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1、1.4.2 正弦函数、余弦函数的性质,问题提出,问题.根据正弦函数和余弦函数的图象,你能说出它们具有哪些性质？,根据正弦函数和余弦函数的定义域为R,值域是-1,1,函数的周期性,一、周期函数的概念,思考1:观察上图,正弦曲线每相隔 个单位重复出现.,2,诱导公式sin(2k+x）=sinx,其理论依据是什么？,诱导公式sin(x+2)=sinx,的几何意义,X,X+2,X,X+2,正弦函数值是按照一定规律不断重复地出现的,当自变量x的值增加2的整数倍时,函数值重复出现.数学上,用周期性这个概念来定量地刻画这种“周而复始”的变化规律,思考2:设f(x)=sinx,则sin(x+2)=sinx用符
2、号语言可以怎样表示？,f(x+2k)=f(x),这就是说：当自变量x的值增加到x+2k时，函数值重复出现.为了突出函数的这个特性，我们把函数f(x)=sinx称为周期函数，2k为这个函数的周期(其中kz且k0).,思考3:把函数f(x)=sinx称为周期函数.那么,一般地,如何定义周期函数呢？,周期函数的定义:对于函数f(x)，如果存在一个非零常数T，使得当x取定义域内的每一个值时，都有f(x+T)=f(x)那么函数f(x)就叫做周期函数，非零常数T就叫做这个函数的周期.,思考4：周期函数的周期是否唯一？正弦函数y=sinx的周期有哪些？,答:周期函数的周期不止一个.2,4,6,都是正弦函数的
3、周期,事实上,任何一个常数2k(kz且k0)都是它的周期.,周期函数的定义:对于函数f(x),如果存在一个非零常数T,使得当x取定义域内的每一个值时,都有f(x+T)=f(x)那么函数f(x)就叫做周期函数,非零常数T就叫做这个函数的周期.,已知f(x+T)=f(x)(T0)，求证:f(x+2T)=f(x),证明：因为T是f(x)的周期，所以f(x+T)=f(x)，F(x+T)+T=f(x+T)，即f(x+2T)=f(x)因此2T是f（x）的周期,这个命题推广可得到什么结论？,2T，3T，nT（nZ）也都是f（x）的周期,如果一个函数是周期函数,所有的周期就构成一个无穷集合,最小正周期:,今后
4、本书中所涉及到的周期,如果不加特别说明,一般都是指函数的最小正周期.,思考5：周期函数是否一定存在最小正周期？,例如：f(x)=c(c为常数）,否,如果在周期函数f(x)的所有周期中存在一个最小的正数,则这个最小正数叫做f(x)的最小正周期.,周期函数的定义:对于函数f(x),如果存在一个非零常数T,使得当x取定义域内的每一个值时,都有f(x+T)=f(x)那么函数f(x)就叫做周期函数非零常数T就叫做这个函数的周期.最小正周期:如果在周期函数f(x)的所有周期中存在一个最小的正数,则这个最小正数叫做f(x)的最小正周期.,答：正弦函数y=sinx有最小正周期，且最小正周期T=2,思考6：我们
5、知道 2，4，6，都是y=sinx的周期,那么函数y=sinx有最小正周期吗？若有,那么最小正周期T等于多少？,证明：假设存在T(0,2)使得y=sinx对于任意的xR都成立,那么根据周期函数的定义，当x为任意值时都有 sin（x+T）=sinx,这与T(0,2)时,cosT1矛盾.这个矛盾证明了y=sinx,xR的最小正周期是2.,令x=/2,代入上式得，sin（/2+T）=sin/2=1.但sin（/2+T）=cosT，于是又cosT=1。,证明：正弦函数y=sinx有最小正周期，且最小正周期T=2,f(xT)=f(x)是反映周期函数本质属性的条件.对于任意常数T(T0),如果在函数定义域
6、中至少能找到一个x,使f(xT)f(x)不成立,则y=f(x)不是周期函数.对于某个确定的常救T0.如果在函数定义域中至少能找到一个x,使f(xT)f(x)不成立.我们能断言T不是函数y=f(x)的周期,但不能说明yf(x)不是周期函数,判断下列说法是否正确,（1）时，则 一定不是 的周期,（）,（2）时，则 一定是 的周期,（）,X,X+2,自变量x增加2时函数值不断重复地出现的,4,8,6,12,三角函数的周期性:,4.T是f(x)的周期，那么kT也一定是f(x)的周期.(k为非零整数),正弦函数y=sinx是周期函数,2k(kZ且k0)都是它的周期,最小正周期 T=2余弦函数y=cosx
7、是周期函数,2k(kZ且k0)都是它的周期,最小正周期 T=2,思考7：就周期性而言，对正弦函数有什么结论？对余弦函数呢？,二：周期概念的拓展,思考1：判断下列说法是否正确,思考2：周期函数的定义域有什么特点？,函数f(x)=sinx,x0，10是周期函数(),x在定义域内，x+T也在定义域内,周期函数的定义域是个无限集,例1 求下列函数的周期：y=3cosx,xR;y=sin2x,xR;y=2sin(-),xR;,3cos(x+2)=由周期函数的定义可知,原函数 的周期为2,解：,y=cosx的周期为2,3cosx,y=sin2x,xR;,sin2(x+)=由周期函数的定义可知，原函数的周期
8、为,sin2x,解：,y=2sin(-),xR;,由周期函数的定义可知，原函数的周期为4,解：,由上例知函数y=3cosx的周期 T=2；函数y=sin2x的周期 T=；函数y=2sin(-)的周期 T=4想一想：以上这些函数的周期与解析式中哪些量有关吗？,思考5:一般地,函数 的最小正周期是多少?,思考3:函数y=3sin(2x4)的最小正周期是多少?,思考6:如果函数y=f(x)的周期是T,那么函数y=f(x)的周期是多少？,例2已知定义在R上的函数f(x)满足f(x2)f(x)=0，试判断f(x)是否为周期函数？,分析由已知有：f(x2)=-f(x)f(x+4)=即 f(x4)=f(x)
9、由周期函数的定义知，f(x)是周期函数.,f(x),=-f(x)=,-f(x2),f(x2)+2=,例3 已知定义在R上的函数f(x)满足f(x1)=f(x1),且当x0,2时,f(x)=x4,求f(10)的值.,解：因为f(x+1)=f(x-1)，所以f(10)=f(9+1)=f(9-1)=f(8);f(8)=f(7+1)=f(7-1)=f(6);f(6)=f(5+1)=f(5-1)=f(4);f(4)=f(3+1)=f(3-1)=f(2);f(2)=f(1+1)=f(1-1)=f(0);因此f(10)=f(0);而f(0)=0-4=-4。所以f(10)=-4,练习1.,求下列函数的周期：,
10、练习2,(1)函数ysinx的周期是T=(2)函数ycos2x的周期是T=_.,3.下面函数是周期函数吗？如果是周期函数，你能找出最小正周期吗？,4.y=sinx(x0,4)是周期函数吗？,5.是不是周期函数？为什么？,一般地，函数 y=Asin(x+)及y=Acos(x+)（其中A,为常数，且 A0,0）的周期是:,周期求法：,1.定义法：2.公式法：,3.图象法:,g(x)=|sinx|xR.,如果在周期函数f(x)的所有周期中存在一个最小的正数,则这个最小正数叫做f(x)的最小正周期,归 纳 整 理,1.说说周期函数的定义.,3.什么叫周期函数的最小正周期？,2.求函数周期的方法：,4.
11、周期函数的周期与函数的定义域有关，周期函数不一定存在最小正周期.,5.周期函数的周期有许多个，若T为周期函数f(x)的周期，那么T的整数倍也是f(x)的周期.,6.函数y=Asin(x+)和y=Acos(x+)(A0)的最小 正周期 T=,这个公式，解题时可以直接应用,（1）定义法,（2）公式法,（3）图象法,作业：P36练习 P46：A组 3 B组 3,证明：函数f(x)的周期是T，则 f(x+T)=f(x)对定义域内的任何x都成立 设 g(x)=f(x)则 g(x+T/)=f(x+T/)=f(x+T)=f(x)=g(x)这说明了函数g(x)以 T/为周期 即 函数 f(x)以 T/为周期。,设函数y=f(x)是以T为周期的周期函数，试证函数y=f(x)(0)是以T/为周期的周期函数,
