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1、机械工程及自动化研究所,现代信号处理技术及应用,第六章 连续小波变换及其工程应用,西安交通大学机械工程学院研究生学位课程,第六章 连续小波变换及其工程应用,6.1 谐波小波变换及其工程应用6.2 Laplace小波特征波形相关滤波6.3 Hermitian连续小波变换与信号奇异性识别,引言,小波分析中被广泛使用的Daubechies类小波与样条小波都是实小波，它们没有明确的解析表达式，对信号的小波分解是通过构造相应的正交滤波器系数hk和gk运用Mallat快速算法实现的。除了这两类小波，其它类型的小波基函数也被陆续构造出来并且得到了深入研究和工程运用。本章介绍三种在工程实际应用中取得了理想效果
2、的连续小波基函数，它们都具有明确的解析表达式。这三种连续小波分别是谐波小波、Laplace小波和Hermitian小波。,6.1 谐波小波变换及其工程应用,谐波小波的定义及正交性6.1.2 Newland快速算法6.1.3 谐波小波时频图6.1.4 谐波小波滤波6.1.5 谐波小波应用小波分形技术原理与离散信号盒维数的计算 谐波小波轴心轨迹阵列的实现及其不规则度描述,谐波小波的定义及正交性,谐波小波(harmonic wavelet)是由剑桥大学D.E.Newland教授在1993年提出的。谐波小波是一种复小波，在频域紧支，有明确的函数表达式，其伸缩与平移构成了L2(R)空间的规范正交基。谐波
3、小波小波具有完全“盒形”的频谱。谐波小波分解算法是通过信号的快速傅里叶变换（FFT）及其逆变换（IFFT）实现的，算法速度快，精度高，因而具有很好的工程应用价值。,谐波小波的定义及正交性,实偶函数we(t)和实奇函数wo(t),它们的傅里叶变换分别为,谐波小波的定义及正交性,W()所对应的函数w(t)=we(t)+iwo(t)由W()的傅里叶逆变换得,w(t)函数为谐波小波，它是复小波，在频域紧支，且具有完全“盒形”的频谱。,谐波小波的定义及正交性,根据小波理论对谐波小波进行伸缩、平移就生成谐波小波函数族（j,kZ）：,设w(t)伸缩平移得到函数族为v(t)，即,其频谱为,随着小波层（即j）的
4、变大，谐波小波的频谱宽度倍增而幅值降低,分析频宽从高频到低频是以1/2关系逐渐减小的，对信号的低频部分划分比较细，而高频部分划分比较粗，这说明谐波小波分解是一种小波分解,谐波小波的定义及正交性,当j 0，W()与V()在频域中总处于不同的频段，因而总有,说明处于不同层的谐波小波总是正交的,对于处于同层的谐波小波w(t)，w(t k),其中(k 0,k Z)，,说明处于第零层的谐波小波也是正交的。对其它层，以上结论可以类似得到。,因此，w(t)及其伸缩平移函数族构成信号的正交基。以谐波小波作为基函数系就可以将信号既不交迭，又无遗漏地分解到相互独立的空间，实现将信号成分分解到不同频段。,6.1.2
5、 Newland快速算法,谐波小波构成了L2(R)空间的规范正交基，则任何信号x(t)L2(R)都可以表示为谐波小波的线性和，即,aj,k为函数x(t)的小波展开系数,用求内积的方法计算小波展开系数运算量太大，是很不实用的。因此谐波小波的提出者Newland给出了一种快速算法，可以快速而精确地求得谐波小波分解，对谐波小波运用于工程实践有很大好处。,6.1.2 Newland快速算法,Newland快速算法是通过信号的快速傅里叶变换FFT和快速傅里叶逆变换IFFT实现。设有离散信号x(r)，r=0,N 1,其中N=2n，其谐波小波分解为as,s=0,N 1。令,as由Fs经分段、对每一段作IFF
6、T得到，下两式为其表达式：,6.1.2 Newland快速算法,下图表示一数据长度为16的实序列的谐波小波分解示意图,6.1.3 谐波小波时频图,谐波小波分解结果一般用小波时频图（Wavelet Time-Frequency Map）直观表示。在各网格以as模的平方为高作柱体就构成了谐波小波时频图。小波时频图是随|as|2起伏的面。这里高度取lg|as|2。,由Parseval公式得到，谐波小波分解结果表明不同频率和时间的谐波小波能量对整个信号能量贡献的大小,6.1.3 谐波小波时频图,下图为信号x(r)=sin(215tr)，(r=0,511；tr=r/320)的波形及谐波小波分解时频图。该
7、信号是单一频率的，所以谐波小波分解只有一个层有值，在小波时频图上表现为对应的层有峰值。,谐波小波分解系数，低频频带内的数据点数少，高频频带内的数据点数多。,6.1.4 谐波小波滤波,旋转机械状态监测与故障诊断利用机组同一截面两路相互垂直振动信号的合成轴心轨迹来监测其运行状态和识别故障类型。当设备出现故障时，信号表现出非平稳特性，而小波变换对处理非平稳信号是非常有效的，我们可以用相互垂直的X方向与Y方向的小波分解结果来合成轴心轨迹。Mallat算法分解时要隔二抽一，从而使得小波分解各层的数据点数和采样频率随分解层次增加而逐渐减小。这样，直接对运行转子垂直、水平方向振动信号进行小波分解，采用同一尺
8、度同一频段的分解数据合成轴心轨迹，将使轴心轨迹不但不具有可比性，而且由于数据点数减少、采样频率降低会使合成的轴心轨迹失真，这种直接合成轴心轨迹的方法是不合适的。谐波小波滤波能够在低频频带和高频频带内都具有足够的数据点数。,6.1.4 谐波小波滤波,谐波小波实际上是一个完全理想的带通滤波器，可以用下面的方法定义谐波小波,其中m,n决定了谐波小波变换的尺度（j），且n=2m，当m=0时，n=1。,谐波小波的光滑性，“盒形”谱特性，零相移特性以及明显的数学表达式，使得我们可构造出不同尺度下各频段序列数据点数不变、采样频率不变的算法，最终成功应用于转子轴心轨迹分析,6.1.4 谐波小波滤波,6.1.4
9、 谐波小波滤波,6.1.4 谐波小波滤波,为了对信号的某一特定频段的成分进行研究，在对信号的谐波小波分解进行重构时可将其它频段的谐波小波系数置为“0”，只保留该段的小波系数，由于谐波小波的正交性，如此重构的结果只包含信号该频段的成分，其它成分都被剔除了。这个算法与本节开始所给出的算法是一致的，实际是谐波小波重构算法的延伸，是对信号进行了滤波，我们称这一过程为谐波小波滤波。,谐波小波滤波计算过程并未采用基于隔二抽取的Mallat算法，因此保证了信号各频段成分点数不变，采样频率不变，这样就可以实现机组同一截面互相垂直两个方向振动信号的轴心轨迹合成。,6.1.4 谐波小波滤波,谐波小波包变换,6.1
10、.5 谐波小波应用,小波分形技术原理与离散信号盒维数的计算谐波小波轴心轨迹阵列的实现及其不规则度描述,小波变换只是把信号从时间域变换到时间尺度域或时间频率域，如何从小波变换后的信号中提取机械动态信息和故障特征才是工程应用领域最关心的问题。因此，为了使小波分析技术达到工程实用化，必须研究开发小波变换信号再处理技术,小波分形技术原理与离散信号盒维数的计算,分形的自相似仿射算子r与小波变换的伸缩因子a是作用相同，小波变换从低分辨到高分辨的过渡原则与分形过程的从总体向局部、从宏观向微观深化分析原则是一致的，小波和分形都具有自相似性，两者结合是可行的。小波分形技术原理是应用小波包变换将机械振动信号分解到
11、正交的、独立的频带内，然后分别计算出每个频带信号的盒维数，用盒维数衡量小波包分解每个频带信号的复杂程度由于一维离散信号的盒维数是介于1和2之间的一个实数，信号越复杂维数越大,小波分形技术原理与离散信号盒维数的计算,设离散信号 是n维欧氏空间Rn上的闭集。将Rn划分成尽可能细的网格，若是网格宽度N 为的离散空间上集合X的网格计数。盒维数定义为:,由于离散信号的最高分辩率为采样间隔 t，所以上式的极限是无法按其定义0求出。实际计算时一般采用近似方法，即将网格视为最小网格，然后逐步放大为k网格，kZ+，令,则网格宽度为k的信号x(j)的网格计数为,小波分形技术原理与离散信号盒维数的计算,在lg k
12、lg Nk图中确定线性好的一段为信号无标度区，如果无标度区的起点和终点分别为k1，k2，则在此区域内，应该满足线性回归模型,这样，用最小二乘法可求得信号x(j)的盒维数为,即盒维数是最小二乘法拟合直线斜率的估计值,小波分解l次后第i频带信号 的盒维数分别记为，可以作为无量纲指标来描述振动信号在不同尺度下和不同频带内的复杂性和不规则性，从而提取出故障出现时信号的非平稳特征。,谐波小波轴心轨迹阵列的实现及其不规则度描述,某大型化肥厂CO2压缩机发生喘振时，高压缸水平方向（X方向）和垂直方向（Y方向）由涡流式位移传感器拾取的振动信号，转子转速6530r/min，采样频率2000Hz，数据长度1024
13、点。,轴心轨迹较为复杂且不规则，加之较小的高倍工频分量影响使得轴心轨迹有一些局部能量突变点，且其分形盒维数也比较大。,谐波小波轴心轨迹阵列的实现及其不规则度描述,X方向、Y方向信号的第2层谐波小波包分解 与第0频段合成轴心轨迹及其分形盒维数,第0频段小波对应的是低频喘振、工频振动和二倍频振动的特征，高倍工频分量影响已剔除，轴心轨迹光滑度提高，不规则度减少，其分形盒维数1.3536相对原始轴心轨迹也有所减少,谐波小波轴心轨迹阵列的实现及其不规则度描述,第3层谐波小波包分解后，第0、1频段合成轴心轨迹及分形盒维数,图(d)分形盒维数1.2604较前图有所减少，但其分形盒维数为明显比正常机组大，这说
14、明低频喘振的确是一种低频不平稳性振动。图(f)的1.3501盒维数说明低频喘振不但自身是不平稳的晃动，而且影响着二倍频区的稳定性，导致二倍频区也有晃动现象发生,6.2 Laplace小波特征波形相关滤波,6.2.1 Laplace小波及其特性6.2.2 Laplace小波基函数相关滤波6.2.3 应用实例,冲击响应信号检测的意义,振动信号中出现冲击响应波形往往标志着旋转机械设备发生松动、碰撞、冲击等故障。如何从强大的工频振动、谐波振动和背景噪声中提取出冲击响应信号的发生时刻、振荡频率和阻尼比等参数对设备故障的诊断和定位至关重要。在往复机械中，活塞、连杆、气阀等运动部件对系统具有相同的激励频率，
15、在频谱上频率特征互相重叠，很难分辨。然而，各个运动部件对系统施加的冲击并非同时发生，即相互之间有一定的相位差，因此在时域上表现为一系列有一定时间间隔的冲击响应波形，每一个冲击频率与某个特定运动部件相对应，如果将这些单个冲击响应波形提取出来，分别用特征参数表示，即可对往复机械机构的状态进行趋势分析和诊断，因此，冲击响应信号的提取对往复机械故障诊断意义重大。,Laplace小波的引入,使用与信号波形最匹配的基函数对信号进行分解、提取出隐含故障特征是故障诊断专科门诊思想的精髓。自从将小波分析引入到机械故障诊断领域以来，我们就一直在寻找一种小波，它在满足小波的基本条件的同时，应该具备与冲击响应信号类似
16、的单边衰减性质。对一个二阶欠阻尼系统进行Laplace反变换，Strang G.构造出了Laplace小波，该小波在复数空间内为螺旋衰减曲线，其实部和虚部与单自由度结构系统的自由衰减响应函数非常相似。Lawrence C.Freudinger等人将Laplace小波成功应用于无人驾驶飞机机翼模态参数的识别，取得了良好的效果,Laplace小波及其特性,与单自由度结构系统的自由衰减响应函数非常相似紧支性是显而易，不具备正交性，其频域盒形不好，故滤波特性较差,Laplace小波基函数库 课件下载地址,离散网格空间,Laplace小波基函数库,称作Laplace小波基函数库的小波原子。集合F 相当于
17、小波伸缩集合T 相当于小波平移集合Z 改变小波衰减形状,相关滤波法,内积可以度量信号之间的相关性，若信号x(t)是某个系统S的输出，通过计算x(t)与Laplace小波原子的内积，可以估计它们之间的相似性，从而得到S的模态参数与的频率、阻尼特性的对应关系,和匹配追踪的思想类似,单自由度系统的脉冲响应信号,Laplace小波相关滤波方法具备在强大的噪声干扰中准确识别出脉冲响应信号频率的能力滤波法对频率参数较敏感 相关滤波法也适合于识别多自由度系统的模态参数 相关滤波法的计算量很大，为了减少计算量，加速计算过程，可采用了二次相关滤波法,转子试验台模态参数识别,通过转子试验台的升速过程测得其一阶临界
18、转速在115118Hz,内燃机缸盖振动信号识别,内燃机缸盖振动信号识别,是进气阀关闭时刻，由此可以推断该缸进气阀存在异常。停机检修，发现4号缸进气阀明显磨损而导致漏气，必然导致较强的冲击,大型水轮机轴系转动时一阶固有频率提取,大型水轮发电机组转轴系统动态固有频率是机组结构优化设计的重要技术指标。虽然动力学方法已经在水轮发电机组转轴系统分析中得到广泛应用97-99，但简化处理后的力学模型是近似的，由其得到的结果和实际工程对象往往存在很大的差别，因此，现场实测机组轴系的固有频率具有十分重要的意义,意义,难点,大型水轮发电机组转轴系为刚性转子，无法通多升降速测量固有频率敲击产生的响应很微弱,工作转速
19、为1.136Hz，轴系转动时的一阶固有频率的理论计算值为3.78Hz，试验估计值可能在34Hz之间,一次撞击振动信号识别,多次撞击振动信号识别,提高识别精度,从两种信号提取出的水轮机轴系固有频率（3.44Hz、3.64Hz）不完全相等，主要原因是强大的工频振动对相关滤波精度造成的影响。应用频带为36Hz的谐波小波带通滤波器，将信号中的工频振动分量滤掉,小结,冲击响应信号的有效提取和参数的正确识别对设备故障的诊断和定位至关重要。本章利用Laplace小波相关滤波法，建立了基于Laplace小波的冲击响应信号检测专科门诊。Laplace小波相关滤波法能够在强大噪声或其它干扰中准确捕捉到脉冲响应信号
20、，识别出响应波形的参数。可以预测，Laplace小波相关滤波法在模态识别和设备故障诊断中具有良好的应用前景。,6.3 Hermitian连续小波变换与 信号奇异性识别,6.3.1 机械故障诊断中的奇异性6.3.2 小波变换对信号奇异性检测的基本原理6.3.3 Hermitian小波的定义及特性研究6.3.4 Hermitian连续小波变换及分解结果的表达方式,信号奇异性检测的意义,机械设备由于局部异常而诱发的信号往往具有奇异性（Singularity），它表现为突变、尖点等不规则的瞬变结构。信号的奇异性包含了相应对象的重要状态特征信息，判断信号的奇异点出现时刻，并对信号奇异性实现科学的描述，在
21、信号处理和故障诊断等领域具有重要的意义 奇异性提取要求对信号进行局部化分析。由于小波分析具有良好的时频(尺度)局部化能力，它很自然被引入到信号奇异性分析领域 小波变换奇异性检测的研究工作主要包括两个方面：一是选择或构造局部化分析能力强的小波，二是研究小波变换结果的有效表达方式,小波变换对信号奇异性检测的基本原理,奇异性的定义,数学上称无限次可导函数是光滑的或没有奇异性。若函数在某处有间断点或某阶导数不连续，则称该函数在此处有奇异性，该点就是奇异点。信号的奇异性是由奇异点处的李氏指数（Lipschitz Exponents,LE）来度量的,小波变换的极值点、过零点与信号奇异性的联系,小波变换在奇
22、异性检测中的进展,Grossmann采用Morlet小波用于图像的边缘检测,在支撑区域内Morlet小波是多次振荡的，根据Nyquist采样定理，在离散处理时需要较多的数据点来表达Morlet小波。点数较多的滤波器必然会平滑掉信号中的部分奇异性104，所以，奇异性检测需要振荡次数较少的小波，这正是本章选择Hermitian小波的出发点,Mallat通过小波变换来求解LE，还研究了基于小波变换的奇异点信号重构，这些研究工作在信号压缩和图像识别中具有重大的贡献。,然而，就机械故障诊断而言，我们所关心的问题是信号奇异点的出现时刻和它的类型。对信号的过渡点比较敏感，而 则适合于识别信号的极值点。若需要
23、同时识别出信号的过渡点和极值点，两者不能兼顾。,Harold Szu创造性地将 合并为Hermitian小波。美中不足的是，Harold Szu只通过小波变换相空间截面图（相图）来对信号奇异性进行识别，忽略了小波变换时间-尺度幅值图（幅图）所包含的重要信息，没有真正发挥出Hermitian小波的优点。,Hermitian小波的定义及特性研究,只需要少量离散点即可表达，具有很强的时域局部化能力能保证变换后信号奇异点的时间位置不变,Hermitian连续小波变换及分解结果的表达方式,连续小波变换,连续小波变换的幅图和相图,时间尺度平面内分别用灰度图来描述 上面两个参数，就构造了的幅图和相图幅图和相
24、图的黑、灰、白分别对应小、中、大 考虑到Hermitian小波实部对信号极值点的识别能力，本章在绘制幅图时使用了小波变换的实部,两个正弦叠加信号,瞬时相位从 跳到,正峰值,负峰值,模拟信号分析,准脉冲信号奇异性的识别,含有小准脉冲的正弦信号奇异性识别,Morlet小波对上面信号进行变换结果,幅图清晰反映信号的周期性相图中对准脉冲的反映很不清楚，在低尺度下，相图出现明显的分岔，因此，Morlet小波不善于在噪声环境中提取信号的奇异性,应用实例齿轮箱止推夹板端面摩擦故障分析,分析对象,电机转速49.75Hz，增速比4.28125,振动现象,97年3月大修后开机，发现齿轮箱振动剧烈，并伴随尖叫声,空
25、分机5#轴承座振动信号,波形表现为强烈的高频振动。频谱中无法看到齿轮箱高速轴工频谱线，而是出现1480Hz、2960Hz和4231Hz三处较为集中的谱峰，其边频带宽度都为工频213Hz，与机组的啮合频率、风机叶片转频比较，上述三个频率无一对应。,故障原因分析,幅图出现了7个相似的等间隔的明暗区域，而图(a)恰好包含了7个回转周期。在频谱中被淹没的工频振动信息在小波变换幅图中很好地反映出来，再次体现了利用幅图进行多尺度分析的优越性。,在尺度3.56的范围内相图中等间隔出现了7个向上的白色箭形区域。说明在这些时刻5#轴承座振动信号中出现了准脉冲奇异点。,故障排除和维修,重新装配齿轮箱，保证止推夹板和大齿轮端面的平行。去掉止推夹板，将小齿轮轴承改为推力轴承来承担轴向力。受条件限制，方法2无法实现，厂方在重新装配齿轮箱时打磨了止推夹板与大齿轮的接触面，开机后振动明显降低，尖叫声消失。,小齿轮每旋转1圈，将会导致止推夹板和大齿轮端面较强烈的接触摩擦1次，从而对齿轮箱产生冲击,
