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1、数形结合思想在小学数学教学中的运用,四川省德阳市第一小学 张洪明,（一）基本理念的修订,（二）设计思路、具体内容和表达方式的修订,数学的解释、核心理念、双基变四基、两能变四能、教师与生都为主、过程与结果同为重,主要是四个领域的删、减、增、移，以及在其中贯彻增加核心概念（比如运算能力、几何直观、模型思想等）,一、修订稿与实验稿的区别基本理念的修订,一、修订稿与实验稿的区别基本理念的修订,实验稿：数学是人们对客观世界定性把握和定量刻画、逐渐抽象概括、形成方法和理论，并进行广泛应用的过程。修改稿：（简洁、明了）数学是研究数量关系和空间形式的科学。,1、关于数学的解释,2、关于核心理念中“面向全体学生
2、”,实验稿：人人学有价值的数学；人人都能获得必需的数学；不同的人在数学上得到不同的发展。修改稿：人人都能获得良好的数学教育，不同的人在数学上得到不同的发展。,一、修订稿与实验稿的区别基本理念的修订,实验稿：双基：基础知识、基本技能。修改稿：四基：基础知识、基本技能、基本思想、基本活动经验。,3、关于“双基”教学变“四基”教学。,一、修订稿与实验稿的区别基本理念的修订,基本思想：史宁中教授特别提到：抽象思想、推理思想、模型思想核心思想：归纳和演绎（而演绎、化归、转化、类比都属于推理思想）常用的小学数学思想方法：对应思想方法、假设思想方法、比较思想方法、符号化思想方法、类比思想方法、转化思想方法、
3、分类思想方法、集合思想方法、数形结合思想方法、统计思想方法、极限思想方法、代换思想方法、可逆思想方法、化归思维方法、变中抓不变的思想方法、数学模型思想方法、整体思想方法等等。,一、修订稿与实验稿的区别基本理念的修订,基本活动经验：,一 种 方 法 是：1个5，2个5，3个5。另一种方法是：1个3，2个3，3个3，4个3，5个 3。这一系列数学思维活动，就为后边学习53积累了相关的数学活动经验。,比如：让学生很快数出有多少颗五星。,一、修订稿与实验稿的区别基本理念的修订,基本活动经验：数学活动经验，不仅仅是解题经验，更多的是数学思维活动的经验，数学思考习惯的经验。不断积累！,一、修订稿与实验稿的
4、区别基本理念的修订,实验稿：重点是分析问题和解决问题的能力 修改稿：明确提出：发现和提出问题能力 分析和解决问题能力,4、关于“两能”到“四能”：,一、修订稿与实验稿的区别基本理念的修订,修订稿中十大核心概念：数 感、符号意识、运算能力、模型思想、空间观念、几何直观、推理能力、数据分析观念、应用意识、创新意识,一、修订稿与实验稿的区别基本理念的修订,几何直观（数形结合）,十大核心概念之一,一、修订稿与实验稿的区别基本理念的修订,几何直观,修订稿：几何直观利用图形描述问题和分析问题。把复杂的数学问题变得简明、形象，有助于探索解决问题的思路，预测结果。,简单地说：就是指依托图形进行数学思考、想象。
5、,二、几何直观（数形结合）的基本概念。,数形本是相倚依，焉能分作两边飞？数缺形时少直观，形少数时难入微，数形结合百般好，隔离分家万事休，几何代数统一体，永远联系莫分离。,华罗庚,二、几何直观（数形结合）的基本概念。,如果一个特定的问题可以转化为一个图形，那么，思想就整体地把握了问题，并且能创造性地思索问题的解法。斯蒂恩（美国数学家）,二、几何直观（数形结合）的基本概念。,要看到图形，借助数看图形！要看到数，借助图形看数！把数学画出来！把事物量出来！促进了学生形象思维和抽象思维的协调发展沟通了数学知识之间的联系,从复杂的数量关系中凸显最本质的特征,二、几何直观（数形结合）的基本概念。,运用于数学
6、的各个领域,几何直观运用领域,我们不仅在几何内容教学中要重视几何直观，在整个数学教学中都应该重视几何直观，培养几何直观应该贯穿于教学始终。,二、几何直观（数形结合）的基本概念。,几何直观的表现形式,借助图形 展开想象 揭示规律,几何图形、线段图、数轴、方格纸、坐标、方向标、示意图、列表、动画等一系列,图形,二、几何直观（数形结合）的基本概念。,三、数形结合思想在小学数学教材中的体现,（1）数的表示用直线上的点表示数，可以明确地表示出数的性质（有始无终，有序性等等）；,100以内数的认识,4,6,10枝,46,三、数形结合思想在小学数学教材中的体现,（1）数的表示用直线上的点表示数，可以明确地表
7、示出数的性质（有始无终，有序性等等）；,三、数形结合思想在小学数学教材中的体现,（1）数的表示用直线上的点表示数，可以明确地表示出数的性质（有始无终，有序性等等）；,把阴影部分分别用分数和小数表示。,分数（）小数（）,分数（）小数（）,三、数形结合思想在小学数学教材中的体现,（2）计算中的形运算的实物化、图形化和操作化，便于人们直观理解数和计算（摆小棒、画图形等）。,三、数形结合思想在小学数学教材中的体现,（3）解决问题中的形画线段图表示数量关系。,甲比乙多1/4。（鼓励学生画）,乙：,甲：,三、数形结合思想在小学数学教材中的体现,（3）解决问题中的形画线段图表示数量关系。,甲比乙多 1/4（
8、鼓励学生画）,三、数形结合思想在小学数学教材中的体现,（3）解决问题中的形画线段图表示数量关系。,三、数形结合思想在小学数学教材中的体现,（3）解决问题中的形解决问题的直观策略,三、数形结合思想在小学数学教材中的体现,（3）统计中的图形条形统计图直观地反映出数量的多少。折线统计图形象地表示数量发展的趋势。扇形统计图鲜明地说明部分数量与整体数量之间的关系。,三、数形结合思想在小学数学教材中的体现,（3）统计中的图形,三、数形结合思想在小学数学教材中的体现,（4）函数的多重表示及坐标系,四、数形结合思想的培养,1、在教学中使学生逐步养成画图的习惯教学中应有这样的导向：能画图的尽量画将相对抽象的思考
9、对象“图形化”,2、重视变换让图形动起来 几何变换或图形的运动是几何，也是整个教学中很重要的内容，它既是学习的对象，也是认识数学的思想和方法。例如：平行四边形、三角形、梯形、圆形等面积公式的推导，让学生经历公式的形成过程；图形的平移和旋转；图形的位置和方向变换、图形的放大与缩小；,四、数形结合思想的培养,3、学会从“数”与“形”两个角度认识 数学 数学的许多教学内容、概念都具有“数”和“形”两方面的本质特征。数形结合是认识数学的基本方法，与其说是方法，不如说这是基本要求。从这一点看，不注重数形结合在数学教学中只能让学生隔靴搔痒。,四、数形结合思想的培养,4、掌握、运用一些基本图形解决问题 利用
10、基本图形、表格、数轴、方格纸等。在教学中要有意识的强化对基本图形的运用，不断地运用这些基本图形去发现、描述问题，理解、记忆结果，这应该成为教学中关注的目标。,四、数形结合思想的培养,五、数形结合思想在解题问题中的运用举例,用两个边长为1的正方形，你能用它们拼出一个长方形吗？你拼的长方形是什么样的？还有不同的拼法吗？,数形结合运用（一）质数合数,用三个边长为1的正方形，你能用它们拼出一个长方形吗？你拼的长方形是什么样的？还有不同的拼法吗？,数形结合运用（一）质数合数,用四个边长为1的正方形，你能用它们拼出一个长方形吗？你拼的长方形是什么样的？还有不同的拼法吗？,数形结合运用（一）质数合数,用五个
11、边长为1的正方形，你能用它们拼出一个长方形吗？你拼的长方形是什么样的？还有不同的拼法吗？,数形结合运用（一）质数合数,用六个边长为1的正方形，你能用它们拼出一个长方形吗？你拼的长方形是什么样的？还有不同的拼法吗？,数形结合运用（一）质数合数,用七个边长为1的正方形，你能用它们拼出一个长方形吗？你拼的长方形是什么样的？还有不同的拼法吗？,数形结合运用（一）质数合数,用八个边长为1的正方形，你能用它们拼出一个长方形吗？你拼的长方形是什么样的？还有不同的拼法吗？,数形结合运用（一）质数合数,用九个边长为1的正方形，你能用它们拼出一个长方形吗？你拼的长方形是什么样的？还有不同的拼法吗？,数形结合运用（
12、一）质数合数,用十二个边长为1的正方形，你能用它们拼出一个长方形吗？你拼的长方形是什么样的？还有不同的拼法吗？,数形结合运用（一）质数合数,1,1+3,1+3+5,1+3+5+7,1+3+5+7+9,数形结合运用（二）计算,1,1+3=22,数形结合运用（二）计算,1,1+3,1+3+5,数形结合运用（二）计算,1,1+3,1+3+5=33,数形结合运用（二）计算,1,1+3,1+3+5,1+3+5+7,数形结合运用（二）计算,1,1+3,1+3+5,1+3+5+7=44,数形结合运用（二）计算,1,1+3,1+3+5,1+3+5+7,1+3+5+7+9,数形结合运用（二）计算,1,1+3,1
13、+3+5,1+3+5+7,1+3+5+7+9=？,数形结合运用（二）计算,1+3+5+7+9+11,数形结合运用（二）计算,1+3+5+7+9+11,654321,数形结合运用（二）计算,计算：,数形结合运用（二）分数计算,计算：,12,14,18,116,132,“1”,数形结合运用（二）分数计算,问题：全班有8个小组，每组6人。每位同学向西部儿童捐书3本，全班一共捐书多少本？,数形结合运用（二）连乘问题,每人3本,每人3本,问题：全班有8个小组，每组6人。每位同学向西部儿童捐书3本，全班一共捐书多少本？,每人3本,每人3本,每人3本,每人3本,每人3本,每人3本,每组6人,8个小组,？,用
14、彩色涂出2/51/3=,数形结合运用（二）分数乘法,用彩色涂出2/51/3=,数形结合运用（二）分数乘法,三年级题目：学校有一段走廊长6米，宽3米。在走廊地面铺上边长是3分米的正方形地砖，需要铺多少块？,339（平方分米）,60301800（平方分米）,18009200（块）,大面积小面积,？,数形结合运用（三）铺地砖,120分米,60分米,120340(块),60320(行),4020800(块),每行块数行数总块数,五年级题目：在长宽高分别为40dm、30dm、20dm的长方体木块切割成棱长为8dm的正方体，能切割成多少个？,“大体积小体积”。,数形结合运用（三）割长方体,六年级题目，如：
15、用长1.1m，宽0.9m的长方形纸片剪成几个直径为2dm的圆，可以剪多少个？,“大面积小面积”,数形结合运用（三）剪圆,六年级题目：请用数学思维解决问题：三人同时从工厂乘出租车回家，事先讲好三人分担车费，丙最后到达终点付车费90元，已知甲到了全程的1/3处下了车，乙在全程的2/3处下了车。问甲乙分别应付给丙多少钱？,数形结合运用（四）支付租车费,第一层次：90元3=30元；,第二层次：1/32/31123，甲：90元1/6=15元；乙：90元2/6=30元；丙：90元3/6=45元；,1/3,2/3,“1”,甲：30元3=10元；乙：30元330元2=25元；丙：30元330元230元=55元
16、。,30元,第三层次：,长,宽,面积,长方形的面积=长宽,数量,总价,总价=单价数量,单价,数形结合运用（五）矩形运用,（二）解决问题问题：学校食堂买来一些大米。计划吃8天，实际每天比计划多吃5千克，结果提前2天就吃完了。你能算出原计划每天吃多少千克吗？,总千克数=每天吃的千克数天数,长方形的面积=长 宽,数形结合运用（五）矩形运用,（二）解决问题问题：学校食堂买来一些大米。计划吃8天，实际每天比计划多吃5千克，结果提前2天就吃完了。你能算出原计划每天吃多少千克吗？,总千克数=每天吃的千克数天数,提前2天吃完,多吃5千克,计划吃8天,A,B,原计划每天吃多少千克？,数形结合运用（五）矩形运用,
17、一个正方形，一条边减少20%，另一条增加2米，面积保持不变，求原来正方形的面积是多少平方米,数形结合运用（五）矩形运用,一个正方形，一条边减少20%，另一条增加2米，面积保持不变，求原来正方形的面积是多少平方米,数形结合运用（五）矩形运用,一个正方形，一条边减少20%，另一条增加2米，面积保持不变，求原来正方形的面积是多少平方米,减少20%,2米,数形结合运用（五）矩形运用,一个正方形，一条边减少20%，另一条增加2米，面积保持不变，求原来正方形的面积是多少平方米,减少20%,2米,减少1/5，把正方形的边长平均分成五份，减少其中1份，还剩下4份,数形结合运用（五）矩形运用,一个正方形，一条边
18、减少20%，另一条增加2米，面积保持不变，求原来正方形的面积是多少平方米,1份,2米,4份,B,A,C,数形结合运用（五）矩形运用,泰姬陵坐落于印度古都阿格，是十七世纪莫卧儿帝国皇帝沙杰罕为纪念其爱妃所建，她宏伟壮观，纯白大理石砌建而成的主体建筑叫人心醉神迷，成为世界七大奇迹之一。陵寝以宝石镶饰，图案之细致令人叫绝。传说陵寝中有一个三角形图案，以相同大小的圆宝石镶饰而成，共有100层（见下图），奢靡之程度，可见一斑。你知道这个图案一共花了多少宝石吗？,数形结合运用（六）解决问题,问题1：图案中，第1层到第21层一共有多少颗宝石？借助几何图形之直观性，引导学生使用熟悉的几何方法：把“全等三角形”
19、倒置，与原图补成平行四边形。,数形结合运用（六）解决问题,A、B、C、D、E进行象棋比赛，每两人之间都要赛一盘。到现在为止，A已经赛了4盘，B赛了3盘，C赛了2盘，D赛了1盘，请问E已经赛了几盘？,数形结合运用（七）逻辑推理,A、B、C、D、E进行象棋比赛，每两人之间都要赛一盘。到现在为止，A已经赛了4盘，B赛了3盘，C赛了2盘，D赛了1盘，请问E已经赛了几盘？,数形结合运用（七）逻辑推理,数形结合运用（八）差一块,我看了图,是一个三角形重新,拼装后,似乎多了个洞,你可能理解成面积在减少,但我看就是把原来没洞的,拼成了有洞的形状,面积丝毫也没变.因为,我们看到的一条斜边,并非直线,而是折线,上
20、图是往内折,下图是往外折,这里相差的面积,刚等于那个洞.我们如有兴趣,可以计算一下面积:一小方块为1,绿:8,橙:7,红:(3*8)/2=12,墨绿:(2*5)/2=5,总面积=8+7+12+5=32;长为13,高为5的三角形的面积=(5*13)/2=32.5;直线和折线所形成的三角形恰是0.5,这样,大家看清楚了.如果,再测定一下折线的角度,可得:178.25度,你能用肉眼测定这个角度吗?又想到了一条可用肉眼证明这斜边不是直线的方法:这图是画在5*13的小方格上的,5,13,是互素的,所以,这对角线必然不经过中间的任何交叉点,而现在,我们能在两张图上都能发现此线经过一个(不同的)交叉点,所以,他们都不是直线.(而是折线),设计说明：几何直观能启迪思路，帮助理解，因此，借助几何直观学习和理解数学，是数学学习中的重要方面。只有做到了直观上的理解，才是真正的理解。因此在教学中，要鼓励学生借助几何直观进行思考，揭示研究对象的性质和关系，从而渗透了数形结合的数学思想。,
