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1、1,曲线和曲面上的积分,场论,2,基本概念,梯度场:设是Rn上的一个光滑实值函数(纯量场),自然给出了上的一个向量场,也记为,它称为的梯度场,简称梯度场;散度场:设F是Rn上的光滑向量场.上的数量场 称作F的散度(场),也记作div F=F,3,基本概念(续),旋度场:设F=(P,Q,R)是R3上的一个光滑向量场.向量场 称作F的旋度(向量场),也记成rot F=F记号(读作nabla)也称作梯度算子,把它理解为,4,梯度场的意义,设是Rn上的一个光滑实值函数(纯量场),是其梯度场.也记作grad.的基本意义是给出了在的各点最大的方向导数的值及其方向;给出了的等高面(x)=c上的法向量场;(x
2、0)(x-x0)=0是等高面(x)=(x0)在x0点的切平面;是描述数量场扩散的基本数学量.,5,散度场的意义,设F是Rn上的一个光滑向量场,div F=F叫做F的散度场.div F(x0)表示向量场F在x0点的发散程度:设V是包含x0点(x0点为内点)的区域F在V上的平均发散程度定义为当|V|趋于零时,由Gauss公式就得到上面的解释.div F(x0)()0表示x0是F的源(或漏)点.,6,梯度场的散度场,设是Rn上的一个光滑实值函数(纯量场),其梯度场的散度场div=D在讨论温度场和密度场等数量场时是基本的.D=叫Laplace算子如果div F=0,就称F为无源场,例如三维空间中,向量
3、场的旋度场就是无源场.,7,旋度场的意义,设F=(P,Q,R)是R3上的一个光滑向量场.rot F=curl F=F叫F的旋度.curl F(x0)表示向量场F在x0点的环流(涡旋)程度(是一个向量).它的解释要复杂一些:取定义个方向n(单位向量),S是过x0点与n垂直的平面区域C是其边界曲线,取其方向与n的方向成右手螺旋,定义F在S上在n方向上的平均环流为,8,旋度场的意义(续),当|S|趋于零时,其极限定义为定义F在x0点在n方向的环流curl(F,n)(x0),由Stokes公式,curl(F,n)(x0)=curl(F)(x0)n如果一个F的旋度为零,F称为无旋场.例如梯度场就是无旋场.,
