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1、1,振动力学基础,人类生活在振动的世界里。振动在力学、声学、电学、生物工程、自控等各领域都占有重要的地位。,振动的一般概念:某物理量在某数值附近作周期性变化,机械振动：物体位置在一确定位置附近作往返运动称为机械振动。,特点：,有平衡点，且具有重复性。,机械振动分类,（原因）自由、受迫、阻尼振动。,（规律）简谐、非简谐、随机振动。,（位移）角振动、线振动。,其中简谐振动是最基本的，存在于许多物理现象中。,复杂的振动都可以分解为一些简谐振动的叠加。,2,1 简谐振动动力学,一、简谐振动的特征,3,二、简谐运动的运动方程,4,3.简谐振动的 x-t,v-t,a-t图,5,三、简谐振动的能量,我们以弹
2、簧振子为例来讨论简谐运动的能量问题。设振动物体在任一时刻t 的位移为x，速度为v，于是它所具有的动能EK 和势能EP 分别为,6,2 简谐振动运动学,简谐运动的运动方程：,7,（2）频率与圆频率,8,3、相位和初相,9,例题 在一轻弹簧下端悬挂m0=100克砝码时，弹簧伸,长8厘米，现在这根弹簧下悬挂m=250克的物体。将物体从平衡位置向下拉动4厘米并给予向上的21厘米/秒的初速度。选X轴向下，求振动的表达式。,10,例题 一个轻弹簧在60N的拉力作用下可伸长30cm。现将一物体,悬挂在弹簧的下端并在它上面放一小物体，他们的总质量为4kg。待其静止后再把物体向下拉10cm，然后无初速释放。问（
3、1）此小物体是停在振动物体上面还是离开它？（2）若使放在振动物体上的小物体与振动物体分离，则振幅A须满足何条件？二者在何位置开始分离？,解：,11,4、简谐运动的旋转矢量表示法,为了直观地表明简谐运动的三个特征量的物理意义，可以用一个旋转矢量来表示简谐运动。,（1）旋转矢量的长度等于,12,旋转矢量与谐振动的对应关系,A,谐振动,旋转矢量,t+,T,振幅,初相,相位,圆频率,谐振动周期,半径,初始角坐标,角坐标,角速度,园周运动周期,(4）比较两个谐振动的相位差,212k称同相,21（2k+1）称反相,210称2超前,1 20称1超前,13,旋转矢量确定初位相,14,例题：由谐振子能量推出振幅
4、公式。,解：,结论：,例题：,1.A由系统能量决定；2.t=0的含义；3.x0、v0含义。,15,5、弹簧的串并联,思考1：等分n段，每段k0=?,思考2：n段串联，等效k0=?,K0=nk,K0=k/n,16,例题 一质点在X轴上作简谐振动，振幅A=4cm，周期,T=2s,其平衡位置取坐标原点。若t=0时刻质点第一次通过x=-2cm处，且向X轴负方向运动，则质点第二次通过x=-2cm处的时刻为（A）1s（B）（2/3）s（C）（3/4）s（D）2s,例题 一长度为l 的倔强系数为k的轻弹簧分割成l1和l2的两部分，且l1=nl2则相应的倔强系数k1和k2为,17,3微振动的简谐近似,1.单摆
5、,在角位移很小的时候，单摆的振动是简谐振动。角频率,振动的周期分别为：,单摆,结论,当 时,18,2.复摆（物理摆）,为m绕O点转动的转动惯量。,总结：复摆的谐振动方程：,当 时,振动的角频率、周期完全由振动系统本身来决定。,19,4平行简谐振动的合成,一、同方向、同频率的简谐振动的合成,结论：,仍然是同频率的简谐振动,20,讨论一：,合振幅最大。称为干涉相长,讨论二：,称为干涉相消。,讨论三：,一般情况：,A1=A2 时，A=0,21,例题 三个谐振动方程分别为,画出它们的旋转矢量图。并在同一x-t坐标上画出振动曲线。写出合振动方程。,合振动方程X=0,22,二、同方向的N个同频率简谐振动的
6、合成,设它们的振幅相等，初相位依次差一个恒量。其表达式为：,在OCP中：,23,所以，合振动的表达式,上两式相除得,24,讨论1：,即各分振动同相位时，合振动的振幅最大。,当,讨论2：,这时各分振动矢量依次相接，构成闭合的正多边形，合振动的振幅为零。,以上讨论的多个分振动的合成在说明光的干涉和衍射规律时有重要的应用。,当 且,25,三、同方向、不同频率的简谐振动的合成,利用：,合成振动表达式：,当 都很大，且相差甚微时，可将 视为振幅变化部分，合成振动是以 为角频率的谐振动。,其振幅变化的周期由振幅绝对值变化来决定，即振动忽强忽弱，所以它是近似的谐振动。这种合振动忽强忽弱的现象称为拍。,26,
7、单位时间内振动加强或减弱的次数叫拍频,显然，拍频是振动 的频率的两倍。,27,5 垂直简谐振动的合成,设一个质点同时参与了两个振动方向相互垂直的同频率简谐振动，即,上式是个椭圆方程，具体形状由 相位差决定。,质点的运动方向与 有关。当 时，质点沿顺时针方向运动；当 时，质点沿逆时针方向运动。,当 时，椭圆退化为圆。,一、同频率垂直简谐振动的合成,28,上式的推导：,X=A1cos(t+1)Y=A2cos(t+2),变换：Y=A2cos(t+2)=A2cos(t+1+2-1)令=t+1=2-1 则有：X=A1cos Y=A2cos(）得：Y=A2cos cos-sin sin,改写为：,两边平方
8、，利用 cos=X/A1,29,讨论1,所以是在 直线上的振动。,讨论2,所以是在 直线上的振动。,30,讨论3,所以是在X轴半轴长为，Y轴半轴长为 的椭圆方程，且顺时针旋转。,讨论4,所以是在X轴半轴长为，Y轴半轴长为 的椭圆方程，且逆时针旋转。,X和Y方向的相位差决定旋转方向。,质点的轨道是圆。,质点的轨道是圆。,31,讨论5,则为任一椭圆方程。,综上所述：两个频率相同的互相垂直的简谐振动合成后，合振动在一直线上或者在椭圆上进行（直线是退化了的椭圆）。,32,二、垂直方向、不同频率简谐振动的合成,一般是复杂的运动轨道不是封闭曲线，即合成运动不是周期性的运动。,当 时是顺时针转；时是逆时针转
9、。,如果两个互相垂直的振动频率成整数比，合成运动的轨道是封闭曲线，运动也具有周期。这种运动轨迹的图形称为李萨如图形。P128图。,用李萨如图形在无线电技术中可以测量频率：,在示波器上，垂直方向与水平方向同时输入两个振动，已知其中一个频率，则可根据所成图形与已知标准的李萨如图形去比较，就可得知另一个未知的频率。,33,6、7 阻尼振动、受迫振动、共振,一.阻尼振动,阻尼振动微分方程,令,为阻尼因子,通解,34,1.欠阻尼振动-阻尼很小,通解,2.过阻尼振动-阻尼很大,通解,不能往复运动。,如单摆放在粘滞的油筒中摆到平衡位置须很长时间。,35,3.临界阻尼振动,通解,衰减函数,临界阻尼达到平衡位置的时间最短，但仍不能超过平衡位置。,三种阻尼振动比较,36,二.受迫振动,在阻尼振动中，要维持振动，外界需加一个周期的强迫力-策动力。,令,通解,37,第一项为阻尼振动项，当时间较长时衰减为0。,第二项为策动力产生的周期振动。,开始时运动比较复杂，当第一项衰减为 0 后，只作受迫振动，振动频率为策动力的频率。,振幅,初相,三.共振,
