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1、Chapter 2 State Space Model,2 现代控制理论基础讲义 龚道雄,本章要点,理解控制系统的状态空间表示法的概念，对系统的完全描述。状态状态空间状态空间模型线性系统时不变系统线性时不变系统状态空间模型建立状态空间模型(例子)掌握系统数学模型之间的转换，即状态空间表达式与微分方程、传递函数、方块图之间的相互转换。了解这些不同模型之间的关系。,3 现代控制理论基础讲义 龚道雄,本章要点,熟悉系统的状态空间和状态变量图示法；状态空间模型的标准型对角标准型约当标准型模态标准型传递函数矩阵定义状态空间模型和方框图转化为传递函数矩阵,线性时不变系统的几种描述方式,目录,一、状态空间模
2、型二、微分方程描述与状态空间模型三、传递函数模型与状态空间模型四、方框图组合与状态空间模型五、状态空间模型的标准型,一、状态空间模型,有关状态、状态空间及状态空间表达式等线性系统的基本概念是现代控制理论中状态空间分析的基础。状态空间分析又是研究最优控制、滤波问题和系统辨识的基础。因此，本章内容为现代控制理论的基础知识。,7 现代控制理论基础讲义 龚道雄,一、状态空间模型,小车-倒立摆例子,8 现代控制理论基础讲义 龚道雄,一、状态空间模型,小车-倒立摆例子,9 现代控制理论基础讲义 龚道雄,一、状态空间模型,简化,10 现代控制理论基础讲义 龚道雄,一、状态空间模型,用一阶微分方程组表示系统模
3、型！,引入新的变量,11 现代控制理论基础讲义 龚道雄,一、状态空间模型,12 现代控制理论基础讲义 龚道雄,一、状态空间模型,13 现代控制理论基础讲义 龚道雄,一、状态空间模型质量弹簧阻尼模型,14 现代控制理论基础讲义 龚道雄,一、状态空间模型质量弹簧阻尼模型,15 现代控制理论基础讲义 龚道雄,一、状态空间模型小车-倒立摆,16 现代控制理论基础讲义 龚道雄,一、状态空间模型小车-倒立摆,向量表示,17 现代控制理论基础讲义 龚道雄,一、状态空间模型,18 现代控制理论基础讲义 龚道雄,一、状态空间模型,19 现代控制理论基础讲义 龚道雄,一、状态空间模型,20 现代控制理论基础讲义
4、龚道雄,一、状态空间模型基本概念,算命，诊断，预言,state,21 现代控制理论基础讲义 龚道雄,一、状态空间模型基本概念,22 现代控制理论基础讲义 龚道雄,一、状态空间模型,关于状态变量的选择：在物理系统中，一般选择系统中储能元件上与储能有关的参量，如电感中的电流、电容上的电压、电荷或电流、弹性元件的位移、速度、加速度等作为状态变量。因此，在物理系统中，状态变量的个数等于系统中独立储能元件的个数。有时出于数学上的需要，也可以用一些物理量的线性组合作为状态变量。对于诸如社会经济系统、生态环境系统等，状态变量有时不一定具有明确的物理意义。,23 现代控制理论基础讲义 龚道雄,一、状态空间模型
5、,状态变量的个数为n，即系统的 最大线性无关组。状态变量的个数等于系统的阶数，即系统 最大线性无关组 的个数，是一个固定值。状态空间描述是通过描述系统内部结构（状态）来描述系统的，是系统的一种完全描述。,The internal description,State-space description,24 现代控制理论基础讲义 龚道雄,一、状态空间模型,状态变量的选择不是唯一的，但必须是能完全描述系统特征的一组最少变量，且变量间相互独立；,25 现代控制理论基础讲义 龚道雄,一、状态空间模型基本概念,state-space,26 现代控制理论基础讲义 龚道雄,一、状态空间模型,对于n阶系统，输
6、入量为m个，输出量为r个，则有：（1）输入变量与状态变量之间的一阶微分方程组称为状态方程;（2）输出变量与状态变量、输入变量之间的代数表达式称为输出方程.（3）状态方程与输出方程的组合构成对系统动力学行为的完整描述，称为系统的状态空间表达式。,27 现代控制理论基础讲义 龚道雄,一、状态空间模型,重点：定常线性系统！,28 现代控制理论基础讲义 龚道雄,一、状态空间模型,29 现代控制理论基础讲义 龚道雄,一、状态空间模型,30 现代控制理论基础讲义 龚道雄,一、状态空间模型,31 现代控制理论基础讲义 龚道雄,一、状态空间模型,状态空间表达式与传递函数表示的比较信号表示的不同传递函数为频域信
7、号状态空间模型为时域信号反映系统的信息不同传递函数只描述输入输出信息状态空间模型还描述系统内部状态信息,32 现代控制理论基础讲义 龚道雄,一、状态空间模型,状态空间法把输入输出间的信息传递分为两段来描述。第一段是输入引起系统内部状态的变化，第二段是系统内部状态变化引起系统输出的变化。前者由状态方程描述，后者用输出方程描述。由于这种方法可以描述系统内部，所以称之为全面描述。传递函数只能描述系统外部的输入输出关系，并不能反映内部状态的变化，故称之为外部描述或者端口描述。状态方程描述了系统状态的运动：输入状态 输出是状态的线性组合：状态输出,一、状态空间模型,状态空间模型,二、微分方程描述与状态空
8、间模型,微分方程描述,The input-output or external description,二、微分方程描述与状态空间模型,微分方程描述转化为状态空间模型算法1,36 现代控制理论基础讲义 龚道雄,二、微分方程描述与状态空间模型,等价变换,引入中间变量,二、微分方程描述与状态空间模型,二、微分方程描述与状态空间模型,二、微分方程描述与状态空间模型,二、微分方程描述与状态空间模型,41 现代控制理论基础讲义 龚道雄,二、微分方程描述与状态空间模型,42 现代控制理论基础讲义 龚道雄,二、微分方程描述与状态空间模型,MATLAB:tf函数和 ss函数num=1 2 1;den=1 3
9、2 1;G=tf(num,den);Gss=ss(G)a=x1 x2 x3 x1-3-0.5-0.25 x2 4 0 0 x3 0 1 0,b=u1 x1 1 x2 0 x3 0c=x1 x2 x3 y1 1 0.5 0.25d=u1 y1 0Continuous-time model.,43 现代控制理论基础讲义 龚道雄,二、微分方程描述与状态空间模型,计算标准型，验证它们等价：(1)num=1 2 1;den=1 3 2 1;sys=tf(num,den)；csys=canon(sys,companon)(2)A=0 1 0;0 0 1;-1-2-3;B=0;0;1;C=1 2 1;D=0
10、;sys=ss(A,B,C,D)；csys=canon(sys,companon),得到同样的结果：a=x1 x2 x3 x1 0 0-1 x2 1 0-2 x3 0 1-3 b=u1 x1 1 x2 0 x3 0 c=x1 x2 x3 y1 1-1 2 d=u1 y1 0 Continuous-time model.,44 现代控制理论基础讲义 龚道雄,二、微分方程描述与状态空间模型,MATLAB应用在MATLAB中，通常将LTI(线性时不变)系统的各种模型封装成一个LTI对象，以便更好的操纵系统。常用的三种对象为ss(状态空间模型)对象，tf(传递函数模型)对象，zpk(零极点模型)对象。
11、函数格式为：sys=ss(A,B,C,D)sys=tf(num,den)sys=zpk(z,p,k),45 现代控制理论基础讲义 龚道雄,二、微分方程描述与状态空间模型,二、微分方程描述与状态空间模型,微分方程描述转化为状态空间模型算法2,二、微分方程描述与状态空间模型,二、微分方程描述与状态空间模型,三、传递函数模型与状态空间模型,例:简单的RLC电路,三、传递函数模型与状态空间模型,三、传递函数模型与状态空间模型,实现问题,注记：实现不唯一：可以有不同维数，或不同参数；实现问题的物理本质：寻找一个假想结构模型，使其输入输出特性等价于传递函数。这个模型可能完全不同于真实系统的结构。,52 现
12、代控制理论基础讲义 龚道雄,三、传递函数模型与状态空间模型,三、传递函数模型与状态空间模型,标量传递函数的实现,三、传递函数模型与状态空间模型,传递函数矩阵的实现,Transfer-function matrix,三、传递函数模型与状态空间模型,状态空间模型转换为传递函数,三、传递函数模型与状态空间模型,莱弗勒（Leverrier）算法,59 现代控制理论基础讲义 龚道雄,三、传递函数模型与状态空间模型,应用MATLAB函数 A,B,C,D=tf2ss(num,den)函数 A,B,C,D=zp2ss(z,p,k),the zero-pole-gain form,强调:任何系统的状态空间表达式
13、都不是唯一的。对于同一系统，可有许多个（无穷多个）状态空间表达式。上述MATLAB命令仅给出了一种可能的状态空间表达式。,61 现代控制理论基础讲义 龚道雄,三、传递函数模型与状态空间模型,！系统模型的建立和变换是很重要的内容，请参阅陈启宗教材自学。,四、方框图组合与状态空间模型,三类联接方式：并联、串联、反馈联接一个控制系统通常由多个部件互相连接组成，其中每个部件可以用一组微分方程或传递函数描述。要求基于方框图信息从每个部件的状态空间模型建立整个系统状态空间模型。,四、方框图组合与状态空间模型,子系统的并联,A B C D=parallel(A1,B1,C1,D1,A2,B2,C2,D2)G
14、=G1+G2,四、方框图组合与状态空间模型,子系统的并联,四、方框图组合与状态空间模型,子系统的串联,A B C D=series(A1,B1,C1,D1,A2,B2,C2,D2)G=G2*G1,四、方框图组合与状态空间模型,子系统的串联,四、方框图组合与状态空间模型,子系统的反馈联结,A B C D=feedback(A1,B1,C1,D1,A2,B2,C2,D2)G=feedback(G1,G2,Sign),四、方框图组合与状态空间模型,子系统的反馈联结,四、方框图组合与状态空间模型,基本单元的实现,四、方框图组合与状态空间模型,四、方框图组合与状态空间模型,一般传递函数方框图的转化步骤：
15、第一步：将各环节通过等效变换分解，使得整个系统由基本单元通过串联、并联和反馈三种形式组成整个控制系统。第二步：将每个基本单元的输出作为一个独立的状态变量xi，积分器的输入端就是状态变量的一阶导数dxi/dt。第三步：根据调整过的方块图中各信号的关系，写出每个状态变量的一阶微分方程，从而写出系统的状态方程。根据需要指定输出变量，从方块图写出系统的输出方程。,73 现代控制理论基础讲义 龚道雄,四、方框图组合与状态空间模型,74 现代控制理论基础讲义 龚道雄,四、方框图组合与状态空间模型,75 现代控制理论基础讲义 龚道雄,四、方框图组合与状态空间模型,76 现代控制理论基础讲义 龚道雄,四、方框
16、图组合与状态空间模型,例：某控制系统的方块图如图所示，试求出其状态空间表达式。,77 现代控制理论基础讲义 龚道雄,四、方框图组合与状态空间模型,解：第一步 转化方框图,78 现代控制理论基础讲义 龚道雄,四、方框图组合与状态空间模型,第二步：依次取各个积分器的输出端信号为系统状态变量x1、x2、x3、x4，系统输出y=x1。第三步：根据信号关系可得系统状态方程：,79 现代控制理论基础讲义 龚道雄,四、方框图组合与状态空间模型,写成矢量形式，得系统动态方程为：,五、状态空间模型的标准型,！对于一个系统，由于状态变量选择的非唯一性，可以得到不同形式的状态空间表达式。？同一个系统不同状态变量的选
17、取有何依据？同一系统不同形式的状态空间表达式之间有何关系？！若系统传递函数的极点互异，则可以通过部分分式法，获得对角线形式的状态空间表达式。若系统有重极点，则可获得约当标准型的状态空间表达式。！研究状态空间表达式的标准形式，可以清晰地表示系统的结构形式，明确不同系统之间的差异，对状态方程的求解和系统的性能分析是非常方便的。,Canonical Forms,五、状态空间模型的标准型,时不变线性系统状态变换,线形变换举例,For rotation by an angle counter clockwise about the origin,the functional form written i
18、n matrix form is：Similarly,for a rotation clockwise about the origin,the functional form is:For scaling(that is,enlarging or shrinking),we have and.The matrix form is:When,then the matrix is a squeeze mapping and preserves areas in the plane.,线形变换举例,As in two dimensions a matrix can be used to rotat
19、e a point(x,y,z)to a point(x,y,z).The matrix used is a 33 matrix,This is multiplied by a vector representing the point to give the result,Rotation,五、状态空间模型的标准型,时变线性系统状态变换,五、状态空间模型的标准型,线性系统的代数等价及其性质代数等价：两个系统能通过线性变换互相转换。时不变系统代数等价的性质：（1）特征多项式的不变性 定常系统状态矩阵的特征多项式在状态变换下不变（2）传递函数的不变性定常系统状态矩阵的传递函数矩阵在状态变换下不变
20、,86 现代控制理论基础讲义 龚道雄,五、状态空间模型的标准型,五、状态空间模型的标准型,线性代数回顾：矩阵相似变换与对角（约当）化,五、状态空间模型的标准型,对角标准型 Diagonal Form,89 现代控制理论基础讲义 龚道雄,五、状态空间模型的标准型,90 现代控制理论基础讲义 龚道雄,五、状态空间模型的标准型系统的传递函数与对角线标准型,91 现代控制理论基础讲义 龚道雄,五、状态空间模型的标准型,（2）分母多项式只有一个n重根 p,约当标准型 Jordan Form,五、状态空间模型的标准型,约当标准型,五、状态空间模型的标准型,94 现代控制理论基础讲义 龚道雄,五、状态空间模
21、型的标准型,约当标准型,A Jordan block of order n,五、状态空间模型的标准型,约当标准型,Block diagonal matrix,五、状态空间模型的标准型,五、状态空间模型的标准型,五、状态空间模型的标准型,五、状态空间模型的标准型,例：将矩阵A化为约当矩阵,五、状态空间模型的标准型,五、状态空间模型的标准型,2个1阶以上约当块,2个2阶以上约当块,1个3阶以上约当块,0个1阶约当块,1个2阶约当块,1个3阶约当块,1个1阶约当块,五、状态空间模型的标准型,3阶约当块的广义特征向量,2阶约当块的广义特征向量,1阶约当块的广义特征向量,五、状态空间模型的标准型,五、状
22、态空间模型的标准型,五、状态空间模型的标准型,五、状态空间模型的标准型,五、状态空间模型的标准型,五、状态空间模型的标准型,五、状态空间模型的标准型,五、状态空间模型的标准型,五、状态空间模型的标准型,五、状态空间模型的标准型,模态标准型（2 阶系统的模态标准型）,Modal form,五、状态空间模型的标准型,五、状态空间模型的标准型,模态标准型（3 阶系统的模态标准型）,五、状态空间模型的标准型,五、状态空间模型的标准型,ab,bb,cb,db,P=canon(a,b,c,d,type)ab,bb,cb,db,P=canon(a,b,c,d,modal)canon(a,b,c,d),本章小结,线性系统各种模型之间的关系,本章小结,
