直线和平面的投影.ppt

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1、第 二 章 点、直线和平面的投影,2-1 投影的基本知识,2-2 点的投影,2-3 直线的投影,2-4 平面的投影,2-5 直线与平面及两平面的相对位置,2-6 换面法,要求：掌握点的三面投影规律，掌握直线、平面的投影特性，会利用直线与平面及两平面的相对位置的投影特性解决有关问题。掌握换面法,21 投影的基本知识,投影方法,中心投影法,平行投影法,直角投影法（正投影法）,斜角投影法,画透视图,画斜轴测图,画工程图样及正轴测图,中心投影法,投射中心、物体、投影面三者之间的相对距离对投影的大小有影响。度量性较差,投影特性,投射线,投射中心,投影面,投影,物体位置改变，投影大小也改变,平行投影法,斜

2、角投影法,投 影 特 性,投影大小与物体和投影面之间的距离无关。度量性较好,工程图样多数采用正投影法绘制。,采用多面投影。,过空间点A的投射线与投影面P的交点即为点A在P面上的投影。,点在一个投影面上的投影不能确定点的空间位置。,一、点在一个投影面上的投影,a,22 点的投影,二、点的三面投影,投影面,正面投影面（简称正 面或V面）,水平投影面（简称水 平面或H面）,侧面投影面（简称侧 面或W面）,投影轴,OX轴 V面与H面的交线,OZ轴 V面与W面的交线,OY轴 H面与W面的交线,三个投影面互相垂直,空间点A在三个投影面上的投影,空间点用大写字母表示，点的投影用小写字母表示。,X,Y,Z,O

3、,V,H,W,A,a,a,a,向右翻,向下翻,不动,投影面展开,X,Y,Z,O,V,H,W,A,a,a,a,点的投影规律:,aaOX轴,aax=aaz=y=A到V面的距离,aax=aay=z=A到H面的距离,aay=aaz=x=A到W面的距离,aaOZ轴,例：已知点的两个投影，求第三投影。,a,a,ax,az,az,解法一:,通过作45线使aaz=aax,解法二:,用圆规直接量取aaz=aax,三 点的坐标与投影之间的关系,YW,x,X,Y,Z,O,V,H,W,A,a,a,a,Z,az,a,X,YH,ay,O,a,ax,ay,a,x,z,y,z,y,x,y,z,四 投影面和投影轴上的点,课本P

4、36,五、两点的相对位置,两点的相对位置指两点在空间的上下、前后、左右位置关系。,判断方法：,x 坐标大的在左,y 坐标大的在前,z 坐标大的在上,b,a,a,a,b,b,B点在A点之前、之右、之下。,X,YH,YW,Z,六、重影点：,空间两点在某一投影面上的投影重合为一点时，则称此两点为该投影面的重影点。,A、C为H面的重影点,a,a,c,被挡住的投影加(),(),a c,23 直线的投影,两点确定一条直线，将两点的同名投影用直线连接，就得到直线的同名投影。,直线对一个投影面的投影特性,一、直线的投影特性,直线垂直于投影面投影重合为一点 积聚性,直线平行于投影面投影反映线段实长 ab=AB,

5、直线倾斜于投影面投影比空间线段短 ab=ABcos,直线在三个投影面中的投影特性,投影面平行线,投影面垂直线,正平线（平行于面）,侧平线（平行于面）,水平线（平行于面）,正垂线（垂直于面）,侧垂线（垂直于面）,铅垂线（垂直于面）,一般位置直线,统称特殊位置直线,投影面平行线,在其平行的那个投影面上的投影反映实长，并反映直线与另两投影面倾角的实大。,另两个投影面上的投影平行于相应的投影 轴。,水平线,侧平线,正平线,投 影 特 性：,与H面的夹角:与V面的角:与W面的夹角:,实长,实长,实长,反映线段实长。且垂直于相应的投影轴。,投影面垂直线,铅垂线,正垂线,侧垂线,另外两个投影，,在其垂直的投

6、影面上，,投影有积聚性。,投影特性:,一般位置直线,投影特性：,三个投影都缩短。即:都不反映空间线段的实长及与三个投影面夹角的实大，且与三根投影轴都倾斜。,（1）ab,ab,ab对于三个投影轴既不平行也不垂直,（2）ab,ab,ab都较空间线段AB缩短了。其具体长度为：ab=ABcos,ab=ABcos,ab=ABcos,a,b,a,b,b,a,b,a,ab=ABcos,ab=ABcos,ab=ABcos,一般位置直线与倾角,三个投影都缩短，且都倾斜于相应的投影轴,A,B,V,H,b,b,a,A0,B0,ZB-ZA,YB-YA,ZB-ZA,a,b,a,b,实长,二、三角形法：一般位置直线的实长

7、求法,|zA-zB|,对面倾角和实长,|YA-YB|,|YA-YB|,对面倾角与实长,对面倾角与实长,例：求线段CD的实长及角,c,d,c,d,实长,d,c,c,d,直角三角形法要点,2、投影、坐标差、实长和角度四个要素知道其中二个就可以求其它二个,1、角度、投影、坐标差和投影之间的对应关系,角水平投影z坐标差线段实长角正面投影 y坐标差线段实长角侧面投影x坐标差线段实长,3、解题时，直角三角形画在任何位置，都不影响解题结果。但用哪个长度来作直角边不能搞错,三、直线与点的相对位置,若点在直线上,则点的投影必在直线的同名投影上。并将线段的同名投影分割成与空间相同的比例。即：,若点的投影有一个不在

8、直线的同名投影上，则该点必不在此直线上。,判别方法：,AC/CB=ac/cb=ac/cb,A,B,C,V,H,b,c,c,b,a,a,定比定理,点C不在直线AB上,例1：判断点C是否在线段AB上。,点C在直线AB上,例2：判断点K是否在线段AB上。,a,b,因k不在a b上，故点K不在AB上。,应用定比定理,a,b,k,a,b,k,三、两直线的相对位置,空间两直线的相对位置分为：平行、相交、交叉。,两直线平行,投影特性：,空间两直线平行，则其各同名投影必相互平行，反之亦然。,空间两直线之比等于其同名投影之比,a,b,c,d,c,a,b,d,例1：判断图中两条直线是否平行。,对于一般位置直线，只

9、要有两个同名投影互相平行，空间两直线就平行。,AB/CD,b,d,c,a,c,b,a,d,d,b,a,c,对于特殊位置直线，只有两个同名投影互相平行，空间直线不一定平行。,求出侧面投影后可知：,AB与CD不平行。,例2：判断图中两条直线是否平行。,求出侧面投影,两直线相交,判别方法：,若空间两直线相交，则其同名投影必相交，且交点的投影必符合空间一点的投影规律。反之亦然。,交点是两直线的共有点,例：过C点作水平线CD与AB相交。,先作正面投影,1(2),3(4),两直线交叉,投影特性：,同名投影可能相交，但“交点”不符合空间一个点的投影规律。,“交点”是两直线上的一 对重影点的投影，用其可帮助判

10、断两直线的空间位置。,、是面的重影点，、是H面的重影点。,为什么？,两直线相交吗？,两直线垂直相交（或垂直交叉）,直角的投影特性：,若直角有一边平行于投影面，则它在该投影面上的投影仍为直角。,设 直角边BC/H面因 BCAB,同时BCBb所以 BCABba平面,直线在H面上的投影互相垂直,即 abc为直角,因此 bcab,故 bc ABba平面,又因 BCbc,证明：,例：过C点作直线与AB垂直相交。,反之，若一角的投影为直角，而且空间被投影的角至少有一边平行于该投影面，则空间角必是直角。,小 结,点与直线的投影特性，尤其是特殊位置 直线的投影特性。点与直线及两直线的相对位置的判断方 法及投影

11、特性。定比定理。直角定理，即两直线垂直时的投影特性。,重点掌握：,一、点的投影规律,aaOX轴,aax=aaz=y=A到V面的距离,aax=aay=z=A到H面的距离,aay=aaz=x=A到W面的距离,aaOZ轴,二、各种位置直线的投影特性,一般位置直线,三个投影与各投影轴都倾斜。,投影面平行线,在其平行的投影面上的投影反映线段实长及与相应投影面的夹角。另两个投影平行于相应的投影轴。,投影面垂直线,在其垂直的投影面上的投影积聚为一点。另两个投影反映实长且垂直于相应的投影轴。,三、直线上的点,点的投影在直线的同名投影上。,点分线段成定比，点的投影必分线段的投影 成定比定比定理。,四、两直线的相

12、对位置,平行,相交,交叉（异面）,同名投影互相平行。,同名投影相交，交点是两直线的共有点，且符合空间一个点的投影规律。,同名投影可能相交，但“交点”不符合空间一个点的投影规律。“交点”是两直线上一对重影点的投影。,五、相互垂直的两直线的投影特性,两直线同时平行于某一投影面时，在该 投影面上的投影反映直角。,两直线中有一条平行于某一投影面时，在该投影面上的投影反映直角。,两直线均为一般位置直线时，在三个投影面上的投影都不 反映直角。,直角定理,2.4 平面的投影,一、平面的表示法,不在同一直线上的三个点,直线及线外一点,两平行直线,两相交直线,平面图形,迹线表示法,YW,平面与投影面的交线，叫做

13、平面的迹线。,二、平面的投影特性,实形性,类似性,积聚性,平面对一个投影面的投影特性,平面在三投影面体系中的投影特性,平面对于三投影面的位置可分为三类：,投影面垂直面,投影面平行面,一般位置平面,垂直于某一投影面，倾斜于另两个投影面,平行于某一投影面，垂直于另两个投影面,与三个投影面都倾斜,a,b,c,a,c,b,c,b,a,投影面垂直面,类似性,类似性,积聚性,铅垂面,投影特性：,在它垂直的投影面上的投影积聚成直线。该直线与投影轴的夹角反映空间平面与另外两投影面夹角的大小。,另外两个投影面上的投影有类似性。,为什么？,投影面平行面,积聚性,积聚性,实形性,水平面,投影特性：,在它所平行的投影

14、面上的投影反映实形。,另两个投影面上的投影分别积聚成与相应的投影轴平行的直线。,投影特性1、abc、abc、abc 均为 ABC的类似形2、不反映、的真实角度,一般位置平面,三、平面上的直线和点,平面上取任意直线,a,b,c,b,c,a,d,n,m,例1：已知平面由直线AB、AC所确定，试 在平面内任作一条直线。,解法一,解法二,根据定理二,根据定理一,有无数解。,例2：在平面ABC内作一条水平线，使其到 H面的距 离为10mm。,n,m,n,m,唯一解！,平面上取点,先找出过此点而又在平面内的一条直线作为辅助线，然后再在该直线上确定点的位置。,例1：已知K点在平面ABC上，求K点的水平投影。

15、,面上取点的方法：,首先面上取线,利用平面的积聚性求解,通过在面内作辅助线求解,k,b,例2：已知AC为正平线，补全平行四边形 ABCD的水平投影。,解法一,解法二,2.5 直线与平面及两平面的相对位置,相对位置包括平行、相交和垂直。,一、平行问题,直线与平面平行,平面与平面平行,直线与平面平行,a,c,b,m,a,b,c,m,例1：过M点作直线MN平行于平面ABC。,有无数解,正平线,例2：过M点作直线MN平行于V面和平面 ABC。,c,b,a,m,a,b,c,m,唯一解,两平面平行,若一平面上的两相交直线对应平行于另一平面上的两相交直线，则这两平面相互平行。,若两投影面垂直面相互平行，则它

16、们具有积聚性的那组投影必相互平行。,二、相交问题,直线与平面相交,直线与平面相交，其交点是直线与平面的共有点。,要讨论的问题：,求直线与平面的交点。,判别两者之间的相互遮挡关系，即判别可 见性。,我们只讨论直线与平面中至少有一个处于特殊位置的情况。,a,b,c,m,n,c,n,b,a,m,平面为特殊位置,例：求直线MN与平面ABC的交点K并判别可见性。,空间及投影分析,平面ABC是一铅垂面，其水平投影积聚成一条直线，该直线与mn的交点即为K点的水平投影。,求交点,判别可见性,由水平投影可知，KN段在平面前，故正面投影上kn为可见。,还可通过重影点判别可见性。,1(2),作 图,k,m(n),b

17、,m,n,c,b,a,a,c,直线为特殊位置,空间及投影分析,直线MN为铅垂线，其水平投影积聚成一个点，故交点K的水平投影也积聚在该点上。,求交点,判别可见性,点位于平面上，在前；点位于MN上，在后。故k 2为不可见。,1(2),作图,用面上取点法,两平面相交,两平面相交其交线为直线，交线是两平面的共有线，同时交线上的点都是两平面的共有点。,要讨论的问题：,求两平面的交线,方法：,确定两平面的两个共有点。,确定一个共有点及交线的方向。,只讨论两平面中至少有一个处于特殊位置的情况。,判别两平面之间的相互遮挡关系，即：判别可见性。,可通过正面投影直观地进行判别。,a,b,c,d,e,f,c,f,d

18、,b,e,a,m(n),空间及投影分析,平面ABC与DEF都为正垂面，它们的正面投影都积聚成直线。交线必为一条正垂线，只要求得交线上的一个点便可作出交线的投影。,求交线,判别可见性,作 图,从正面投影上可看出，在交线左侧，平面ABC在上，其水平投影可见。,能!,如何判别？,例：求两平面的交线MN并判别可见性。,b,c,f,h,a,e,a,b,c,e,f,h,1(2),空间及投影分析,平面EFH是一水平面，它的正面投影有积聚性。ab与ef的交点m、b c与f h的交点n即为两个共有点的正面投影，故mn即MN的正面投影。,求交线,判别可见性,点在FH上，点在BC上，点在上，点在下，故fh可见，n2

19、不可见。,作 图,c,d,e,f,a,b,a,b,c,d,e,f,投影分析,N点的水平投影n位于def的外面，说明点N位于DEF所确定的平面内，但不位于DEF这个图形内。所以ABC和DEF的交线应为MK。,互交,b,a,k,三 垂直问题,1、直线与平面垂直,定理：若一直线垂直于平面，则该直线的水平投影一定垂直于该平面上水平线的水平投影，而该直线的正面投影一定垂直于该平面上的平面投影,N,K,A,B,n,证明：NK垂直平面P,P,H,AB是平面P内的一条水平线,则NK垂直于AB,则nk垂直于ab,同理可证直线NK的正面投影垂直于平面上正平线的正面投影,例：过点M作直线垂直于三角形ABC所确定的平

20、面,m,b,e,e,d,d,n,n,2、二平面垂直,若一平面包含另一平面的垂线，则此二平面相互垂直,作平面Q包含垂直于平面P的直线AB,作平面Q垂直于平面P内的直线CD,P,Q,A,B,P,Q,C,D,例：过直线MN作一平面使它垂直于ABC所确定的平面,1,1,2,2,小 结,重点掌握：,二、如何在平面上确定直线和点。,三、两平面平行的条件一定是分别位于两平面 内的两组相交直线对应平行。,四、直线与平面的交点及平面与平面的交线是 两者的共有点或共有线。,解题思路：,空间及投影分析,目的是找出交点或交线的已知投影。,判别可见性,尤其是如何利用重影点判别。,一、平面的投影特性，尤其是特殊位置平面的

21、 投影特性。,要 点,一、各种位置平面的投影特性,一般位置平面,投影面垂直面,投影面平行面,三个投影为边数相等的类似多边形类似性。,在其垂直的投影面上的投影积聚成直线 积聚性。另外两个投影类似。,在其平行的投影面上的投影反映实形 实形性。另外两个投影积聚为直线。,二、平面上的点与直线,三、平行问题,直线与平面平行 直线平行于平面内的一条直线。,两平面平行 必须是一个平面上的一对相交直线对应平行 于另一个平面上的一对相交直线。,四、相交问题,求直线与平面的交点的方法,一般位置直线与特殊位置平面求交点，利用 交点的共有性和平面的积聚性直接求解。,投影面垂直线与一般位置平面求交点，利用 交点的共有性

22、和直线的积聚性，采取平面上 取点的方法求解。,求两平面的交线的方法,两特殊位置平面相交，分析交线的空间位置，有时可找出两平面的一个共有点，根据交线 的投影特性画出交线的投影。,一般位置平面与特殊位置平面相交，可利用 特殊位置平面的积聚性找出两平面的两个共 有点，求出交线。,2.6 换面法,一、问题的提出,如何求一般位置直线的实长？如何求一般位置平面的真实大小？,换 面 法：物体本身在空间的位置不动，而用某一新投影面（辅助投影面）代替原有投影面，使物体相对新的投影面处于解题所需要的有利位置，然后将物体向新投影面进行投射。,解决方法：更换投影面。,二、新投影面的选择原则,1.新投影面必须对空间物体

23、处于最有利的解 题位置。,平行于新的投影面 垂直于新的投影面,2.新投影面必须垂直于某一保留的原投影面，以构成一个相互垂直的两投影面的新体系。,更换一次投影面,A点的两个投影：a，a,A点的两个投影：a，a1,新投影体系的建立,三、点的投影变换规律,ax1,V,H,X,P1,H,X1,a,a,a1,V,H,A,a,ax,X,a1,ax1,新旧投影之间的关系,aa1 X1,a1ax1=aax,点的新投影到新投影轴的距离等于被代替的投影 到原投影轴的距离。,ax,a,一般规律：,点的新投影和与它有关的原投影的连线，必垂直 于新投影轴。,.,更换H面,求新投影的作图方法,V,H,X,由点的不变投影向

24、新投影轴作垂线，并在垂线上量取一段距离，使这段距离等于被代替的投影到原投影轴的距离。,a,a,ax,ax1,ax1,更换V面,作图规律：,更换两次投影面,新投影体系的建立,按次序更换,A,a,V,H,a,ax,X,a,a,X,V,H,求新投影的作图方法,作图规律 a2a1 X2 轴 a2ax2=aax1,ax,四、换面法的四个基本问题,1.把一般位置直线变换成投影面平行线,用P1面代替V面，在P1/H投影体系中，AB/P1。,空间分析：,不行！,作图：,新投影轴的位置？,与ab平行。,2.把一般位置直线变换成投影面垂直线,空间分析：,a,b,a,b,X,V,H,作图：,二次换面把投影面平行线变

25、成投影面垂直线。,X2轴的位置？,与a1b1垂直,一次换面把直线变成投影面平行线；,一般位置直线变换成投影面垂直线，需经几次变换？,3.把一般位置平面变换成投影面垂直面,如果把平面内的一条直线变换成新投影面的垂直线，那么该平面则变换成新投影面的垂直面。,空间分析：,在平面内取一条投影面平行线，经一次换面后变换成新投影面的垂直线，则该平面变成新投影面的垂直面。,作图方法：,能否只进行一次变换？,思考：若变换H面，需在面内取什么位置直线？,正平线！,a,b,c,a,c,b,X,V,H,例：把三角形ABC变换成投影面垂直面。,作 图 过 程：,在平面内取一条水平 线AD。,将AD变换成新投影 面的垂

26、直线。,反映平面对哪个投影面的夹角？,一次换面,把一般位置平面变换成新投影面的垂直面；二次换面，再变换成新投影面的平行面。,4.把一般位置平面变换成投影面平行面,a,b,a,c,b,X,V,H,c,作 图：,AB是水平线,空间分析：,X2轴的位置？,平面的实形,与其平行,距离,d1,五、换面法的应用,如下图：当直线AB垂直于投影面时，CD平行于投影面，其投影反映实长。,作图:,求C点到直线AB的距离，就是求垂线CD的实长。,空间及投影分析：,过c1作线平行于x2轴。,b,a,a,b,c,d,例2：已知两交叉直线AB和CD的公垂线的长度 为MN，且AB为水平线，求CD及MN的投影。,空间及投影分

27、析：,V,H,X,圆半径=MN,作图：,请注意各点的投影如何返回？,求m点是难点。,空间及投影分析：AB与CD都平行于投影面时，其投影的夹角才反映实大（60），因此需将AB与C点所确定的平面变换成投影面平行面。,例3:过C点作直线CD与AB相交成60角。,a,b,a,c,b,X,V,H,c,作 图：,几个解？,两个解！,已知点C是等边三角形的顶点，另两个顶点在直线AB上，求等边三角形的投影。,思考：,如何解？,解法相同！,D点的投影如何返回？,V,H,X,例4：求平面ABC和ABD的两面角。,空间及投影分析：,由几何定理知：两面角为两平面同时与第三平面垂直相交时所得两交线之间的夹角。,在投影图

28、中,两平面的交线垂直于投影面时，则两平面垂直于该投影面，它们的投影积聚成直线，直线间的夹角为所求。,小 结,本章主要介绍了投影变换的一种常用方法 换面法。,一、换面法就是改变投影面的位置，使它与所给物 体或其几何元素处于解题所需的特殊位置。,二、换面法的关键是要注意新投影面的选择条件，即必须使新投影面与某一原投面保持垂直关系，同时又有利于解题需要，这样才能使正投影规 律继续有效。,三、点的变换规律是换面法的作图基础，四个基本 问题是解题的基本作图方法，必需熟练掌握。,换面法的四个基本问题：,2.把一般位置直线变成投影面垂直线,1.把一般位置直线变成投影面平行线,3.把一般位置平面变成投影面垂直面,4.把一般位置平面变成投影面平行面,变换一次投影面,变换一次投影面,变换两次投影面,变换两次投影面,需先在面内作一条投影面平行线,四、解题时一般要注意下面几个问题：,分析已给条件的空间情况，弄清原始条件中 物体与原投影面的相对位置，并把这些条件 抽象成几何元素（点、线、面等）。,根据要求得到的结果，确定出有关几何元 素对新投影面应处于什么样的特殊位置（垂 直或平行），据此选择正确的解题思路与方 法。,在具体作图过程中，要注意新投影与原投影 在变换前后的关系，既要在新投影体系中正 确无误地求得结果，又能将结果返回到原投 影体系中去。,作业:习题册,