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1、绪 论,岩土工程问题解析分析 基于弹塑性理论和结构力学，适用于连续介质、未知量少、边界条件简单，有局限性。岩土工程问题数值分析 借助于计算机，材料复杂（非线性、非连续、非均质、各向异性等）、边界条件复杂、任意荷载、任意几何形状，适用范围广。包括：有限差分法、有限单元法、边界单元法、离散单元法等。,绪 论,岩土工程数值分析方法发展过程 20世纪40年代：差分法，用差分网格离散求解域，用差分公式将控制方程转化为差分方程。20世纪60年代：有限元法 20世纪70年代：边界元法，离散元法,第一章 土的本构模型,本构模型：土的应力应变关系的数学表达式，也称本构方程。主要有：弹性模型、弹塑性模型、粘弹塑性
2、模型、内蕴时间塑性模型、损伤模型等。1.1 应力应变分析一、应力张量,土的本构模型,土的本构模型,应力不变量,土的本构模型,主应力方程：平均应力：应力张量可分解为：球应力张量：,土的本构模型,偏应力张量：,应力球张量也称为静水压力张量，对于金属材料，一般认为，静水压力只产生材料的体积变形，不引起形状改变。对于金属材料，描述其塑性变形时一般与静水压力无关。偏应力张量只引起形状改变，不引起体积变化。,土的本构模型,球应力张量,偏应力张量,应力张量,土的本构模型,应力偏量不变量,弹塑性本构关系中，反映切应力大小及方向。,土的本构模型,有效剪应力（也称剪应力强度）,在简单拉伸时，应力强度还原为简单拉应
3、力,有效应力（也称应力强度、或广义剪应力）,在纯剪时剪应力强度还原为简单剪应力,土的本构模型,等斜面与八面体,土的本构模型,八面体上正应力,八面体上剪应力,土的本构模型,二、应力空间、罗德参数,主应力空间与平面,平面,应力点,三个主应力构成的三维应力空间平面总是过原点O的平面的方程：,土的本构模型,在主应力空间内，某点的主应力可用向量OP描述，它可分解为两部分：垂直于平面上的球应力张量ON、位于平面上的偏应力张量OQ,土的本构模型,在平面内取坐标系oxy,其中y轴方向与 在平面上的投影一致。主应力向量OP在平面上的投影为，与x轴的夹角为，称为罗德角。,的模与方位角（罗德角）,土的本构模型,三、
4、应变分析,土的本构模型,应变不变量,偏应变不变量,土的本构模型,1.2 土的变形特性一、土的应力应变关系 应用土的三轴试验，可以测得土的应力应变曲线。通常有两种方法：(1)不变的三向压缩固结 试验，土体先在等压条件下固结，然后增加轴压 直至破坏；(2)试验时，保持 不变，增 加，减小。,土的本构模型,正常固结粘土与松砂应力应变双曲线,土的本构模型,上图中，1/a为双曲线初始切线斜率，1/b为双曲线渐近线值(极限值)。破坏比：加工硬化曲线：土体在加载时，主应力差 随着应变的增加而不断增加。,土的本构模型,超固结粘土或密实砂应力应变曲线,土的本构模型,上图中，1/a为曲线初始切线斜率，1/a(b-
5、c)为曲线峰值，c/b2为曲线渐近线值。加载时，开始土体体积稍有收缩，此后随即膨胀。曲线有两个阶段：应变硬化和应变软化，在软化阶段，弹塑性耦合较为明显，即随着软化现象的增大，土的变形模量逐渐减小。松砂剪缩，密砂剪胀,土的本构模型,理想弹塑性应力应变曲线,土的本构模型,岩石类介质的压缩试验结果 岩石类介质在一般材料试验机上不能获得全应力应变曲线，仅能获得破坏前期的应力应变曲线。岩石在猛烈的破坏之后便失去承载能力。一般材料试验机刚度小于岩石试件刚度，试验过程中试验机的变形量大于试件的变形量，试验机存储的弹性变形能量大于试件存储的弹性变形能，对试件破坏时产生冲击作用。实际上，多数岩石从开始破坏到完全
6、失去承载能力，是一个渐变过程，采用刚性试验机和伺服控制系统，控制加载速度以适应时间变形能力，可以得到岩石全程应力应变曲线。,土的本构模型,典型岩体应力应变曲线,土的本构模型,典型岩石应力应变曲线(三轴),土的本构模型,二、土体变形特性 土具有应力应变的非线性、硬化或软化等特性。压硬性：静水压力会产生剪切变形。剪胀性：切应力会引起体积改变。各向异性：SD效应：拉压强度不同。应力路径及应力历史相关性 粘滞性：应力、应变、强度等与时间有关。,土的本构模型,围压影响,三、土体变形影响因素,土的本构模型,应力路径影响,土的本构模型,各向异性影响,土的本构模型,加载速率影响,土的本构模型,1.3 屈服准则
7、与破坏准则一、基本概念1、初始屈服、相继屈服和破坏,土的本构模型,2、屈服条件、加载条件和破坏条件 材料从初始弹性状态进入塑性状态的条件，称为屈服条件（初始屈服条件）或屈服准则。屈服条件一般说来与应力、应变、时间和温度有关。可表示为：,如果不考虑时间因素及常温下的屈服条件，则屈服条件只与应力和应变有关。另外材料在初始屈服之前为弹性状态，应力和应变是一一对应的关系，应变也可以用应力表示。所以初始屈服条件只与当前应力有关。对于复杂应力状态，初始屈服条件可以一般性地表示为：,土的本构模型,相继屈服阶段的应力应变关系称为加载条件。可表示为：,破坏时的应力应变关系称为加载条件。可表示为：,土的本构模型,
8、3、屈服面、加载曲面和破坏曲面4、屈服曲线的性质 屈服面在平面上的迹线称为屈服曲线。(1)封闭(2)单连通(3)对称(4)外凸5、岩土材料的 屈服曲线,土的本构模型,二、屈瑞斯加(Tresca)屈服准则 1864年提出，假设当最大切应力达到某一极限值K时，材料屈服。该准则认为当最大剪应力达到某一值时材料开始屈服，在平面上，其形状为一正六边形。,土的本构模型,屈瑞斯加准则可表述为：,土的本构模型,在材料力学中Tresca屈服准则也用作强度理论，一般称此条件为第三强度理论。此屈服准则存在以下两个缺点：1、没有考虑中间主应力的影响。2、在屈服线的角点处，存在奇异点，塑性应变的方向不易确定。根据纯拉伸
9、试验，；根据纯剪试验，。因此，若材料的屈服条件满足Tresca准则，则有：,土的本构模型,Tresca准则主要适用于金属材料和 的纯粘性土，加上静水压力影响，可推广为广义Tresca准则，表示为：,广义Tresca准则在主应力空间是一个以静水压力线为轴的等边六角锥体，在平面上为一正六边形。,土的本构模型,三、米塞斯(Mises)屈服准则 该准则认为当第二偏应力不变量达到某个值时材料开始屈服。表示为,所以该准则在平面上是一个圆.在主应力空间是一个母线平行于等斜线的圆柱体。,土的本构模型,土的本构模型,在Mises准则中加入静水压力的影响，得到广义Mises准则：,上式由德鲁克普拉格1952年提出
10、，并推导出：,土的本构模型,四、莫尔库仑(Mohr-Coulomb)屈服准则 莫尔库仑准则基于这样的假设：当任意面上的剪应力和平均正应力达到临界组合时，材料开始屈服。(1)若最大剪应力、n相应面上的正应力（拉为正）、c是粘聚力、是内摩擦角（tg相当于摩擦系数），则莫尔库仑准则可以表示为：,土的本构模型,土的本构模型,，：,I1,J2,：,1,3:(1 2 3),土的本构模型,在主应力空间中，是一个锥形，其正截面（或与平面上的交面）是一个不规则的六边形截面。莫尔库仑准则是一般屈服面的内极限面，因此工程分析中采用该准则是偏安全的。0为Tresca条件；0，0为Mises条件;,土的本构模型,土的本
11、构模型,五、辛克维兹-潘德(Z-P)准则 对M-C屈服面进行修正抹圆尖角。,六、双剪屈服准则 当单元体的两个较大主切应力之和达到某一极限时，材料发生屈服。,土的本构模型,七、本构理论的基本法则加载、卸载准则 在外部作用下应变点仍在屈服面上，并有新的塑性变形发生，此时称这个过程为塑性加载。如果应变点离开屈服面退回弹性区，反应是纯弹性的，此过程称塑性卸载。应变点不离开屈服面，又无新的塑性变形发生，此时称中性变载。,土的本构模型,杜拉克公设 在外力作用下处于平衡状态的材料单元体上，施加附加外力，使单元体的应力增加，然后移去外力，使单元的应力卸载到原来的状态。则在施加应力增量（加载）过程中，以及施加和
12、卸去应力增量的循环过程中，附加外力所做的功不为负。（功为零时表示处于弹性状态或塑性阶段的中性变载）。推论：屈服面或加载面外凸。塑性应变增量矢量的方向与加载面正交并指向其外法线方向。,土的本构模型,流动法则 在塑性力学中，认为材料进入塑性后存在一个塑性势函数（简称塑性势）。弹性应变增量由胡克定律确定。塑性应变增量可由势函数给出：,土的本构模型,如果材料满足杜拉克公设，则塑性势函数与加载函数相同。满足上式的流动法则称为正交（或加载条件相关联的）流动法则。此时塑性应变增量方向垂直于屈服面。或者说，塑性应变增量方向与当前的应力增量方向无关，而只依赖于当前的应力状态。但塑性应变增量的大小与应力增量有关。
13、此时，加、卸载准则取决于非负的比例因子d，它大于零，表示加载，等于零，表示其它情况。采用正交流动法则时，单元刚度矩阵在塑性状态时仍为对成矩阵。,土的本构模型,如果认为势函数与加载函数不同，这样的流动法则称为非正交（非关联）流动法则。对于岩石、土和混凝土一类材料，虽然采用非关连流动法则更符合实际情况，但这样一来，意味着材料是不稳定的，而且导出的弹塑性矩阵是不对称的，增加了解题的难度。因而一般情况下，对岩土材料多采用关联流动法则。满足杜拉克公设的材料为稳定材料。,土的本构模型,硬化法则 随着塑性变形的发展，屈服面大小、形状和位置在应力空间的变化规律称为材料的强化(硬化)规律。硬化法则规定了材料进入
14、塑性变形后的后继屈服函数(加载函数)。一般加载函数：理想塑性材料：对于强化材料，在加载过程中，屈服面将随以前发生过的塑性变形而改变。,土的本构模型,(1)各向同性(等向)硬化法则。材料进入塑性变形后，屈服面形状、中心、方位不变，只是作均匀的扩张。(2)运动(随动)硬化法则。屈服面大小和形状不变，仅是整体地在应力空间中作平动，其后继屈服面可表为：(3)混合硬化法则。介于两者之间，为两者组合。,土的本构模型,土的本构模型,1.4 土的本构模型分析一、弹性本构模型线弹性本构模型 对各向同性材料，有两个独立参数，以、为参数的本构方程表示为,土的本构模型,以、表示为 式中,土的本构模型,矩阵表示的本构方
15、程,土的本构模型,非线性弹性模型(1)变弹性模型：应力应变关系可逆，即当前应力总量唯一取决于当前应变总量。(2)超弹性模型：假定弹性应变能与应力或应变总量之间存在唯一对应关系，即应变能或余能函数与路径无关。(3)次弹性模型：不要求应力总量和应变总量有一一对应关系，采用增量意义上的应力应变弹性性质。表述应力状态，不仅与应变状态有关，还与应力路径有关。几种非线性弹性模型(参考廖红建等岩土工程数值分析P43-51),土的本构模型,二、塑性本构模型理想塑性模型1、米赛斯模型 屈服准则,关联流动法则,土的本构模型,K-G型式的弹性本构关系,故完整的弹塑性本构关系,塑性应变增量只与偏应力有关，塑性问题的求
16、解还需确定d。,土的本构模型,2、D-P模型(广义Mises模型)屈服准则,塑性应变增量,土的本构模型,完整的弹塑性本构关系,d由加载准则确定；G、K为材料弹性常数，通过卸载试验确定。,土的本构模型,加工硬化弹塑性模型1、剑桥模型2、Lade-Duncan弹塑性模型,土的本构模型,三、粘弹塑性模型 一般土体在荷载作用下所产生的变形都不是瞬时完成的，而是随着时间的增长逐渐达到最终值的。岩土体变形的这种时间效应，称之为粘性流动。包括两方面：一种是指作用的应力不变，而应变随时间增长，即所谓蠕变；另一种则是作用的应变不变，而应力随时间而衰减，即所谓松弛。,土的本构模型,基本元件,弹簧,粘体(阻尼元件)
17、,滑块(摩擦滑动),土的本构模型,粘弹塑性 三种元件组合，可得到弹粘塑性模型。如右图所示的弹性元件与Binghum模型串联的模型。该模型总应变为弹性应变和粘塑性应变之和，所以有,土的本构模型,如果假定此模型中粘塑性具有线性强化特性，则：,当该模型受常应力 作用时，若 时，有弹性变形,当 时，注意到应力为常数，对时间的导数为0，则,代入，得,土的本构模型,求解上述微分方程，并根据初始条件时间为0时，总应变等于弹性应变，得到下式：,对于理想粘塑性材料，微分方程式及其解为：,土的本构模型,1.5 岩土损伤本构理论一、损伤力学的概念 在进行结构分析时考虑到内部微缺陷的作用，并将其理解为连续变量场(损伤
18、场)，由此研究材料内微缺陷的扩展和含微缺陷性质的一门学科。损伤力学主要从物理学、材料力学、连续介质力学的观点，利用传统的力学方法，使用宏观变量描述微观变化，引入损伤场描述材料的损伤状态，认为损伤连续分布于整个介质中。材料的损伤是能量耗散的过程，从广义上讲，损伤力学可以被认为是理性连续介质力学在处理耗散系统方面的一个分支，它是一切耗散系统力学的基础。,土的本构模型,损伤变量D：描述材料微结构的改变。损伤变量的选择可以根据微结构的物理分析来决定，也可从试验数据中分析产生。材料损伤是一个不可逆的过程，因此D是一个单调增加的量，D0表示未损伤状态。若按损伤面积：连续因子：对于未受损材料，；对于破损材料
19、，。,土的本构模型,若损伤前截面上应力为，未受损面积实际应力为,损伤材料的弹性本构方程,损伤材料的弹性模量降低。,土的本构模型,在弹塑性变形中，可认为损伤与弹性变形无关，即,因此有,则有,土的本构模型,二、损伤本构理论 试验结果表明：岩石在变形过程中都不同程度地有损伤发生，损伤导致承载能力降低，产生体积膨胀。考虑岩石损伤影响因素，一些学者提出了如下有代表性地本构理论。1、Desai认为，岩石材料可分为损伤和未损伤两部分，材料地宏观力学性质是两种成分地加权平均反应，并认为损伤部分只能承受静水压力，无抗剪强度。2、华中理工大学和武汉岩土所提出了一种细观损伤本构理论，它考虑了分布微裂纹对岩石材料的影响。,课程作业,某地铁盾构隧道所穿越的地层大致可分为三个区段(自上而下)：粘土层、粉土层及砂质地层，土层厚度分别为4m、13m、18m，隧道埋深10m，管片衬砌厚度30cm。请对其进行平面有限元分析(围岩及衬砌材料参数请查阅相关资料拟定)，绘制地表沉降曲线、衬砌及围岩应力云图，并分析其稳定性。,第二章 有限差分法,在岩土工程中，常常会遇到大量的偏微分方程的求解问题。,
