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1、作业,P22011.1.3 11.1.6,第二章 直角坐标系中的分离变量法,1分离变量法简介,一、基本思想和解题思路,通过分别解X(x)和T(t),求出满足齐次方程 齐次边条件的分离变量的形式解：,二、理论依据线性迭加原理,设：L、Mk(k=1,2m)为线性算子 u i(i=1,2n)为线性齐次定解问题的解,则 一定是线性齐次定解问题的解，其中C i为任意常数,即：,【例】,三、处理的主要问题,1.一维空间齐次方程，齐次边条件的定解问题2.一维空间非齐次方程，齐次边条件的定解问题3.一维空间非齐次边条件的定解问题4.多维空间的定解问题,2齐次方程、齐次边条件的初值边值问题,特点：直接用分离变量
2、法就可获得成功,一、两端固定弦的自由横振动,1.求解过程：,（1）列出定解问题,(2)分离变量,两边同时除以,(*),分析：右侧只是t的函数与x无关 左侧只是x的函数与t无关,x、t是两个独立变量，所以为了使00上式能处处成立，只能有一种情况：左右常量,由（*）式得到：,将形式解代入边条件：,整理得：,其中：为待定常数,讨 论：,1）分离变量法的第一个目的已经达到,思考：若方程或边条件之一为非齐次的，是否能 直接成功地分离变量？,2）和的解相乘构成的特解一定满足偏微分 方程定解问题中的齐次方程和齐次边条件。,偏微分方程的定解问题,（3）求解常微分方程的边值问题本征值问题,初值问题与边值问题的区
3、别,对自变量t同一点(t=0)给出的不同初条 件,初值问题,边值问题,对自变量中两个不同的端点提出的 条件,边值问题的突出特点是：其解与的取值密切相关，,本征值问题：含有待定参量的边值问题 本征值：对应边值问题有非零解的参数n的取值 本征函数：边值问题的非零解X n(x),所谓求解本征值问题就是将全部的本征值及相应的全体线性无关的本征函数求出来,下面求解本征值问题：,因为 是厄米算子，本征值一定是实数,特征方程：,.0,特征方程：,上式可视为关于A、B的二元一次方程组，由方程理论知，二元一次齐次方程组有非零解的充要条件是其系数行列式为零,A、B只有零解X(x)=0,0不是的本征值（因为0时所有
4、情况都不能 得到X(x)的非零解）,.0,解得：,代入边条件：,X(x)=0，即0不是本征值,.0,特征方程：,通解：,代入边条件：,两分子乘积为零只有是：,因为B=0不可取（X(x)不为零），所以只有,的解为：,注：.n=0,0，X(x)0，所以n=0不能要,.n0是线性相关的,式即为的解,满足边值问题的解不止是所表达的这些，但线性无关的就是这些,(4)求解相应的方程的解（将本征值代 入）,特征方程：,(5)构成特解,但一般不满足初条件：,（6）通解,1）通解u(x,t)一定满足齐次方程，齐次边条件。,2）令通解满足非齐次初条件，从而求解迭加系数,将算出的C n，D n代入通解所得的解就是满
5、足中方程、边条件和初条件的解。,2.有关问题讨论,（1）解的敛散性,的解为无穷级数形式,级数的收敛性，主要由初条件所给的两个函数(x)和(x)定，,保证u(x,t)是绝对且一致收敛，可逐项求导两次，得到的级数仍然是绝对且一致收敛,（2）求解的主要步骤,齐次泛定方程,T(t)的常微分方程,X(x)的常微分方程,齐次边条件,X(x)的边条件,迭加特解得通解,P213,(3)关于常微分方程的本征值问题,(*),i),ii),iii),iv),(*),（4）解的物理意义,i)特解un(x,t)代表弦上的本征驻波,a)对应某一确定的时刻t，空间各点的振幅不同,ii)u(x,t)代表弦上实际发生的振动 u
6、(x,t)是各次本征驻波迭加的结果，而各次本征 驻波在实际振动中所占的比重由初始条件而定。,二、求解两端自由的均匀细杆的纵振动，各点 初始位移为cos(3x/l)，初速度为零。,解：设形式解u(x,t)=X(x)T(t)代入中方程及边条件,解本征值问题,将n 代入解T n(t),n0时：,n=0时：,迭加特解得通解：,代入初条件：,(a),(b),注：所给初条件中的(x)、(x)满足使级数绝对 收敛的条件 u t(x,0)右侧级数中先逐次求导，再代入t=0,分析：(a)(b)两式的两侧都是按同一正交完备系展开的(a)(b)两式在整个正交区间0,l 上都是成立的 所以，可以直接比较系数,课堂练习：长为l的均匀细杆，侧面绝热，左右端分别与00和1000的物体接触，t0时刻，撤去右端物体，设杆右端与外界无热交换，求：杆上各点温度随时间变化？,
