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1、第五章,微分法:,积分法:,互逆运算,不定积分,微分的逆运算,二、基本积分公式,三、不定积分的性质(运算法则),一、原函数与不定积分的概念,第一节,原函数与不定积分,第五章,一、原函数与不定积分的概念,定义 1.若在区间 I 上定义的两个函数 F(x)及 f(x),满足,在区间 I 上的一个原函数.,则称 F(x)为f(x),问题:,1.在什么条件下,一个函数的原函数存在?,2.若原函数存在,它如何表示,有多少个?,定理1.,存在原函数.,初等函数在定义区间上连续,初等函数在定义区间上有原函数,定理 2.,也是f(x)的原函数,(其中C 为任意常数),证:1),又知,故,即,则,(2)f(x)
2、的任意两个原函数之间只相差一个常数.,定义 2.,在区间 I 上的原函数全体称为,上的不定积分,其中,积分号;,被积函数;,被积表达式.,积分变量;,若,则,(C 为任意常数),C 称为积分常数,不可丢!,例如,记作,不定积分的几何意义:,的原函数的图形称为,的图形,的所有积分曲线组成,的平行曲线族.,的积分曲线.,例1.设曲线通过点(1,2),且其上任一点处的切线,斜率等于该点横坐标的两倍,求此曲线的方程.,解:,所求曲线过点(1,2),故有,因此所求曲线为,例1 设曲线通过点(0,0)，且曲线上任一点处的切线斜率等于该点横坐标的余弦值，求此曲线.,由于sinx是cosx的一个原函数，所以c
3、osx的不定积分是y=sinx+C.于是所求的曲线族为,代入初始条件x=0,y=0,求得C=0.故经过点(0,0)的积分曲线为.,二、基本积分表,从不定积分定义可知:,或,或,利用逆向思维,(k 为常数),或,或,例3.求,解:原式=,例4.求,解:原式=,三、不定积分的性质,推论:若,则,例2 求,解,例3 求.,解,例4.求,解:原式,倍角公式,例5.求,解:原式,例6.求,解:原式=,例7.求,解:原式=,例8.求,解:原式=,内容小结,1.不定积分的概念,原函数与不定积分的定义,不定积分的性质,基本积分表,2.直接积分法:,利用恒等变形,及 基本积分公式进行积分.,常用恒等变形方法,分项积分,加项减项,利用三角公式,代数公式,积分性质,5.求下列积分:,提示:,
