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1、基本要求,1.线性系统的状态空间描述(1).正确理解状态空间有关概念。(2).熟练掌握建立元件、系统状态空间表达的方法。(3).掌握状态空间表达式向可控、可观测标准型、对角型、约当型等规范形式变换的基本方法。(4).熟练掌握系统实现的常用方法。(5).熟练掌握依状态空间表达式求系统传递矩阵G(s)的方法。,(6).熟练掌握线性系统状态方程求解方法。特别要掌握状态转移矩阵(t)的性质及求取方法。2.线性系统的可控性和可观测性(1).正确理解可控性、可观测性的基本概念。(2).熟练掌握判定系统可控、可观测性的充要条件及有关方法。(3).理解可控性、可观测性与系统传递函数的关系。(4).理解线性系统
2、规范分解的作用和意义，了解规范分解的一般方法。,3.线性定常系统的线性变换掌握用满秩线性变换将一般的状态空间表达式转换成可控、可观测标准型及对角型（包括约当型）的各种计算方法，并熟记常用的基本方法。4.线性定常系统的状态反馈与状态观测器(1).正确理解利用状态反馈任意配置系统极点的有关概念，熟练掌握按系统指标要求确定状态反馈矩阵K的方法。(2).正确理解利用输出反馈任意配置系统极点的有关概念，熟练掌握按指标要求确定输出反馈矩阵F的方法。,(3).正确理解分离定理，熟练掌握依状态观测器要求设计观测器的方法，并会用之构成状态反馈控制系统。5.李雅普诺夫稳定性分析(1).正确理解李雅普诺夫稳定性的有
3、关概念。(2).初步掌握寻求系统李雅普诺夫函数判定系统稳定性的方法。,重点内容提要,1 线性系统的状态空间描述,1.1 状态空间表达式的建立,由系统传递函数方块图来建立；,从系统的物理或化学的机理出发进行推导；,由描述系统描述系统运动过程的高阶微分方程或传递函数予以演化而得。,1.1 状态空间表达式的建立,从系统框图出发建立状态空间表达式,1.1 状态空间表达式的建立,从系统的机理法出发建立状态空间表达式对不同控制系统，根据其机理，即相应的物理或化学定律，可建立系统的状态空间表达式，步骤如下：1)确定系统输入、输出和状态变量；2)列出方程；3)消去中间变量；4)整理成标准的状态和输出方程。,1
4、.1 状态空间表达式的建立,由高阶微分方程或传递函数建立状态空间表达式,1.1.1 n 阶常系数微分方程（单输入单输出）1.1.2 传递函数中没有零点的实现(状态变量的选择不唯一，状态变量选择的不同状态空间表达式也不同)。1.1.3 传递函数中有零点的实现,可控标准型：,G(s)的实现,可观测标准型：,可观测标准型与可控标准型关系:,对角标准型:,形式1:,形式2:,约当标准型:,状态空间表达式:,1.2 状态空间的线性变换,(1).已知线性定常系统的状态方程 当系统矩阵 的特征值互异，则必存在非奇异变换矩阵，通过线性变换，则有:,1.2.1 几种常用的线性变换关系,1.化 A阵为对角标准形（
5、对角规范化）,计算公式:,(2).若A阵为友矩阵且有n个互异的实数特征值则下列的范得蒙特矩阵可使A对角化,(3).设A阵具有m重实数特征值，其余为（n-m）个互异的实数特征值，但在求 解 特征向量 时仍有m个独立的特征向量 仍可使A阵化为对角阵：,为互异实数 特征值对应的实特征向量。可写成,2.化A阵为约当型 约当阵（Jordan）型,设A阵具有m重实特征值,其余为(n-m)个互异的实特征值，但在求 时只有一个独立实特征向量 则只能 使A化为约当阵J。,广义实特征向量 即 是互异特征值对应的特征向量。,(2)设A为友矩阵，具有m重实特征根 且只有一个独立的实特征向量，则使 A约当化得 为:,1
6、.3 线性定常连续系统状态方程的解,1.计算公式:,.状态转移矩阵的特性,1.4 传递函数矩阵,系统的特征方程:,非奇异线性变换后系统传递函数矩阵不变,2 线性系统的能控性和能观测性,2.1 线性定常连续系统的能控性,1.秩判据系统状态完全能控的充要条件为：,2.对角型判据,若为对角型，则状态完全能控的充要条件为：,中没有任意一行的元素全为零。,3.约当型判据:系统完全能控的充要条件是:,(1).相异特征值对应输入矩阵中没有任何一行,的元素全为零。,(2).有重根的各约当小块的最后一行相对应输入,矩阵中的各行的元素不得全为零。,(3).对应 中等特征值的所有约当小块末行的,输入矩阵中的那些行线
7、性无关。,4.化能控系统为能控标准型,2.2 线性定常连续系统的能(可)观测性,1.秩判据,线性定常系统状态完全能观测的充要条件是：,若A为对角型，则系统完全能观测的充要条件是：输出阵C中没有任何一列的元素全为零。,2.对角型判据,3.约当型判据:系统完全能观测的充要条件是:,(1).相异特征值对应输出矩阵中没有任何一列,的元素全为零。,(2).有重根的各约当块的第一列相对应输出矩,阵中的各列的元素不得全为零。,(3).对应 中等特征值的所有约当块第一列的,输出矩阵中那些列线性无关。,2.3 能控性和能观测性与传递函数的关系,定理:单输入单输出线性定常系统的传递函数若有零、极点对消，则视状态变
8、量不同的选择，系统或不能控，或为不能观测，或既不能控又不能观测。若无零、极点对消，则该系统可用一个既能控又能观测的动态方程来表示。,2.4 线性定常系统的结构分解,1.系统按能控性分解2.系统按能观测性分解,3.1 李雅普诺夫第一法（间接法）利用状态方程解的特性来判断系统稳定性。线性定常系统稳定性的特征值判据：1）李雅普诺夫意义下的稳定的充要条件：2）渐近稳定的充要条件：,3）不稳定的充要条件：,3 李雅普诺夫稳定性理论,3.2 李雅普诺夫第二法设 1)在 满足2）定理1 若1)正定 2)负定 则 渐近稳定 3)若 则 大范围渐近稳定,定理2 若定理3 若 则 是李雅普诺夫意义下的稳定定理4
9、若 则平衡状态 是不稳定的,则 渐近稳定,定理：系统 大范围渐近稳定的充要条 件为:给定一正定实对称矩阵Q，存在唯一的正定实对称矩阵P使 成立，则 为系统的一个李雅普诺夫函数。,3.3 线性定常连续系统渐近稳定性判别法,4 线性系统的设计与综合,4.1 状态反馈系统的极点配置,状态反馈系统：,闭环系统特征方程:,闭环系统的传递函数：,熟练掌握单输入-单输出系统的极点配置,稳态跟踪误差:,方法二:求解状态反馈矩阵的步骤验证原系统的能控性求闭环系统特征多项式：求希望的闭环特征多项式：令,定理：若系统(A,B,C)完全能观测，则可用如下的全维观测器对原状态来进行估计：,按任意配置极点的要求来选择，以
10、决定状态误差衰减的速率。,4.2 全维状态观测器设计,H,例1:试求图中网络的状态空间表达式，系统输入为u1，u2，输出y。状态变量选为x1=i1,x2=i2,x3=uc。,解：根据基尔霍夫定律写出回路、节点电压和电流方程,将状态变量代入，并整理:,写成矩阵形式:,例2:已知系统微分方程为:,试列写系统的状态空间表达式,并画出系统状态变量图。,选:,解：,状态空间表达式为:,系统状态变量图(省略)。,例3:已知系统的传递函数为:,试求其能控标准型实现，能观测标准型实现,并画出系统状态变量图。,解：能控标准型:,系统状态变量图(省略)。,解：能观测标准型:,系统状态变量图(省略)。,的对角线规范
11、型实现，并画出系统状态变量图。,例4:求,解：,系统状态变量图(省略)。,例5：已知系统结构图如图所示，其状态变量为,。试求动态方程，并画出状态变量图。,由结构图可得:,由上述三式，可列动态方程如下：,状态变量图如下：,u,x2,x3,x1=y,例6:已知连续系统的动态方程为:,试求系统的传递函数。,解：,例7:已知连续系统的动态方程为:,且,试求状态方程的解。,解：,例8:已知状态转移矩阵试求解：根据性质4，有,而：,，当,时，,；当,时，,试求：,例9:考虑线性定常系统,(1).系统的状态转移矩阵,；,(2).系统矩阵A。,解:(1).,(2).,例10:已知系统的状态空间表达式为:,试分
12、析系统的状态可控性和可观测性。,解：,该系统可控。,该系统不可观测。,例11:试求可控标准型。,解：,所以，,可控，可化为可控标准型。,取,则,验证,设系统传递函数为:,设状态可控，试求a。,例12:,解：,1.采用可控标准型，不论a为何值，系统状态总可控。,2.在任意三阶实现情况下可控，则,例13:已知连续系统的动态方程为:,试判断系统的渐近稳定性。,系统稳定,解：,例14:已知连续系统的动态方程为:,试确定系统渐近稳定的k的取值范围。,解：,由劳斯判据得:,例15:确定下述系统的平衡状态，并用李雅普诺夫稳定性理论判别其稳定性。,解：原点,是系统唯一的平衡状态,K0 时系统大范围一致渐近稳定
13、；,K=0时 系统是李雅普诺夫意义下稳定；,K0时 系统不稳定。,设受控系统状态空间表达式,判断系统能否用状态反馈使闭环极点配置在-1、-2。若能，求出状态反馈矩阵k;并写出闭环系统状态空间表达式;画出状态反馈系统结构图。,例16:,解:,受控系统的状态可控可任意配置闭环极点。设:,令,得：,解得：,闭环系统状态空间表达式:,状态反馈系统结构图(省略)。,例17:控制系统 如图a所示。其中系统的两个状态变量都是可以测量的。,图a,1.试建立系统的状态空间表达式。,2.当所有状态变量都用于反馈时,确定合适的状态反馈矩阵k,使系统对于阶跃输入的稳态跟踪误差为0,超调量%3%。,解：1.,由结构图可
14、得:,2.,受控系统的状态可控可任意配置闭环极点。设:,令,得：,例18:,控制系统 如图2所示。,图2,试用状态反馈的方法,使系统超调量%=4.3%,调节时间ts=5.65(=2%),使系统对于阶跃输入的稳态跟踪误差为0。(设第三个闭环极点s3=-5)求:(1)状态反馈矩阵k。(2)讨论kc值对闭环反馈系统稳定性影响。,解：(1).,由结构图可得:,受控系统无零、极点对消。受控系统的状态可控可任意配置闭环极点。设:,令,得：,(2).,由系统的传递函数知,kc不会影响系统的闭环极点,故对闭环反馈系统稳定性没有影响。,a=0,1,0;0,-5,5;-1,-0.214,-1.4b=0;0;1c=
15、1,0,0d=0g1=ss(a,b,c,d)gs=tf(g1)step(gs)ltiview,Transfer function:5-s3+6.4 s2+8.07 s+5,例18 MATLAB仿真,试设计全维观测器，将极点配置在-5、-10,并画出状态变量图。,例19:设系统动态方程为:,解：,可观，可设计全维状态观测器。,观测器系统阵：,令,解得：,(状态变量图),-,作 业,2.已知系统动态方程为：,试求可控子系统与不可控子系统的动态方程。,1.9-26,3.系统动态方程同上题，试求可观测子系统与不可观测子系统的动态方程。,作 业,1.9-34,2.确定下述系统的平衡状态，并用李雅普诺夫稳定性理论判别其稳定性。,作 业,1.9-29,9-32,2.,控制系统 如图2所示。,图2,试用状态反馈的方法,使系统超调量%=4.3%,调节时间ts=5.65(=2%),使系统对于阶跃输入的稳态跟踪误差为0。(设第三个闭环极点s3=-5)求:(1)状态反馈矩阵k。(2)讨论kc值对闭环反馈系统稳定性影响。,
