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1、1,第四次课、Maxwell方程组和波动方程,一、Maxwell方程组二、物质方程组三、边值关系 四、洛仑兹力 五、波动方程,内容,2,一、Maxwell方程组,1、积分形式2、微分形式,内容,3,1、积分形式,(1),Faraday电磁感应定律,(2),电场Gauss定律,(3),磁场Gauss定律,(4),Maxwell-Ampre定律,电场强度矢量,磁感强度矢量,电位移矢量,电荷密度,位移电流矢量,磁场强度矢量,电流密度矢量,4,2、微分形式,对上述积分公式分别用Stokes公式：,和Gauss公式：,(5),(6),(7),(8),电场强度矢量的旋度等于磁感应强度随时间的变化率(负值)
2、，即空间某一点磁通密度的变化在该点周围产生一个环形电场。,电位移矢量的散度等于空间同一处的自由电荷密度，即电位移矢量是由正电荷所在点向外发散或向负电荷所在点汇聚。,磁场中任意一点的磁感应强度的散度恒等于零，即磁场是无源场，没有起止点。,磁场强度的旋度等于引起该磁场的传导电流密度和位移电流密度(电位移矢量随时间的变化率)之和，也可这样理解：环形磁场可以由传导电流产生，也可以由位移电流产生。,5,(5),(6),(7),(8),是涡旋场,是有源场,和 是有旋无源场,(5),两边求散度,(7),(8),两边求散度,利用电荷守恒定律：,(6),四个方程只有两个是独立的。,简单讨论,6,二、物质方程组,
3、1、真空中 2、均匀各向同性介质中 3、均匀各向异性介质中,7,(11),(10),(9),1、真空中,(12b),(12a),真空的介电常数。,各矢量满足物质方程：,介电常数导磁率导电率,真空中的磁导率。,8,2、均匀各向同性无色散介质中,(13a),(13b),是介质的相对磁导率,是介质的介电常数,是介质的相对介电常数,是介质的磁导率,对于导电介质，还有：,(9),对于一般非磁性介质,它描述了介质中电流密度和电场强度矢量之间的关系，电导率是一个量纲不为1的标量物质常数，单位是西门子/米(S/m)。真空中的电导率为0。,9,3、均匀各向异性介质中,一般的有：,(14),(15),称之为介电张
4、量，是二阶张量，一般情况下，介电张量由9个非零元素组成。,选取适当坐标如以介电主轴为坐标轴(对应的坐标就称为主坐标系)，可以使得这个张量变成只有三个非0元素的对角张量：,(16),10,纵论：*电磁场的物质方程反映了所处介质的宏观电磁性质，这个性质称为极化性质。*真空和均匀各向同性介质的极化性质与外场强度呈线性，方向相同；*各向异性介质也与外场强度呈线性，方向不同。强电磁场下，还呈非线性，超出本课程范围。,11,三、边值关系,电磁场总要穿过两种介质的分界面的。这时，由于界面两侧的物质常数不同，可以设想，界面两侧电磁场量将发生跃变而不连续。根据积分形式的麦克斯韦方程组得：,(17),为界面法线方
5、向的单位矢量,为界面上的传导电流密度,为自由电荷(体)密度。,12,(19),下标n，t表示场的法向和切向分量。,(18),当不存在自由电荷、电流分布时,可见，不存在自由电荷、电流分布时，电场强度和磁场强度矢量的切向分量连续；而电位移矢量和磁感应强度的法向分量连续。,13,在界面处的条件(18)或(19)可利用积分形式的麦克斯韦方程组来讨论,1电场 的边界条件,长边长度l,短边长度hl,规定矩形的周边为逆时针方向为正,界面法线单位矢量的方向自媒质1指向媒质2,R可以忽略,边界两侧 的值有限,14,只要保持，即可得到 垂直于界面或平行于界面法线 的结果。,由此得出结论：在界面两侧，电场强度的切向
6、分量连续。,小矩形的取法是不唯一的，它可以在原位绕着界面的法线 旋转,这个结论可表示成：,15,2磁场 的边界条件,上下面线度均远远小于波长,扁盒的高度h0,表明磁感应强度在界面两侧的法向分量是连续的,16,电场Gauss定律,这说明，电位移矢量在界面两侧的法向分量是连续的。,结合图3规定的积分域，在没有自由电荷的情况下，可导出 的边界条件：,17,4磁场强度 的边界条件,Maxwell-Ampre定律：,结合图1所规定的积分域，,在没有电流的情况下，,采用相同的方法可求出 的边界条件：,这表明磁场强度的切向分量连续。,18,四、洛仑兹力,当一个电量为e，速度 为的运动电荷位于电磁场中时，将同
7、时受到电场和磁场的作用力，称为洛仑兹力，表示为：,(20),(21),一个电量为Q体积为V的带电系统受到电磁场作用的洛仑兹力密度为：,19,五、波动方程,1、无源空间的波动方程2、有源空间的波动方程,20,1、无源空间的波动方程,(22),(23),(24),(25),下面讨论最简单的一种情况,(5),(6),(7),(8),无源空间,21,(25),两端对时间微分,(22),(26),称为Laplace算符,于是对于一维的情形，有：,(26),同样,(27),公式(26)、(27)就是普通物理光学里的波动方程。,22,(27),交变的电场 和磁场 以波的形式在物质常数为=0、无色散的介质里传
8、播，其传播速度为：,(28),对于真空,(26),23,这与实际测得的真空中的数值很接近，1860年左右，Maxwell将之作为重要依据，提出了光的电磁理论并预言了光就是一种电磁波。1889年，Hertz发现了电磁波，观察了电磁波在金属表面的反射，在石蜡棱镜中的折射，并证明电磁波和光波一样具有干涉、衍射和偏振的现象。除了无线电波和光波之外，x射线、射线也是电磁波，只是波长短，将电磁波按照波长或者频率排列，形成电磁波谱。光谱区包括红外辐射、可见光和紫外辐射，可见光谱区只是电磁波谱中波长在0.4m到0.76m的一段很窄的波段。,对于无色散各向均匀介质,(29),对于一般非磁性介质,(30),介质的折射率,24,总结,一、Maxwell方程组二、物质方程组三、边值关系 四、洛仑兹力 五、波动方程,1、积分形式2、微分形式,1、真空中 2、均匀各向同性无色散介质中 3、均匀各向异性介质中,(18),(21),1、无源空间的波动方程2、有源空间的波动方程,25,预告：几种光波及相关知识,
