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1、用Matlab求解差分方程问题,差分方程是在离散时段上描述现实世界中变化过程的数学模型,例1、某种货币1年期存款的年利率是r，现存入M元，问年后的本金与利息之和是多少？Xk+1=(1+r)xk,k=0,1,2 以k=0时x0=M代入，递推n次可得n年后本息为,污水处理厂每天可将处理池的污水浓度降低一个固定比例q，问多长时间才能将污水浓度降低一半？记第k天的污水浓度为ck,则第k+1天的污水浓度为 ck+1=(1-q)ck,k=0,1,2,从k=0开始递推n次得 以cn=c0/2代入即求解。,一阶线性常系数差分方程,濒危物种的自然演变和人工孵化问题 Florida沙丘鹤属于濒危物种，它在较好自然
2、环境下，年均增长率仅为1.94%，而在中等和较差环境下年均增长率分别为-3.24%和-3.82%，如果在某自然保护区内开始有100只鹤，建立描述其数量变化规律的模型，并作 数值计算。,模型建立,记第k年沙丘鹤的数量为xk,年均增长率为r，则第k+1年鹤的数量为 xk+1=(1+r)xk k=0,1,2已知x0=100,在较好，中等和较差的自然环境下 r=0.0194,-0.0324,和-0.0382 我们利用Matlab编程，递推20年后观察沙丘鹤的数量变化情况,Matlab实现,首先建立一个关于变量n，r的函数function x=sqh(n,r)a=1+r;x=100;for k=1:n
3、x(k+1)=a*x(k);end,在command窗口里调用sqh函数,k=(0:20);y1=sqh(20,0.0194);y2=sqh(20,-0.0324);y3=sqh(20,-0.0382);round(k,y1,y2,y3),利用plot 绘图观察数量变化趋势,可以用不同线型和颜色绘图r g b c m y k w 分别表示 红绿兰兰绿洋红黄黑白色：+o*.X s d 表示不同的线型,plot(k,y1,k,y2,k,y3)在同一坐标系下画图,plot(k,y2,:)plot(k,y2,-)plot(k,y2,r)plot(k,y2,y)plot(k,y2,y,k,y1,:)pl
4、ot(k,y2,k,y1,:)plot(k,y2,oy,k,y1,:)用gtext(r=0.0194),gtext(r=-0.0324),gtext(r=-0.0382)在图上做标记。,人工孵化是挽救濒危物种的措施之一，如果每年孵化5只鹤放入保护区，观察在中等自然条件下沙丘鹤的数量如何变化Xk+1=aXk+5,a=1+r如果我们想考察每年孵化多少只比较合适，可以令Xk+1=aXk+b,a=1+r,function x=fhsqh(n,r,b)a=1+r;X=100;For k=1:nX(k+1)=a*x(k)+b;end,k=(0:20);%一个行向量y1=(20,-0.0324,5);也是一
5、个行向量round(k,y 1)对k,y1四舍五入，但 是 不改变变量的值 plot(k,y1)k y1 是行向量列向量都可以也可以观察200年的发展趋势，以及在较差条件下的发展趋势，也可以考察每年孵化数量变化的影响。,一阶线性常系数差分方程的解、平衡点及其稳定性,自然环境下,b=0人工孵化条件下令xk=xk+1=x得 差分方程的平衡点k时，xkx,称平衡点是稳定的,高阶线性常系数差分方程,如果第k+1时段变量Xk+1不仅取决于第k时段变量Xk，而且与以前时段变量有关，就要用高阶差分方程来描述,一年生植物的繁殖,一年生植物春季发芽，夏天开花，秋季产种，没有腐烂，风干，被人为掠取的那些种子可以活
6、过冬天，其中一部分能在第2年春季发芽，然后开花，产种，其中的另一部分虽未能发芽，但如又能活过一个冬天，则其中一部分可在第三年春季发芽，然后开花，产种，如此继续，一年生植物只能活1年，而近似的认为，种子最多可以活过两个冬天，试建立数学模型研究这种植物数量变化的规律，及它能一直繁殖下去的条件。,模型及其求解,记一棵植物春季产种的平均数为c,种子能活过一个冬天的(1岁种子)比例为b,活过一个冬天没有发芽又活过一个冬天的（2岁种子）比例仍为b,1岁种子发芽率a1，2岁种子发芽率a2。设c,a1,a2固定，b是变量，考察能一直繁殖的条件记第k年植物数量为Xk，显然Xk与Xk-1,Xk-2有关，由 Xk-
7、1决定的部分是 a1bcXk-1,由Xk-2决定的部分是 a2b(1-a1)bcXk-2,Xk=a1bcXk-1+a2b(1-a1)bcXk-2,Xk=a1bcXk-1+a2b(1-a1)bcXk-2,实际上，就是Xk=pXk-1+qXk-2 我们需要知道x0,a1,a2,c,考察b不同时，种子繁殖的情况。在这里假设X0=100,a1=0.5,a2=0.25,c=10,b=0.180.20这样可以用matlab计算了,Xk=a1bcXk-1+a2b(1-a1)bcXk-2,Function x=zwfz(x0,n,b)C=10;a1=0.5;a2=0.25;p=a1*b*c;q=a2*b*(1
8、-a1)*b*c;X1=x0;X2=p*(x1);for k=3:nX(k)=p*(xk-1)+q*(xk-2);end,K=(0:20);Y1=zwfz(100,21,0.18);Y2=zwfz(100,21,0.19);Y3=zwfz(100,21,0,20);Round(k,y1,y2,y3)Plot(k,y1,k,y2,:,k,y3,o),Gtext(b=0.18),gtext(b=0.19),gtext(b=0.20),结果分析：Xk=pXk-1+qXk-2(1)x1+px0=0(2),对高阶差分方程可以寻求形如的解。代入(1)式得称为差分方程的特征方程。差分方程的特征根：方程(1)
9、的解可以表为C1,c2 由初始条件x0,x1确定。,本例中，用待定系数的方法可以求出b=0.18时,c1=95.64,c2=4.36，这样实际上，植物能一直繁殖下去的条件是b0.191,线性常系数差分方程组,汽车租赁公司的运营一家汽车租赁公司在3个相邻的城市运营，为方便顾客起见公司承诺，在一个城市租赁的汽车可以在任意一个城市归还。根据经验估计和市场调查，一个租赁期内在A市租赁的汽车在A,B,C市归还的比例分别为0.6,0.3,0.1;在B市租赁的汽车归还比例0.2,0.7,0.1;C市租赁的归还比例分别为0.1,0.3,0.6。若公司开业时将600辆汽车平均分配到3个城市，建立运营过程中汽车数
10、量在3个城市间转移的模型，并讨论时间充分长以后的变化趋势。,0.6,0.3,A B CA B CA B C,假设在每个租赁期开始能把汽车都租出去，并都在租赁期末归还,0.1,0.7,0.2,0.1,0.6,0.3,0.1,模型及其求解,记第k个租赁期末公司在ABC市的汽车数量分别为x1(k),x2(k),x3(k)（也是第k+1个租赁期开始各个城市租出去的汽车数量），很容易写出第k+1个租赁期末公司在ABC市的汽车数量为(k=0,1,2,3),用矩阵表示用matlab编程，计算x(k),观察n年以后的3个城市的汽车数量变化情况,function x=czqc(n)A=0.6,0.2,0.1;0
11、.3,0.7,0.3;0.1,0.1,0.6;x(:,1)=200,200,200;for k=1:n x(:,k+1)=A*x(:,k);end如果直接看10年或者20年发展趋势，可以直接在命令窗口（commond window）作，而不是必须编一个函数,A=0.6,0.2,0.1;0.3,0.7,0.3;0.1,0.1,0.6;n=10;for k=1:nx(:,1)=200,200,200;x(:,k+1)=A*x(:,k);end round(x),作图观察数量变化趋势,k=0:10;plot(k,x)，gridgtext(x1(k),gtext(x2(k),gtext(x3(k),可
12、以看到时间充分长以后3个城市汽车数量趋于180，300，120可以考察这个结果与初始条件是否有关若最开始600辆汽车都在A市，可以看到变化时间充分长以后，各城市汽车数量趋于稳定，与初始值无关,直接输入x（:,1）的值即可,x(:,1)=600,0,0;round(x);plot(k,x),grid,按年龄分组的种群增长,野生或饲养的动物因繁殖而增加，因自然死亡和人为屠杀而减少，不同年龄动物的繁殖率，死亡率有较大差别，因此在研究某一种群数量的变化时，需要考虑年龄分组的种群增长。将种群按年龄等间隔的分成若干个年龄组，时间也离散化为时段，给定各年龄组种群的繁殖率和死亡率，建立按年龄分组的种群增长模型
13、，预测未来各年龄组的种群数量，并讨论时间充分长以后的变化趋势。,模型及其求解,设种群按年龄等间隔的分成n个年龄组，记i=1,2,，n,时段记作k=0,1,2,且年龄组区间与时段长度相等(若5岁为一个年龄组，则5年为一个时段)。以雌性个体为研究对象记在时段k第i年龄组的数量为xi(k);第i年龄组的繁殖率为bi，表示每个个体在一个时段内繁殖的数量；第i年龄组死亡率为di，表示一个时段内死亡数与总数的比，si=1-di是存活率。,注意：第k时段的第i年龄组活过来的，是第k+1时段的第i+1年龄组Xi+1(k+1)=sixi(k)i=1，2,n-1,k=0,1,各年龄组在第k时段繁殖的数量和是第k+
14、1时段的第1年龄组X1(k+1)=k=0,1,记在时段k种群各年龄组的数量为X(k)=x1(k),x2(k),xn(k),这样，有x(k+1)=Lx(k),k=0,1,给定在0时段，各年龄组的初始数量x(0)就可以预测任意时段k,各年龄组的数量设一种群分成5个年龄组，繁殖率b1=0,b2=0.2,b3=1.8,b4=0.8,b5=0.2存活率s1=0.5,s2=0.8,s3=0.8,s4=0.1各年龄组现有数量都是100只，用matlab计算x(k),b=0,0.2,1.8,0.8,0.2;s=diag(0.5,0.8,0.8,0.1);L=b;s,zeros(4,1);x(:,1)=100*ones(5,1);n=30;for k=1:nx(:,k+1)=L*x(:,k);end round(x)k=0:30;subplot(1,2,1),plot(k,x),grid,将x(k)归一化后的向量记做x(k),称为种群按年龄组的分布向量，即各年龄组在k时段在数量上占总数的百分比。y=diag(1./sum(x);%sum(x)对列求和Z=x*y Subplot(1,2,2),plot(k,z),grid结果分析：时间充分长以后，种群按年龄组的分布x(k)趋向稳定。,
