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1、1,一.以2l 为周期的函数的傅立叶展开,二、内容小结及作业,2,第八节 以2l为周期的函数的傅立叶级数,周期为 2l 函数,周期为 2 函数,变量代换,作傅氏展开,将,的傅氏展开式,3,定理 设周期为2l 的周期函数,则它的傅立叶展开式为,(在 f(x)的连续点处),其中,一.以2l 为周期的函数的傅立叶展开,满足收敛定理条件,4,证明:令,则由,令,则,所以 是以2为周期的周期函数,且它满足收敛定,理条件,将它展成傅立叶级数:,(在 F(z)的连续点处),变成,5,(在 F(z)的 连续点处),其中,令,(在 f(x)的 连续点处),6,(在 f(x)的 连续点处),其中,如果 f(x)为
2、奇函数,则有,其中,(在 f(x)的连续点处),7,如果 f(x)为偶函数,则有,(在 f(x)的连续点处),其中,注:无论哪种情况,在 f(x)的间断点 x 处,傅立叶,级数收敛于,8,例1.交流电压,经半波整流后负压消失,试求半波整流函数的傅立叶级数.,解:这个半波整流函数的,9,时,10,n 1 时,11,由于半波整流函数 f(t)在,2 k 次谐波的振幅为,k 越大振幅越小,因此在实际应用中取展开式中前几项就够了.,说明:,上连续,由收敛,定理可得,12,例2.把,展开成,(1)正弦级数;(2)余弦级数.,解:(1)将 作奇周期延拓,则有,13,(2),将 作偶周期延拓,则有,14,由
3、此还可导出,15,当函数定义在任意有限区间上时,其傅立叶展开方法为:,方法1.,令,即,在,上展成傅立叶级数,周期延拓,将,在,代入展开式,上的傅立叶级数.,16,方法2.,令,在,上展成正弦或余弦级数,奇或偶式周期延拓,将 代入展开式,在,即,上的正弦或余弦级数.,17,例3.将函数,展成傅立叶级数.,解:令,设,将F(z)延拓成周期为 10 的周期函数,则它满足收敛定理,条件.,由于F(z)是奇函数，故,18,二、内容小结,1.周期为,的函数的傅立叶级数展开公式,(x 间断点),其中,当,为奇 函数时,(偶),(余弦),2.在任意有限区间上函数的傅立叶展开法,变换,延拓,为正弦 函数.,19,20,思考与练习,1.将函数展开为傅立叶级数时为什么最好画出其图形?,答:易看出奇偶性及间断点,2.计算傅立叶系数时为什么有些系数要单独算?,答:用系数公式计算时,如出现某些正整数作分母,这些正整数对应的系数就必须单独计算.,从而便于计算系数和写,出收敛域.,
