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1、线性方程组与矩阵秩的若干问题,福建师范大学数计学院代数教研室 肖民卿 2008年10月,引言,矩阵秩的概念是由J.Sylvester于1861年引进的，它是矩阵的最重要数字特征之一。这里，我们结合“矩阵与线性方程组”的教学讨论以下内容：矩阵秩描述的线性方程组解的判定定理在解析几何中的一个应用；矩阵秩的Sylvester不等式和Frobenius不等式中等号成立的充分必要条件。,一.线性方程组解的判定定理在解析几何中的一个应用,m个方程n个未知元的线性方程组一般表示为：,线性方程组(1)的矩阵表示为：,其中，,线性方程组有解的判定定理,线性方程组(1)有解的充分必要条件是,这里，表示矩阵 的秩。
2、特别地，,若，则线性方程组(1)有唯一解；若，则线性方程组(1)有无穷多解。,利用上述定理，可以简洁刻画一般方程表示的几何空间中直线及平面的位置关系。,1.直线与直线的位置关系,设几何空间中两条直线的方程分别为,这样，与 的位置关系取决于线性方程组,解的情况。记,则有如下结论：,（i）与 相交,（ii）与 重合,（iii）与 平行,（iv）与 异面,2.直线与平面的位置关系,设几何空间中直线和平面的方程分别为,记,则有如下结论：,（i）与 相交,（ii）在 上,（iii）与 平行,3.三个平面的位置关系,设几何空间中三个平面的方程分别为,记,则有如下结论：,（i）三个平面有一个公共点,（ii）
3、三个平面有一条公共直线,（iii）三个平面平行,（iv）三个平面构成三棱柱,二.矩阵秩不等式中的一些问题,关于矩阵的秩,有两个重要的不等式.,Sylvester不等式：,设、分别是、矩阵.,Frobenius不等式：,问题：在这两个不等式中等号成立的条件是什么？,即以下等式成立的条件分别是什么？,许多教材以习题方式给出等式成立的充分必要条件：,当且仅当齐次线性方程组 与齐,次线性方程组 同解.,利用这一结果，可以得到等式成立的充分必要条件：,当且仅当齐次线性方程组 与齐次线性方程组 同解.,对于等式和等式，文献3、文献4均做了研究，给出等式成立的充分必要条件.,文献3的结论：,的充分必要条件是
4、存在矩阵,和，使得.,的充分必要条件是存,在矩阵 和，使得.其中，是,的任意取定的一个满秩分解.,文献4的结论：,的充分必要条件是,对于齐次,线性方程组 的任一解,都存在 使得.或,的充分必要条件是,对,于齐次方程组 的任一形如 的解,都存在,使,得.,者说,的零空间包含于 的象空间,即.,文献5利用矩阵的广义逆，分别给出等式等式成立的充分必要条件.,引理1 对于任意适维矩阵、，有,这里列出其主要结果：,引理2 对于任意、，有,引理3 设 有n列，有n行，则对任意、，有,定理1 在Sylvester不等式中，对任意、，有,为列满秩；,为行满秩；,引理4 对任意、，有,定理2 在Frobenius不等式中，对任意、，有,参考文献,1 陈志杰.高等代数与解析几何M.北京:高等教育出版社,2000.2 丘维声.高等代数(第二版)M.北京:高等教育出版社,2002.3 胡付高.关于一类矩阵秩的恒等式注记J.武汉科技大学学报,2004,27(3):322-323.4 吕登峰,刘 琼等.矩阵秩的Sylvester与Frobenius等式问题J.孝感学院学报,2006,26(6):62-65.5 王松桂,吴密霞等.矩阵不等式(第二版)M.北京:科学出版社,2006.,谢 谢！,
