组带衰减（直接实现）,8.5 数字滤波器量化噪声的统计分析,gi(n),ei(n),fi(n),对每一个噪声源，其到输出的传输函数为gi(n),输出方差为：,输出,总输出方差,例：直接II型实现,等价结构,直接II型实现的总方差,一种改进的实现方式：增加双倍字长累加器结构,总方差,8.6 防止溢出的
12、压缩比例因子 1.问题的提出压缩比例概念 例：如图一阶系统，求输出端不溢出，输入信号的动 态范围,o,o,x(n),y(n),w(n),z1,2.对应不同输入x(n),节点变量w(n)的动态范围压缩比例准则 对定点表数，节点变量不溢出：1),有界输入情况,压缩比例因子：,准则,2)x(n)=cos(0n)为窄带信号,压缩比例因子：,3),能量有限信号,利用能量定理和Schwartz不等式，有：,压缩比例因子：,根据能量有限加的压缩比例因子称为 准则；准则过于宽松，在使用时乘以，即 其中与输入信号有关，一般可以取=5；试证明：,3.压缩比例因子的加入方式压缩比例规则 输入一次性加入：,H(z)1
13、,2 N,x(n),y(n),max=max(1,2 N),max,保持H(z)不变,缺点：对信号损失过大，导至输出端 变坏；,每一节点分别加入，而且使H(z)保持不变：,o,o,o,D(z),F(z)/,G(z),w(n),x(n),y(n),进入节点wi(n)各支路乘以 离开节点wi(n)各支路乘以,H(z)=D(z)+F(z)G(z),采用 准则，计算方便，而且是最小量化噪声网络实 现的依据；,1,4.计算举例：图,o,o,o,o,o,x(n),2,z-1,z-1,相加节点,传输系数大于1的节点,相加节点,相加节点,注：,o,o,o,o,o,1,1,2,1,1,2,1,2,3,2,3,2,2,3,z-1,z-1,x(n),y(n),压缩比例因子尽量被已有的乘法因子所吸收；加入压缩比例因子后的运算量化噪声：,o,o,o,o,o,A,B,C,x(n),y(n),2,z-1,z-1,max,1,max,若一次性加入：max=max=,
