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1、1,机械优化设计总复习,2,一 设计变量 在优化设计过程中，要优化选择的设计参数。设计变量必须是独立变量，即：在一个优化设计问题中，任意两个设计变量之间没有函数关系。二 设计空间 在一个优化设计问题中，所有可能的设计方案构成了一个向量集合。可以证明，这个向量集合是一个向量空间，并且是一个欧氏空间。一个优化设计问题中，设计变量的个数，就是它的设计空间的维数。三 目标函数 优化设计中要优化的某个或某几个设计指标，这些指标是设计变量的函数，称为目标函数。,第一章 优化设计的基本概念和理论,3,四 设计约束 优化设计中设计变量必须满足的条件，这些条件是设计变量的函数。,约束条件的分类（1）根据约束的性
2、质分边界约束 直接限定设计变量的取值范围的约束条件，即,性能约束 由方案的某种性能或设计要求，推导出来的约束条件。,i 1,2,，n,4,u=1,2,，m,v=1，2，p n,（2）根据约束条件的形式分不等式约束,一个 n 维的优化设计问题中，等式约束的个数必须少于 n。,显式约束 隐式约束,等式约束,5,*五 可行域 可行域:在设计空间中，满足所有约束条件的所构成的空间。,满足两项约束条件g1（X）=x12x2216 0g2（X）2x20的二维设计问题的可行域D,6,六 优化设计的数学模型,7,七 最优化设计的迭代解法及其收敛条件 最优化方法的迭代格式 k=0,1,2,二 最优化方法中迭代解
3、法的终止准则123,8,*一、目标函数的基本性质,1 函数的等值面（线）函数的等值面（线）是用来描述、研究函数的整体性质的。2 函数的最速下降方向梯度X1 点的最速下降方向为 局部性质,第二章 优化设计的数学基础,9,*二、用图解法求解简单的优化问题要求掌握 可行域、等值线,10,目标函数等值线是以点（2，0）为圆心的一组同心圆。如不考虑约束，本例的无约束最优解是：,，,约束方程所围成的可行域是D。,图1-9,11,*三 函数的近似表达式 f(X)的近似表达式为,H(X(k)为Hessian 矩阵,12,四 函数的凸性（了解）1.凸集2.凸函数 如果HESSEN矩阵正定，为凸函数；二次函数,3
4、.凸规划,13,*五、优化问题的极值条件,1、无约束优化问题的极值条件,1）F(x)在 处取得极值，其必要条件是:,即在极值点处函数的梯度为n维零向量。,14,2）处取得极值充分条件,海色（Hessian）矩阵 正定，即各阶主子式均大于零，则X*为极小点。,海色（Hessian）矩阵 负定，即各阶主子式负、正相间，则X*为极大点。,15,1）约束优化设计的最优点在可行域 D 中 最优点是一个内点，其最优解条件与无约束优化设计的最优解条件相同；,2、约束优化问题的极值条件,16,2）约束优化设计的最优点在可行域 D 的边界上 设 X(k)点有适时约束,库恩塔克条件（K-T条件）：,17,第三章
5、一维搜索的最优化方法,*一、确定最优解所在区间的进退法 在寻找一个区间 Xa,Xb，使函数 f(X)在该区间的极小点 X*Xa,Xb。*二、黄金分割法 用黄金分割法在区间 Xa,Xb 中寻找 X*。Xa，X1，X2，Xb 如何消去子区间？f(X1)f(X2)，消去X2，Xb，保留Xa，X2f(X1)f(X2)，消去Xa，X1，保留X1，Xb,18,第三章 一维搜索的最优化方法,了解一维搜索的插值类方法,19,*一、梯度法,负梯度方向 是函数最速下降方向。梯度法就是以负梯度方向作为一维搜索的方向，即 k=1,2,n,第 四 章 无约束最优化方法,20,在最速下降法中，相邻两个迭代点上的函数梯度相
6、互垂直。而搜索方向就是负梯度方向，因此相邻两个搜索方向互相垂直。,图4-2 最速下降法的搜索路径,*会证明：,21,二、牛顿法牛顿法的迭代公式 阻尼牛顿法的迭代公式牛顿方向,22,三、共轭方向法1、共轭方向定义：设 A 为 n n 阶实对称正定矩阵，有一组非零的 n 维向量 d1、d2、dn，若满足 diT A dj 则称向量系 di(i=1,2,n)对于矩阵 A 共轭。,23,2 二次收敛性定义：对于一个 n 维的二次函数若应用某种优化方法，经过有限次（一般不超过 n 次）一维搜索，就能找到极小点，则称该优化方法具有二次收敛性质。定理：共轭方向法具有二次收敛性。,24,*3、鲍威尔(Powe
7、ll)法 直接法 鲍威尔法原理，如何构成共轭方向？！改进的算法。,25,*四、单纯形方法,单纯形思想、原理、特点；四种操作：反射、扩张、收缩和缩边。,26,第五章 约束优化设计,一、关于设计约束的若干概念 可行域 所有满足全部约束条件的点的集合。,27,可行点 可行域中的点，即满足所有约束条件的点。边界点 在可行域边界上的点。若有点 Xk 使得 则 Xk 为一个边界点。内点 除边界点以外的所有可行点。若有点 Xk 满足 则 Xk 为一个内点。,28,非可行域 可行域以外的区域。非可行点 非可行域中的点，即不满足所有约束条件的点。适时约束 若有点 X k 使某个不等式约束 gu(X)0 的等号
8、成立，即 则称 g i(X)0 为点 X k 的一个适时约束。等式约束始终是适时约束。,29,*二、可行方向法,1 可行方向法的寻优策略,（1）当前点在约束面上，则产生一个可行方向寻优，得到新点在可行域内，则命名为当前点；（2）若得到的新点在可行域外，则取可行方向与约束面的交点为当前点；（3）沿线性约束面搜索；（4）沿非线性约束面搜索。,30,2 可行下降方向定义 设 d 是 的一个可行方向，即 若对于上式中的 X(k)、X(k+1)存在 则称 d为 X(k)点的一个可行下降方向。X(k)为可行域中的一个内点；,31,X(k)点是可行域中边界点；设 X(k)点在约束面 gj(X)=0，j=1,
9、2,J若 d 是 X(k)点的一个可行下降方向，则应有可行：下降：iii.X(k)为非可行点，不存在可行下降方向。,(1)负梯度方向；(2)优选方向法；(3)梯度投影法。,3 可行下降方向确定,32,*三、约束优化设计的复合形法 对约束优化问题1 确定初始复合形 选择（n+1K2n）顶点，这 k 个顶点必须是可行点。2 确定搜索方向计算 k 个顶点的函数值，设 记 最坏点 X(1)为 X(H)次坏点 X(2)为 X(SH)最好点 X(k)为 X(L),33,求出 X(2)、X(3)、X(k-1)、X(k)的点集的中心(几何中心)X(S)以 X(H)指向 X(S)的方向作为寻优的方向，沿此方向寻找一个较好的点 X(R)。若 f(X(R)f(X(H)，则以 X(R)代替 X(H)，构成新的复合形。,34,内点法,或,外点法,罚因子,混合法,罚因子,罚因子,*四、惩罚函数法,内点法和外点法的异同,35,*一、掌握多目标优化方法的原理及特点。,第六章 有关优化设计的数学模型 及其求解中的几个问题,36,二、数学模型的尺度变换,1、目标函数的尺度变换,数学模型的尺度变换是一种改善数学模型性态，使之易于求解的技巧。数学模型经过尺度变换后，可以加速优化过程的收敛，提高计算过程的稳定性,2、设计变量的尺度变换,3、约束函数的规格化,
