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1、第七专题 机械振动与机械波,解题知识与方法研究,疑难题解答研究,例1、质点运动中的部分运动 属于谐振动的问题.,例2、非惯性系中的简谐振动 问题,一、简谐振动的三种等价定义（对线量、角量均适用）,三、非简谐的周期振动,四、一般情况（含纵、横向）的 多普勒效应,二、简谐振动的势能计算,解题知识与方法研究,一、简谐振动的三种等价定义（对线量、角量均适用）,1、谐振动的运动学定义,2、谐振动的动力学定义,式中，,称为振动系统的振动系数(不一定等于劲度系数).,3、谐振动的机械能定义,例1 悬挂在同一高度的两根不可伸长的轻质绳，绳长均为l，下面挂一质量为M的光滑匀质薄平板.平板中央有一质量为m的光滑小
2、木块.开始时系统处于静止悬挂状态，两绳互相平行，如图.而后在两绳平面内给平板一个小的水平扰动，使其获得水平速度v0，此板即作小角度摆动.求小摆动的周期.,解,取平衡位置为零势能位置.,系统各物运动如图.,系统动能为,m与M具有相同的向上运动速度,即,系统势能为,系统的总机械能,于是,因其符合谐振动能量的表达式,且守恒.故题述的振动为谐振动.,其周期为,二、简谐振动能量的计算,2-1、动能计算：,2-2、势能计算：,方法一（各种势能统一计算）：,方法二（各种势能分别计算）：,重力势能的零势能位置是可任选的（弹性势能不任选）.,注意：,方法一中：,k不一定是弹簧的劲度系数.,x不一定是弹簧的伸长.
3、,零势能位置即平衡位置.,方法二中：,ki是弹簧的劲度系数.,Li是弹簧的伸长.,例如 在右图（c）中,计算系统的势能.,按方法一计算：,按方法二计算：,（1）若取小球的平衡位置为零重力势能位置,弹簧处于自然伸长为零弹性势能位置.,得知,（2）若弹性势能、重力势能零位置均取小球的平衡位置.,得知,则,则,4-3、总机械能（势能按方法一计算）：,即,三、非简谐的周期振动,也存在大量不满足谐振动定义式：,（1）非小角度的摆（复摆、单摆）是非简谐的周 期振动；,例如：,（2）行星在太阳引力下的椭圆轨道运动在长轴和 短轴方向的分运动也是非简谐的周期振动.,的周期振动.,例2 在光滑的水平面上有两根质量
4、可忽略的相同的弹簧，它们的一个端点连接着同一个光滑小物体，另外两个端点A1，A2被固定在该水平面上，并恰好使两弹簧处于自由长度且在同一直线上，若小物体在光滑水平面上沿着垂直于A1、A2连线的方向受扰动稍稍偏离初始位置，试分析小物体是否能做简谐振动.,解,小物体的运动、受力、位置情况如图.,四、一般情况下（含纵、横向）的多普勒效应计算,1、纵向多普勒效应计算（波源、观察者在波线上相对介质运动）,何谓横向？,2、横向（无）多普勒效应：,波源的速度（发出某波的瞬时）、观察者（接受该波的瞬间）的速度均垂直某波线方向.,横向的理解：,3、一般情况下（含纵、横向）的多普勒效应计算,如图.,观察者O在t2时
5、刻于A2处收到波源S于之前的t1时刻在B1处发出的波.,观察者O在t2时刻于A2处收到波源S发出的波时波源已运动到B2处.,速度分量vO、vS不影响观察者收到的频率.,例3 两辆汽车A与B，在t=0时在十字路口分别以速度vA和vB沿水平的、相互正交的公路匀速前进，如图所示.汽车A持续地以固定的频率f0鸣笛，求在任意时刻t汽车B的司机所监测到的笛声频率f.已知声速为u，且当然有u vA、vB.,解,如图，,由几何关系可知,即,以t1为变量，解方程得,B车在(b,t)收到A车在(a1,t1)发出的笛声.,如图，有,将 代入，再将 代入多普勒效应公式,得,例1 一个大容器中装有互不相容的两种液体，它
6、们的密度分别为1和 2（1 2）.现让一长为L、密度为=(1+2)/2的均匀 木棍，竖直地放在上面的液体内，其下端离两液体界面的距离为3L/4，由静止开始下落.试计算木棍到达最低处所需的时间.假定由于木棍运动而产生的液体阻力可以忽略不计，且两液体都足够深，保证木棍始终都在液体内部运动，既未露出液面，也未与容器底部相碰.,解,（1）如图，在上层液体中匀加速运动.,设木棍横截面积为S，长度为L.,疑难题解答研究,木棍运动如图,由,得,（2）如图，当木棍经过两层液体分界面时.,则有,即,得到,所以当棍的质心C（即中心）到分界面时，为其平衡位置.,如图，建立坐标.,当棍质心坐标为x（|x|L/2）时，
7、,棍受力为,棍通过分解面时的运动是某振动区间为(A-A)的谐振动的在(L/2-L/2)之间的一部分.,该谐振动的角频率,该振动的振幅,棍下端抵达液体分界面时（开始进入振动状态）的速度,在旋转矢量图中，木棍的部分振动对应于矢量从P1点转到P2点.,可知,（3）木棍在下层液体中匀减速运动.,其运动过程与在上层液体中情况是对称的.,所用时间为,所以棍通过界面的时间为,综上可知木棍运动的总时间为,例2 如图所示，放在水平地面上高1cm的三角形支架上一固定的水平横杆，横杆下用细线悬挂一个小球A，A通过一根轻弹簧与另一相同的小球B相连，B静止不动时，弹簧伸长l0=3.0cm，今将悬挂球A的细线烧断，A、B
8、便与弹簧一起往下运动，假设B触及地面上的橡皮泥前的瞬时，弹簧的伸长量也正好是3.0cm，而后B即与橡皮泥发生完全非弹性碰撞.考虑到A球将会继续朝下运动，试求弹簧相对其自由长度的最大压缩量l=？,解,设两球的质量各为m.,所以弹簧的劲度为,烧断线后质心C（始终为弹簧中点）作自由落体运动.,A、B球相对质心参照系作仅受半根弹簧弹力作用的谐振动.,对应的劲度为,静止时有,振动的周期为,题设B球触地前的瞬间弹簧的伸长量又成为起初时的3.0cm,表明系统恰好完成了若干个全振动.,质心C下落的距离为,可算得,所以质心C实际下落的距离仅为h1（系统仅完成一个全振动）.,在B球触地前的瞬间，两球对地的速度同为质心C对地的速度,此时两球的动能均为,系统的弹性势能为,B球与地面完全非弹性碰撞后，动能变为零.在以后过程中，系统能量守恒.,设弹簧最大压缩量为.,代入h1、l0的值，解得,有,如图所示.,
