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1、8.5 直线、平面垂直的判定及性质要点梳理1.直线与平面垂直（1）判定直线和平面垂直的方法 定义法.利用判定定理：一条直线和一个平面内的两条 直线都垂直，则该直线和此平面垂直.推论：如果在两条平行直线中，有一条垂直 于一个平面，那么另一条直线也 于这个平面.,相交,垂直,基础知识 自主学习,(2)直线和平面垂直的性质 直线垂直于平面，则垂直于平面内 直线.垂直于同一个平面的两条直线.垂直于同一直线的两平面.2.斜线和平面所成的角 斜线和它在平面内的射影所成的锐角，叫斜线 和平面所成的角.3.二面角的有关概念（1）二面角：从一条直线出发的 所 组成的图形叫做二面角.,任意,平行,平行,两个半平面
2、,（2）二面角的平面角：以二面角的棱上任一点 为端点，在两个半平面内分别作 的两 条射线，这两条射线所成的角叫做二面角的平 面角.4.平面与平面垂直(1)平面与平面垂直的判定方法 定义法.利用判定定理：一个平面过另一个平面的，则这两个平面垂直.(2)平面与平面垂直的性质 两平面垂直，则一个平面内垂直于 的直线 垂直于另一个平面.,垂直于棱,一条垂线,交线,基础自测1.设l、m、n均为直线，其中m、n在平面内，则“l”是“lm且ln”的()A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 解析 当l时，lm且ln.但当lm,ln 时，若m、n不是相交直线，则得不到l
3、.,A,2.若P是平面外一点,则下列命题正确的是()A.过P只能作一条直线与平面相交 B.过P可作无数条直线与平面垂直 C.过P只能作一条直线与平面平行 D.过P可作无数条直线与平面平行 解析 过P点存在一平面与平行，则该平面内 过P的直线有无数条都与平行.,D,3.（2009广东理，5）给定下列四个命题:若一个平面内的两条直线与另一个平面都 平行，那么这两个平面相互平行；若一个平面经过另一个平面的垂线，那么这 两个平面相互垂直；垂直于同一直线的两条直线相互平行；若两个平面垂直，那么一个平面内与它们的 交线不垂直的直线与另一个平面也不垂直.其中，为真命题的是()A.和 B.和 C.和 D.和,
4、解析 当两个平面相交时，一个平面内的两条直线可以平行于另一个平面，故不对；由平面与平面垂直的判定可知正确；空间中垂直于同一条直线的两条直线可以相交也可以异面，故不对；若两个平面垂直，只有在一个平面内与它们的交线垂直的直线才与另一个平面垂直，故正确.答案 D,4.（2008湖南文，5）已知直线m、n和平面、满足mn，m，则()A.n B.n，或n C.n D.n,或n 解析 n与的位置关系各种可能性都有，A、B都不对.当n时，作nn,且nm=O,则n与m确定平面,设=l,则有ml,又mn,所以ln,ln,n;当n 时，显然成立.故C不对，D正确.,D,5.下列命题中，m、n表示两条不同的直线，、
5、表示三个不同的平面.若m,n,则mn;若,则；若m,n,则mn;若,m,则m.正确的命题是()A.B.C.D.解析 中平面与可能相交，中m与n可以 是相交直线或异面直线.故错，选C.,C,题型一 直线与平面垂直的判定与性质 如图所示,已知PA矩形ABCD所在平面,M，N分别是AB，PC的中点.(1)求证：MNCD；(2)若PDA=45.求证：MN平面PCD.(1)因M为AB中点,只要证ANB 为等 腰三角形,则利用等腰三角形的性质可得MNAB.(2)已知MNCD，只需再证MNPC,易看出 PMC为等腰三角形，利用N为PC的中点，可 得MNPC.,题型分类 深度剖析,证明（1）连接AC，AN，B
6、N，PA平面ABCD，PAAC，在RtPAC中，N为PC中点，PA平面ABCD，PABC，又BCAB，PAAB=A，BC平面PAB，BCPB，从而在RtPBC中，BN为斜边PC上的中线，AN=BN，ABN为等腰三角形，又M为底边AB的中点，MNAB，又ABCD，MNCD.,(2)连接PM、CM,PDA=45,PAAD,AP=AD.四边形ABCD为矩形，AD=BC，PA=BC.又M为AB的中点，AM=BM.而PAM=CBM=90,PM=CM.又N为PC的中点，MNPC.由（1）知，MNCD，PCCD=C,MN平面PCD.垂直问题的证明，其一般规律是“由已知想性质，由求证想判定”，也就是说，根据已
7、知条件去思考有关的性质定理；根据要求证的结论去思考有关的判定定理，往往需要将分析与综合的思路结合起来.,知能迁移1 RtABC所在平面外一点S,且SA=SB=SC，D为斜边AC中点.（1）求证：SD面ABC；（2）若AB=BC，求证：BD面SAC.证明（1）如图所示，取AB中点E，连结SE，DE，在RtABC中，D、E分别为AC、AB的中点，故DEBC，且DEAB,SA=SB，SAB为等腰三角形，SEAB.SEAB，DEAB，SEDE=E，AB面SDE.而SD面SDE，ABSD.,在SAC中，SA=SC，D为AC中点，SDAC.SDAC,SDAB,ACAB=A,SD面ABC.（2）若AB=BC
8、，则BDAC，由（1）可知，SD面ABC，而BD面ABC，SDBD，SDBD,BDAC,SDAC=D,BD面SAC.,题型二 面面垂直的判定与性质 如图所示，在四棱锥PABCD 中，平面PAD平面ABCD，ABDC，PAD是等边三角形,已知BD=2AD=8，AB=2DC=4.(1)设M是PC上的一点，证明：平面MBD平面PAD；(2)求四棱锥PABCD的体积.(1)因为两平面垂直与M点位置无 关，所以在平面MBD内一定有一条直线垂直于 平面PAD，考虑证明BD平面PAD.(2)四棱锥底面为一梯形,高为P到面ABCD的距离.,(1)证明 在ABD中,AD=4,BD=8,AB=4,AD2+BD2=
9、AB2.ADBD.又面PAD面ABCD，面PAD面ABCD=AD，BD面ABCD，BD面PAD.又BD面BDM，面MBD面PAD.(2)解 过P作POAD，面PAD面ABCD，PO面ABCD，即PO为四棱锥PABCD的高.又PAD是边长为4的等边三角形，PO=,在底面四边形ABCD中，ABDC，AB=2DC，四边形ABCD为梯形.在RtADB中，斜边AB边上的高为此即为梯形的高.当两个平面垂直时，常作的辅助线是在其中一个面内作交线的垂线.把面面垂直转化为线面垂直，进而可以证明线线垂直，构造二面角的平面角或得到点到面的距离等.,知能迁移2 在斜三棱柱A1B1C1ABC中，底面是等腰 三角形，AB
10、=AC，侧面BB1C1C底面ABC.(1)若D是BC的中点，求证：ADCC1；(2)过侧面BB1C1C的对角线BC1的平面交侧棱于 M,若AM=MA1,求证：截面MBC1侧面BB1C1C.证明(1)AB=AC,D是BC的中点,ADBC.底面ABC平面BB1C1C，面ABC面BB1C1C=BC，AD侧面BB1C1C.CC1面BB1C1C，ADCC1.,（2）延长B1A1与BM交于N，连结C1N.AM=MA1，NA1=A1B1.A1B1=A1C1，A1C1=A1N=A1B1.C1NC1B1.截面NB1C1侧面BB1C1C，面NB1C1面BB1C1C=C1B1，C1N侧面BB1C1C.C1N面C1N
11、B，截面C1NB侧面BB1C1C.即截面MBC1侧面BB1C1C.,题型三 线面角的求法（12分）如图所示，在四棱锥P ABCD中，底面为直角梯形，ADBC，BAD=90，PA底面ABCD,且 PA=AD=AB=2BC,M、N分别为PC、PB的中点.（1）求证：PBDM；（2）求BD与平面ADMN所成的角.（1）易证PB平面ADMN.（2）构造直线和平面所成的角，解三角形.（1）证明 N是PB的中点，PA=AB，ANPB.BAD=90，ADAB.PA平面ABCD，PAAD.,PAAB=A，AD平面PAB，ADPB.4分又ADAN=A，PB平面ADMN.平面ADMN，PBDM.6分（2）解 连接
12、DN，PB平面ADMN，BDN是BD与平面ADMN所成的角，8分在RtBDN中，10分BDN=30,即BD与平面ADMN所成的角为30.12分,求直线和平面所成的角，关键是利用定义作出直线和平面所成的角.必要时，可利用平行线与同一平面所成角相等，平移直线位置，以方便寻找直线在该平面内的射影.知能迁移3 如图所示，四面体ABCS中，SA、SB、SC两两垂直，SBA=45，SBC=60，M为AB的中点.求：（1）BC与平面SAB所成的角；（2）SC与平面ABC所成的角的正切值.,解（1）SCSB，SCSA，SBSA=S，SC平面SAB，BC在平面SAB上的射影为SB.SBC为BC与平面SAB所成的
13、角.又SBC=60,故BC与平面SAB所成的角为60.（2）连结MC，在RtASB中，SBA=45，ASB为等腰直角三角形，SMAB，由（1）知ABSC，ABSM=M，AB平面SMC，,平面ABC平面SMC平面ABC.过点S作SOMC于点O，SO平面ABC.SCM为SC与平面ABC所成的角.由（1）知SC平面SAB，又 平面SAB，SCSM，SMC为直角三角形.设SB=a，即SC与平面ABC所成的角的正切值为.,题型四 二面角的求法 如图所示，三棱锥PABC中，D是AC的中点，PA=PB=PC=，AC=2，AB=，BC=.（1）求证：PD平面ABC；（2）求二面角PABC的正切值大小.（1）已
14、知三角形三边长，可考虑利用 勾股定理的逆定理证明垂直.（2）关键是找出二面角的平面角，由AP=PB，可考虑取AB的中点E.,（1）证明 连结BD，D是AC的中点，PA=PC=，PDAC.AC=，AB=，BC=，AB2+BC2=AC2.ABC=90，即ABBC.PD2=PA2-AD2=3，PB=，PD2+BD2=PB2.PDBD.ACBD=D，PD平面ABC.,（2）解 取AB的中点E，连结DE、PE，由E为AB的中点知DEBC，ABBC，ABDE.PD平面ABC，PDAB.又ABDE，DEPD=D，AB平面PDE，PEAB.PED是二面角PABC的平面角.在PED中，PDE=90,二面角PAB
15、C的正切值为.,找二面角的平面角常用的方法有:(1)定义法：作棱的垂面，得平面角.(2)利用等腰三角形、等边三角形的性质,取中线.知能迁移4 如图所示，四棱锥P ABCD的底面ABCD是直角梯形，PA平面ABCD，且ADBC，ADDC,ADC和ABC均为等腰直角三角形,设PA=AD=DC=a，点E为侧棱PB上一点，且BE=2EP.（1）求证：平面PCD平面PAD；（2）求证：直线PD平面EAC；（3）求二面角BACE的余弦值.,（1）证明 PA平面ABCD，DC平面ABCD，DCPA.又ADDC，且PA与AD是平面PAD内两相交直线，DC平面PAD.又DC平面PCD，平面PCD平面PAD.（2
16、）证明 连结BD，设BD与AC相交于点F，连结EF，在等腰直角ADC中，ADDC，,又ADBC，ACB=DAC=又ABC为等腰直角三角形，且底面ABCD是直角梯形，（若B为直角，则与底面ABCD是直角梯形相矛盾）.由AD=DC=a，易知AB=AC=a，BC=2a，BCAD且BC=2AD，BF=2FD.又BE=2EP，PDEF.又EF平面EAC，PD平面EAC，直线PD平面EAC.,（3）解 过点E作EHPA交AB于H点，则EH平面ABCD，又ABAC，EAAC.EAH为二面角BACE的平面角.BE=2EP，即二面角BACE的余弦值为.,方法与技巧1.证明线面垂直的方法（1）线面垂直的定义：a与
17、内任何直线都垂 直a；（3）判定定理2：ab，ab；（4）面面平行的性质：，aa；（5）面面垂直的性质：，=l，a，al a.,n,思想方法 感悟提高,2.证明线线垂直的方法（1）定义：两条直线所成的角为90;（2）平面几何中证明线线垂直的方法；（3）线面垂直的性质：a，bab；（4）线面垂直的性质：a，bab.3.证明面面垂直的方法（1）利用定义：两个平面相交，所成的二面角 是直二面角；（2）判定定理：a，a.4.向量法证明线面平行与垂直也是一种重要的 方法.,失误与防范1.垂直关系的转化 在证明两平面垂直时一般先从现有的直线中寻 找平面的垂线，若这样的直线图中不存在，则 可通过作辅助线来解
18、决.如有平面垂直时，一般 要用性质定理，在一个平面内作交线的垂线，使之转化为线面垂直，然后进一步转化为线线 垂直.故熟练掌握“线线垂直”、“面面垂直”间的转化条件是解决这类问题的关键.,2.面面垂直的性质定理是作辅助线的一个重要依 据.我们要作一个平面的一条垂线，通常是先找 这个平面的一个垂面，在这个垂面中，作交线 的垂线即可.,一、选择题1.若l为一条直线,、为三个互不重合的平 面，给出下面三个命题：,;,;l,l.其中正确的命题有()A.0个 B.1个 C.2个 D.3个 解析 对于，与可能平行，故错.正确，故选C.,C,定时检测,2.设a、b是不同的直线，、是不同的平面，则 下列四个命题
19、中正确的是()A.若ab,a,则b B.若a,则a C.若a,则a D.若ab,a,b,则 解析 A中，b可能在内；B中，a可能在内,也可能与平行或相交（不垂直）；C中，a可 能在内；D中，ab，a，则b或 b,又b,.,D,3.（2009北京理，4）若正四棱柱ABCDA1B1 C1D1的底面边长为1,AB1与底面ABCD成60 角，则A1C1到底面ABCD的距离为()A.B.1 C.D.解析 如图所示，直线AB1与底面 ABCD所成的角为B1AB，而A1C1 到底面ABCD的距离为AA1，在RtABB1中，B1B=ABtan 60=.所以AA1=BB1=.,D,4.已知直线l平面，直线m平面
20、，下面有三 个命题：lm;lm;lm;则真命题的个数为()A.0 B.1 C.2 D.3 解析 如图所示，设面AB1为，面 A1C1为，A1D1，A1C1，而A1D1与A1C1相交，故错.,C,5.下面四个命题：“直线a直线b”的充要条件是“a平行于b 所在的平面”；“直线l平面内所有直线”的充要条件 是“l平面”；“直线a、b为异面直线”的充分不必要条件 是“直线a、b不相交”；“平面平面”的必要不充分条件是“内存在不共线三点到的距离相等”.其中正确命题的序号是()A.B.C.D.,解析 ab推不出a平行于b所在的平面，反之也不成立.不正确.由线面垂直的定义知正确.a、b不相交时，a、b可能
21、平行，此时a、b共面.不正确.当时，内一定有三个不共线的点到平面的距离相等.反之，设A、B、C是内三个不共线的点，当过ABC的中位线时，A、B、C三点到的距离相等，但此时、相交，正确.答案 C,6.（2009浙江理，5）在三棱柱ABCA1B1C1 中，各棱长相等,侧棱垂直于底面,点D是侧面 BB1C1C的中心，则AD与平面BB1C1C所成角的 大小是()A.30 B.45 C.60 D.90 解析 取BC中点E，连结AE，则AE平面 BCC1B1，故ADE为直线AD与平面BB1C1C所 成的角.设各棱长为a，则 ADE=60.,C,二、填空题7.（2008全国文，16）已知菱形ABCD中,AB
22、=2，A=120，沿对角线BD将ABD折起,使二面角A-BD-C为120，则点A到BCD所在 平面的距离等于.解析 如图所示，取BD中点E，连接 AE、CE.ABD、BCD均为等腰三角形，AEBD，CEBD，BD平面AEC.AEC为二面角ABDC的平面角，,AEC=120.在平面AEC内过A作CE的垂线AH,垂足为H,则H在CE的延长线上.BD平面AEC，BDAH.又AHCE,AH平面BCD.BAD=120,BAE=60,又AEH=60,即点A到BCD所在平面的距离为.,答案,8.将正方形ABCD沿对角线BD折起，使平面ABD平 面CBD，E是CD的中点，则异面直线AE、BC所成 角的正切值为
23、.解析 如图所示，取BD中点O，连结AO、OE，则AOBD.平面ABD平面CBD，AO平面BCD，OEBC，AEO即为AE、BC所成的角.设正方形的边长为2，则OE=1，AO=，tanAEO=.,9.a、b表示直线，、表示平面.若=a,b,ab，则;若a,a垂直于内任意一条直线，则；若，=a,=b,则ab;若a不垂直于平面，则a不可能垂直于平面 内无数条直线；若a,b,ab,则.上述五个命题中，正确命题的序号是.,解析 对可举反例如图，需b才能推出.对可举反例说明，当不与，的交线垂直时，即可得到a，b不垂直；对a只需垂直于内一条直线便可以垂直内无数条与之平行的直线.所以只有是正确的.答案,三、
24、解答题10.四面体ABCD中,AC=BD，E、F分别是AD、BC 的中点，且 BDC=90.求证：BD平面ACD.证明 如图所示，取CD的中点G，连接EG、FG、EF.E、F分别为AD、BC的中点，EG AC，FG BD.,又AC=BD，在EFG中，EG2+FG2=AC2=EF2.EGFG.BDAC.又BDC=90，即BDCD，ACCD=C，BD平面ACD.,11.如图所示，已知ABC是等边三角形，EC平面ABC，BD平面ABC，且EC、DB在平面ABC的同侧，M为EA的中点，CE=2BD.求证：（1）DE=DA；（2）平面BDM平面ECA；（3）平面DEA平面ECA.证明 如图所示，取AC中
25、点N，连结MN、BN，,EC平面ABC，BD平面ABC，ECBD.ECA中，M、N分别是EA、CA中点,MNEC，又EC=2BD，MNBD且MN=BD.四边形MNBD是平行四边形.MDBN.EC平面ABC，且BN平面ABC,ECBN.正三角形ABC中，N是AC中点，BNAC.又ACEC=C，BN平面ECA.MD平面ECA.,（1）MD平面ECA，EA平面ECA，MDEA.EM=MA，RtDMERtDMA.DE=DA.（2）MD平面ECA，MD平面BDM，平面BDM平面ECA.（3）MD平面ECA，MD平面DEA，平面DEA平面ECA.,12.（2009北京理，16）如图，在三 棱锥PABC中，
26、PA底面ABC，PA=AB，ABC=60,BCA=90,点 D、E分别在棱PB、PC上,且DEBC.(1)求证：BC平面PAC.(2)当D为PB的中点时，求AD与平面PAC所成的 角的正弦值.(3)是否存在点E使得二面角ADEP为直二面 角？并说明理由.（1）证明 PA底面ABC，PABC.又BCA=90,ACBC.又ACPA=A,BC平面PAC.,(2)解 D为PB的中点，DEBC，又由（1）知，BC平面PAC，DE平面PAC，垂足为点E.DAE是AD与平面PAC所成的角.PA底面ABC，PAAB.又PA=AB，ABP为等腰直角三角形.在RtABC中，ABC=60,在RtADE中，sinDAE=AD与平面PAC所成角的正弦值为.(3)解 DEBC，又由(1)知,BC平面PAC，DE平面PAC.又AE平面PAC，PE平面PAC，DEAE，DEPE.AEP为二面角ADEP的平面角.PA底面ABC，PAAC，PAC=90.在棱PC上存在一点E，使得AEPC.这时，AEP=90,故存在点E使得二面角ADEP是直二面角.,返回,
