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1、5.3直线与平面的夹角,直线与直线所成角的范围：,结论：,一、线线角：,回顾,线线夹角与两线方向向量间的关系：,思考：,直线和平面所成的角能否也转化为两个向量所成的角去求解呢？答案是肯定的。为此先弄清直线和平面所成角的定义。看下图,直线和平面所成角的定义,平面外一直线与它在该平面内的投影的夹角叫作该直线与此平面的夹角。,由定义知本图中AB与平面a的夹角是：,定义：,直线与平面的夹角和该直线的方向向量与该平面的法向量的夹角，是什么关系？,思考：,直线与平面的夹角和该直线的方向向量与该平面的法向量的夹角，是什么关系？,思考：,例一：,在单位正方体 中，求对角线 与平面ABCD的夹角 的正弦值。,练
2、习：,x,y,z,设正方体棱长为1，,小结：,直线与平面所成角：,2、如果平面的一条斜线与它在这个平面上的射影的方向向量分别是 n1=（1，0，1），n2=（0，1，1），那么这条斜线与平面所成的角是_.,1、已知=(2,2,1),=(4,5,3),则平面ABC的一个法向量是_.,3.直三棱柱ABC-A1B1C1中,A1A=2,AB=AC=1,则AC1与截面BB1CC1所成角的余弦值为_.,目标测试：,布置作业：,习题2-5第三题补充题如下：,2、如果平面的一条斜线与它在这个平面上的射影的方向向量分别是=（1，0，1），=（0，1，1），那么这条斜线与平面所成的角是_.,3、已知两平面的法向量
3、分别m=(0,1,0),n=(0,1,1)，则两平面所成的钝二面角为_.,练习:,1、已知=(2,2,1),=(4,5,3),则平面ABC的一个法向量是_.,谢谢大家！,向量法求二面角的大小,四、教学过程的设计与实施,l,如何度量二面角l的大小,四、教学过程的设计与实施,A,O,B,问题1：二面角的平面角 能否转化成向量的夹角？,四、教学过程的设计与实施,四、教学过程的设计与实施,问题2：求直线和平面所成的角可转化成直线的方向向量与平面的法向量的夹角，那么二面角的大小与两个半平面的法向量有没有关系？,四、教学过程的设计与实施,四、教学过程的设计与实施,根据教师引导，由学生发现该二面角的求解可由
4、向量的夹角来确定，调动学生探究这一问题的主动性和积极性.,根据教师引导，由学生发现该二面角的求解可由向量的夹角来确定，调动学生探究这一问题的主动性和积极性.,四、教学过程的设计与实施,问题3：法向量的夹角与二面角的大小什么时候相等，什么时候互补？再次演示课件,四、教学过程的设计与实施,四、教学过程的设计与实施,已知ABCD 是直角梯形,DAB=ABC=90,SA平面ABCD，SA=AB=BC=1，求平面SAB与SCD 所成二面角的余弦值,四、教学过程的设计与实施,已知ABCD 是直角梯形,DAB=ABC=90,SA平面ABCD，SA=AB=BC=1，求平面SAB与SCD 所成二面角的余弦值,四
5、、教学过程的设计与实施,四、教学过程的设计与实施,四、教学过程的设计与实施,总结出利用法向量求二面角大小的一般步骤：1）建立坐标系，写出点与向量的坐标；2）求出平面的法向量，进行向量运算求出法向量的 夹角；3）通过图形特征或已知要求，确定二面角是锐角或 钝角，得出问题的结果,四、教学过程的设计与实施,正方体ABCDA1B1C1D1的棱长为2，点Q是BC的中点，求二面角ADQA1的余弦值,巩固练习：,数形结合,类比转化,两个思想,四、教学过程的设计与实施,半平面内分别垂直于棱的向量的夹角,两个平面的法向量的夹角求解,用法向量求二面角大小的步骤,课后作业：1、如图所示，正方体ABCD-A1B1C1D1棱长为1，试用多种方法求二面角A1BDC1的余弦值,四、教学过程的设计与实施,四、教学过程的设计与实施,谢谢！,四、教学过程的设计与实施,异面直线所成的角,四、教学过程的设计与实施,直线与平面所成的角,
