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1、多元线性回归,b=regress(Y,X),1、确定回归系数的点估计值：,统计工具箱中的回归分析命令,对一元线性回归，取p=1即可。,3、画出残差及其置信区间：rcoplot（r，rint）,2、求回归系数的点估计和区间估计、并检验回归模型：b,bint,r,rint,stats=regress(Y,X,alpha),例1,解：,1、输入数据：x=143 145 146 147 149 150 153 154 155 156 157 158 159 160 162 164;X=ones(16,1)x;Y=88 85 88 91 92 93 93 95 96 98 97 96 98 99 100
2、 102;,2、回归分析及检验：b,bint,r,rint,stats=regress(Y,X)b,bint,stats,题目,3、残差分析，作残差图：rcoplot(r,rint),从残差图可以看出，除第二个数据外，其余数据的残差离零点均较近，且残差的置信区间均包含零点，这说明回归模型 y=-16.073+0.7194x能较好的符合原始数据，而第二个数据可视为异常点.,4、预测及作图：z=b(1)+b(2)*x plot(x,Y,k+,x,z,r),多 项 式 回 归,（一）一元多项式回归,y=a1xm+a2xm-1+amx+am+1,2、预测和预测误差估计：,（1）Y=polyval（p，
3、x）求polyfit所得的回归多项式在x处 的预测值Y；（2）Y，DELTA=polyconf（p，x，S，alpha）求polyfit所得的回归多项式在x处的预测值Y及预测值的显著性为1-alpha的置信区间Y DELTA；alpha缺省时为0.5,方法一,直接作二次多项式回归：t=1/30:1/30:14/30;s=11.86 15.67 20.60 26.69 33.71 41.93 51.13 61.49 72.90 85.44 99.08 113.77 129.54 146.48;p,S=polyfit(t,s,2),得回归模型为：,法二,化为多元线性回归：t=1/30:1/30:1
4、4/30;s=11.86 15.67 20.60 26.69 33.71 41.93 51.13 61.49 72.90 85.44 99.08 113.77 129.54 146.48;T=ones(14,1)t(t.2);b,bint,r,rint,stats=regress(s,T);b,stats,得回归模型为：,Y=polyconf(p,t,S)plot(t,s,k+,t,Y,r),预测及作图,（二）多元二项式回归,命令：rstool（x，y，model,alpha）,例3 设某商品的需求量与消费者的平均收入、商品价格的统计数 据如下，建立回归模型，预测平均收入为1000、价格为6时
5、 的商品需求量.,方法一,直接用多元二项式回归：x1=1000 600 1200 500 300 400 1300 1100 1300 300;x2=5 7 6 6 8 7 5 4 3 9;y=100 75 80 70 50 65 90 100 110 60;x=x1 x2;rstool(x,y,purequadratic),在画面左下方的下拉式菜单中选”all”,则beta、rmse和residuals都传送到Matlab工作区中.,在左边图形下方的方框中输入1000，右边图形下方的方框中输入6。,则画面左边的“Predicted Y”下方的数据变为88.47981，即预测出平均收入为100
6、0、价格为6时的商品需求量为88.4791.,在Matlab工作区中输入命令：beta,rmse,结果为:b=110.5313 0.1464-26.5709-0.0001 1.8475 stats=0.9702 40.6656 0.0005,方法二,非线性回 归,（1）确定回归系数的命令：beta，r，J=nlinfit（x，y，model,beta0）,（2）非线性回归命令：nlintool（x，y，model,beta0，alpha）,1、回归：,例 4 对第一节例2，求解如下：,2、输入数据：x=2:16;y=6.42 8.20 9.58 9.5 9.7 10 9.93 9.99 10.
7、49 10.59 10.60 10.80 10.60 10.90 10.76;beta0=8 2;,3、求回归系数：beta,r,J=nlinfit(x,y,volum,beta0)；beta,得结果：beta=11.6036-1.0641,即得回归模型为：,4、预测及作图：YY,delta=nlpredci(volum,x,beta,r,J)；plot(x,y,k+,x,YY,r),例5 财政收入预测问题：财政收入与国民收入、工业总产值、农业总产值、总人口、就业人口、固定资产投资等因素有关。下表列出了1952-1981年的原始数据，试构造预测模型。,解 设国民收入、工业总产值、农业总产值、总
8、人口、就业人口、固定资产投资分别为x1、x2、x3、x4、x5、x6，财政收入为y，设变量之间的关系为：y=ax1+bx2+cx3+dx4+ex5+fx6使用非线性回归方法求解。,1 对回归模型建立M文件model.m如下:function yy=model(beta0,X)a=beta0(1);b=beta0(2);c=beta0(3);d=beta0(4);e=beta0(5);f=beta0(6);x1=X(:,1);x2=X(:,2);x3=X(:,3);x4=X(:,4);x5=X(:,5);x6=X(:,6);yy=a*x1+b*x2+c*x3+d*x4+e*x5+f*x6;,2.
9、主程序liti6.m如下:,X=598.00 349.00 461.00 57482.00 20729.00 44.00.2927.00 6862.00 1273.00 100072.0 43280.00 496.00;y=184.00 216.00 248.00 254.00 268.00 286.00 357.00 444.00 506.00.271.00 230.00 266.00 323.00 393.00 466.00 352.00 303.00 447.00.564.00 638.00 658.00 691.00 655.00 692.00 657.00 723.00 922.00
10、.890.00 826.00 810.0;beta0=0.50-0.03-0.60 0.01-0.02 0.35;betafit=nlinfit(X,y,model,beta0),betafit=0.5243-0.0294-0.6304 0.0112-0.0230 0.3658即y=0.5243x1-0.0294x2-0.6304x3+0.0112x4-0.0230 x5+0.3658x6,结果为:,逐 步 回 归,逐步回归的命令是：stepwise（x，y，inmodel，alpha）,运行stepwise命令时产生三个图形窗口：Stepwise Plot，Stepwise Table，St
11、epwise History.,在Stepwise Plot窗口，显示出各项的回归系数及其置信区间.,Stepwise Table 窗口中列出了一个统计表，包括回归系数及其置信区间，以及模型的统计量剩余标准差（RMSE）、相关系数（R-square）、F值、与F对应的概率P.,教学评估,为了考评教师的教学质量，教学研究部门设计了一个教学评估表，对学生进行一次问卷调查，要求学生对12位教师的15门课程（其中3为教师有两门课程）按以下7项内容打分，分值为15分（5分最好，1分最差）：,问题：,课程内容组织的合理性；,主要问题展开的逻辑性；,回答学生问题的有效性；,课下交流的有助性；,教科书的帮助性
12、；,考试评分的公正性；,对教师的总体评价。,收回问卷调查表后，得到了学生对12为教师、15门课程各项评分的平均值，见表。,不一定每项都,对教师总体评价,有显著影响，并且各项内容之间也可能存,在很强的相关性，他们希望得到一个总体评价与各项具体内容之间的模型，模型应尽量简单和有效，并且由此能给教师一些合理的建议，以提高总体评价。,准备知识：,逐步回归,这个问题给出了6个自变量，但我们希望从中选出对因变量,影响显著的那些来建立回归模型。变量选择的标准应该是将所有对因变量影响显著的自变量都选入模型，而影响不显著的自变量都不选入模型，从便于应用的角度，应使模型中的自变量个数尽量少。逐步回归就是一种从众多
13、自变量中有效的选择重要变量的方法。,教学研究部门认为，所列各项具体内容,逐步回归的基本思路是，先确定一个包含若干自变量的初始集合，然后每次从集合外的变量中引入一个对因变量影响最大的，,再对集合中的变量进行检验，从变得不显著的变量中移出一个影响最小的，依次进行，直到不能引入和移出为止。引入和移出都以给定的显著性水平为标准。,利用MATLAB系统工具箱中的逐步回归命令stepwise可以实现逐步回归。Stepwise提供人机交互式画面，可以在画面上自由引入和移出变量，进行统计分析。具体用法参见MATLAB丛书,回归模型的建立与求解：,我们利用MATLAB命令得到各个变量的回归系数，置信区间，及剩余
14、标准差（RMSE），决定系数（R-square），,值，,值。见表。,可以看到，除,外其他自变量的回归系数置信区间都包含零点,在临界状态，将,一一移去（与次序无关），当模,型中仅含,时结果见下表。,可以看到，仅含,模型的回归系数置信区间远离零点，,对,的影响是显著的，与上个结果比较，剩余标准差由,0.1125减少到0.1，虽然,略有下降，但,值大大提高。这些,表明仅含,模型是合适的。但MATLAB命令并未给出回归模,型的常数项。我们由以下方法计算得到：,终得到的模型为,在最终模型里回归变量只有,其中，,分别是,的平均值。利用逐步回归最,模型解释：,，是一个简单易用的模型，据,此可把课程内容组织
15、的合理性（）,和回答学生问题的有效性,（）列入考评的重点。上式表明，,的分值每增加一分，对,教师的总体评价就增加约0.5分；,的分值每增加一分，对教师,的总体评价就增加约0.77分。应建议教师注重这两方面的工作。为了分析其它变量没有进入最终模型的原因，可以计算,的相关系数，利用MATLAB系统工具箱中的corrcoef命令直接得到这7个变量的相关系数矩阵：,一般认为，两个变量的相关系数超过0.85时才具有显著的相关关系。由上面的结果知，与,相关关系显著的只有,而,未进入最终模型，是由于它与,的相关系数显著（相,关系数,），可以说，模型中有了,以后,变量,如果初步看来影响因变量的因素较多，并得到了大量的数据。为了建立一个有效的、便于应用的模型，可以利用逐步回归只选择那些影响显著的变量“入围”。如果怀疑原有变量的平方项、交叉项等也会对变量有显著影响也可以将这些项作为新的自变量加入到候选行列，用逐步回归来处理。,是多余的，应该去掉。,评注：,作 业,4、混凝土的抗压强度随养护时间的延长而增加，现将一批混凝土作成12个试块，记录了养护日期x（日）及抗压强度y（kg/cm2）的数据：,
