离散傅里叶变换.ppt

《离散傅里叶变换.ppt》由会员分享，可在线阅读，更多相关《离散傅里叶变换.ppt（214页珍藏版）》请在三一办公上搜索。

1、第4章 离散傅里叶变换（DFT）,Discrete Fourier Transform,引言,对一个序列长度未加以任何限制，则一个序列可分为：（1）无限长序列：n=-或n=0或n=-0（2）有限长序列：0nN-1有限长序列在数字信号处理是很重要的一种序列。由于计算机容量的限制，只能对过程进行逐段分析。,一、序列分类,由于有限长序列，引入DFT(离散傅里叶变换)。DFT它是反映了“有限长”这一特点的一种有用工具。DFT变换除了作为有限长序列的一种傅里叶表示，在理论上重要之外，而且由于存在着计算机DFT的有效快速算法-FFT,因而使离散傅里叶变换(DFT)得以实现，它使DFT在各种数字信号处理的算

2、法中起着核心的作用。,二、DFT引入,三、本章主要讨论,离散付里叶变换的推导离散付里叶变换的有关性质离散付里叶变换逼近连续时间信号的问题,4.1 傅里叶变换的几种形式,傅 里 叶 变 换：建 立 以 时 间 t 为 自 变 量 的“信 号”与 以 频 率 f为 自 变 量 的“频 率 函 数”(频谱)之 间 的 某 种 变 换 关 系.所 以“时 间”或“频 率”取 连 续 还 是 离 散 值,就 形 成 各 种 不 同 形 式 的 傅 里 叶 变 换 对。在 深 入 讨 论 离 散 傅 里 叶 变 换 D F T 之 前,先 概 述 四种 不 同 形式 的 傅 里 叶 变 换 对.,一、非周

3、期连续时间信号的傅里叶变换,非周期连续时间信号通过连续傅里叶变换(FT)得到非周期连续频谱密度函数。,正变换：,逆变换：,条件：,以下变换对可以看出（1）时域 连 续 函 数 造成频域是非周期的谱,（2）时域的非周期造成频域是连续的谱.,二、周期连续时间信号的傅里叶变换,周期连续时间信号 非周期离散频谱密度函数。周期为Tp的周期性连续时间函数 xa(t)可展成傅里叶级数X(m),是离散非周期性频谱,表 示为:,FS,正变换：,反变换：,条件：,通过以下变换对可以看出（1）时域的连续函数造成频域是非周期的频谱函数（2）频域的离散频谱与时域的周期时间函数对应(频域采样，时域周期延拓),三、非周期离

4、散信号的傅里叶变换,非周期离散的时间信号得到周期性连续的频率函数。,正变换：,反变换：,其中是数字频率，它和模拟角频率的关系为=T取样频率fs与取样周期T的关系：fs=1/T取样的数字频率为=2,（1）时域的离散造成频域的周期延拓,（2）时域的非周期对应于频域的连续.,四、周期离散信号的傅里叶变换,上面讨论的三种傅里叶变换对,都不适用在计算机上运算,因为至少在一个域(时 域 或 频 域)中,函数是连续的。因为从数字计算角度,我们 感兴趣的是时域及频域都是离散的情况,这就是 我们这里要谈到的离散傅里叶变换.周期性离散时间信号从上可以推断：（1）周期性时间信号可以产生频谱是离散的（2）离散时间信号

5、可以产生频谱是周期性的。得出其频谱为周期性离散的。也即我们所希望的。,四.离散时间、离散频率的傅氏变换-DFT,x(nT)=x(n),t,0,T,2T,1 2 N,n,NT,一个域的离散必然造成另一个域的周期延拓。,其中,正变换：,反变换：,四种付里叶变换形式的归纳,4.2.离散付里叶级数(DFS),4.2.1 DFS的导出周期性序列的离散傅里叶级数(DFS)有限长序列的离散傅里叶变换(DFT).,由DFS引出DFT的定义,有限长序列的傅里叶变换称为离散傅里叶变换，简写为DFT。DFT可以按3个步骤由 DFS推导出来：将有限长序列延拓成周期序列；求周期序列的DFS；从DFS中取出一个周期便得到

6、有限长 序列的DFT。,一、DFS定义,设 为周 期 为 N 的 周 期 序 列,则 其 离 散 傅 里 叶 级 数(DFS)变 换 对 为:正 变 换 反变换其中:,二、DFS离散付里级数的推导意义,用数字计算机对信号进行频谱分析时，要求信号必须以离散值作为输入，而且上面讨论可知：只有第四种形式(DFS)对数字信号处理有实用价值。但如果将前三种形式要么在时域上采样，要么在频域上采样，变成离散函数，就可以在计算机上应用。所以我们要先了解如何从以上三种形式推出DFS.,1.由非周期连续时间信号推出DFS,X(t)经过抽样为x(nT),对离散的时间信号进行DTFT得到周期连续频谱密度函数。再经过抽

7、样，得到周期性离散频谱密度函数即为DFS.,x(t),t,取样,x(t),t,DTFT,X(ejT),采样,X(ejw),w,2.周期性连续时间信号函数,周期性连续时间信号函数经采样后，得到周期性的离散时间函数(DFS)。,x(t),X(ejw),t,w,采样,3.非周期离散时间信号,非周期离散时间信号经过序列付里叶变换(即单位圆上的Z变换)DTFT,得到周期连续谱密度函数，再经采样为周期离散频谱密度函数(DFS)。,x(t),t,X(ejT),w,X(ejw),DTFT,采样,推导DFS正变换,由第三种傅里叶级数形式为例推导出离散付里叶级数变换。非周期信号x(n),其DTFT(单位圆上Z变换

8、)为,其为周期连续频谱密度函数，对其频域进行采样，使其成为周期性离散频谱函数。设在一周期内采样N个点，则两采样点间距为,即得出DFS的正变换：,得到各抽样频点频率为：代入DTFT式子中，这时由于抽样，信号变成周期离散信号，得,DFS的反变换,解：已知,两边同乘以,并对一个周期求和,根据正交定理,用n替换r,可得：,即得：,回顾DFS,设 x(n)为周 期 为 N 的 周 期 序 列,则 其 离 散 傅 里 叶 级 数(DFS)变 换 对 为:正 变 换 反变换,其中:,其中，a,b为任意常数。,的性质,一.线性,如果,则有,二.序列的移位,则有：,如果,证明：,令i=m+n,则 n=i-m。,

9、n=0 时，i=m;n=N-1时，i=N-1+m,所以,*和 都是以N为周期的周期函数。,三.调制特性 如果 则有,证明：,时域乘以虚指数()的m次幂，频域搬移m,调制特性。,四.周期卷积和 1.如果 则：,证明：,代入：,则：,同样，利用对称性,若,则,3.离散傅里叶变换,周期序列实际上只有有限个序列值才有意义,因 而它的离散傅里叶级数表示式也适用于有限长 序列,这就得到有限长序列的傅里叶变换(DFT).时域周期序列看作是有限 长序列x(n)的周期延拓;频域周期序列看作是有限长序列X(k)的周期 延 拓要把DFS的定义式两边（时域、频域）各取主值区间,就得到关于有限长序列的时频域的对应变换对

10、.这就是数字信号处理课程里最重要的变换-离 散 傅 里 叶 变 换(DFT).,DFT-有限长序列的离散频域表示一.预备知识 1.余数运算表达式 如果，m为整数；则有：此运算符表示n被N除，商为m，余数为。是 的解,或称作取余数,或说作n对N取 模值,或简称为取模值,n模N。,例如：(1)(2),先取模值，后进行函数运作;而 视作将周期延拓。,2.,二.有限长序列x(n)和周期序列 的关系,周期序列 是有限长序列x(n)的周期延拓。,有限长序列x(n)是周期序列 的主值序列。,如：,N-1,n,x(n),0,0,N-1,定义从n=0 到（N-1）的第一个周期为主值序列或区间。,三.周期序列 与

11、有限长序列X(k)的关系,同样，周期序列 是有限长序列X(k)的周期延拓。,而有限长序列X(k)是周期序列 的主值序列。,四.从DFS到DFT,从上式可知，DFS,IDFS的求和只限定在n=0到n=N-1,及k=0到N-1的主值区间 进行。,因此可得到新的定义，即有限序的离散傅氏变换(DFT)的定义。,或者：,五、DFT定义,正变换反变换X(k)、x(n)为有限长序列的离散付里叶变换对，已知其中一个序列就能确定另一个序列。在离散傅里叶变换关系中,有限长序列都作为周期序列的一个周期来表示,都隐含有周期性意义.,六、DFT涉及的基本概念,1.主 值(主值区间、主值序列)2.移 位(线性移位、圆周移

12、位)3.卷 积(线性卷积、圆周卷积)4.对 称(序列的对称性、序列的对称分量)5.相 关(线性相关、圆周相关),1.主 值(主值区间、主值序列),主 值 区 间：设 有 限 长 序 列 x(n),0nN-1,将 其 延 拓 为 周 期 序 列,周 期 序 列 长度为N,则 的 第 一 个 周 期 n=0 到 n=N-1 的 区 间 称 为 主 值 区 间.主 值 序 列:设 有 限 长 序 列 x(n),0nN-1,将 其 延 拓 为 周 期 序 列,周 期 为 N,则 主 值 区 间 内 的 序 列 x(n)=,0nN-1,即 为 主 值 序列。,2.移位,线 性 移 位：序 列 沿 坐 标

13、 轴 的 平 移.圆周移位：将 有 限 长 序 列 x(n)以 长 度 N 为 周 期,延 拓 为 周 期 序 列,并 加 以 线 性 移 位 后,再 取 它 的 主 值 区 间 上 的 序 列 值,m 点 圆 周 移 位 记 作:其 中(.)N 表 示 N 点 周 期 延 拓.,(1)有 限 长 序 列 圆 周 移 位 的 实 现 步 骤,从图中两虚线之间的主值序列的移位情况可以看出，当主值序列左移m个样本时，从右边会同时移进m个样本，而且好像是刚向左边移出的那些样本又从右边循环移了进来。因此取名“循环移位”。显然，循环移位不同于线性移位,循环移位等同于圆周位移 由于我们取主值序列，即只观察

14、n=0到N-1这一主值区间，当某一抽样从此区间一端移出时，与它相同值的抽样又从此区间的另一端进来。如果把 排列一个N等分的圆周上，序列的移位就相当于 在圆上旋转，故称作圆周移位。当围着圆周观察几圈时，看到就是周期序列:。,(2)例子1,2,1,3,1,0.5,(1)周期延拓：N=5时,n,x(n),2,1,3,1,x(n),0.5,2,1,3,1,0.5,1,1,2,0.5,n,(2)周期延拓：N=6时，补零加长,2,1,3,1,x(n),0.5,2,1,3,1,0.5,1,1,2,3,n,3,(2)例子,2,1,3,1,0.5,n,x(n),(3)M=1时，左移(取主值),1,3,1,x(n

15、),0.5,2,(4)M=-2时，右移(取主值),2,1,3,1,n,x(n),0.5,n,3.卷 积,卷积在此我们主要介绍：(1)线性卷积(2)圆周卷积(3)圆周卷积与线性卷积的性质对比,(1)线性卷积,线 性 卷 积 定 义：有 限 长 序 列x1(n),0nN1-1;x2(n),0nN2-1则 线 性 卷 积 为 注意:线 性 卷 积 结 果 长 度 变 为 N1+N2-1.,(2)圆周卷积,令则圆 周 卷 积 结 果 长 度 不 变,为 N.,圆 周 卷 积 的 实 现 步 骤,例子线性卷积与圆周卷积步骤比较1,2,3,1,x(n),5,4,n,0,N1=5,2,1,3,h(n),n,

16、0,N2=3,线性卷积：圆周卷积：(N=7)补零加长,2,3,1,x(k),5,4,k,0,N1=5,2,3,1,x(k),5,4,0,N=7,k,例子线性卷积与圆周卷积步骤比较2,2,3,1,h(k),0,k,(2)线卷积无需周期延拓，而圆周卷积需进行周期延拓：,线卷积的反折：圆卷积的反折(并取主值区间）：,2,3,1,2,3,1,2,3,1,h(-k),k,0,2,3,1,h(-k),k,0,例子线性卷积与圆周卷积步骤比较3,(3)平移,2,3,1,h(1-k),k,0,2,3,1,h(1-k),k,0,（4）相乘x(k)h(-k)=51=5x(k)h(1-k)=5*2+4*1=14x(k

17、)h(2-k)=5*3+4*2+3*1=26,2,3,1,x(k),5,4,k,0,2,3,1,x(k),5,4,0,N=7,k,x(k)h(3-k)=4*3+3*2+2*1=20 x(k)h(4-k)=3*3+2*2+1*1=14x(k)h(5-k)=2*3+1*2=8x(k)h(6-k)=1*3=3,例子线性卷积与圆周卷积步骤比较4,(5)相加得到线性卷积的示意图,相加得到圆周卷积的示意图,14,26,5,n,y(n),20,14,8,3,0,14,26,5,n,y(n),20,14,8,3,0,可见,线性卷积与圆周卷积相同(当NN1(5)+N2(3)-1=7时),用图表求解圆卷积,x(k

18、)=5,4,3,2,1,h(n)=1,2,3,同上求N=7点的圆卷积。解：（1）将x(n)补零加长为x(k)=5,4,3,2,1,0,0,（2）将h(n)补零加长至N=7，并周期延拓，（3）反折得到:h(-k)=1,0,0,0,0,3,2（4）作图表,结果同上。,若圆周卷积取长度为N=5,则求圆周卷积,2,3,1,x(k),5,4,0,N=5,k,2,3,1,h(-k),k,0,求得圆周卷积x(k)h(-k)=5*1+2*3+1*2=13x(k)h(1-k)=5*2+4*1+1*3=17x(k)h(2-k)=5*3+4*2+3*1=26,x(k)h(3-k)=4*3+3*2+2*1=20 x(

19、k)h(4-k)=3*3+2*2+1*1=14看出圆卷积与线卷积不同.,17,13,26,y(n),n,0,20,14,用图表求解圆卷积,x(k)=5,4,3,2,1,h(n)=1,2,3,同上求N=5点的圆卷积。解：（1）x(n)无需补零加长x(k)=5,4,3,2,1,（2）将h(n)补零加长至N=5，并周期延拓，（3）反折得到:h(-k)=1,0,0,3,2（4）作图表,17,13,26,20,14,y(n),n,0,(3)圆 周 卷 积 与 线 性 卷 积 的 性 质 对 比,4.对称性质,对称分为：(1)序列的对称性(2)序列的对称分量,(1)序列的对称性,奇 对 称(序 列)和 偶

20、 对 称(序 列)圆 周 奇 对 称(序 列)和 圆 周 偶 对 称(序 列)共 轭 对 称(序列)和 共 轭 反 对 称(序 列)圆 周 共 轭 对 称(序列)和 圆 周 共 轭 反 对 称(序 列),a)奇 对 称(序 列)和 偶 对 称(序 列),称x(n)与-x(-n)互为奇对称。满足xo(n)=-xo(-n)的序列xo(n)称为奇对称序列。称x(n)与 x(-n)互 为 偶 对 称;满 足xe(n)=xe(-n)的 序 列 xe(n)称 为 偶 对 称 序 列,例子,0,xe(n),n,0,x(n),n,0,x(-n),n,互为偶对称,为偶对称序列,0,x(n),n,0,x(-n),

21、n,互为奇对称,0,xo(n),n,为奇对称序列,(b)圆 周 奇 对 称(序 列)和 圆 周 偶 对 称(序 列),长 度 为N的 有 限 长 序 列 x(n)与-x(-n)NRN(n)互 为 圆 周 奇 对 称.长 度 为 N 的 有 限 长 序 列xo(n),若 满 足 xo(n)=-xo(-n)NRN(n),则xo(n)是 圆 周 奇 对 称 序 列.长 度 为 N 的 有 限 长 序 列 x(n)与x(-n)NRN(n)互 为 圆 周 偶 对 称.长 度 为 N 的 有 限 长 序 列 xe(n),若 满 足 xe(n)=xe(-n)NRN(n)则 是 圆 周 偶 对 称 序 列.,

22、圆 周 偶 对 称(序 列),周期延拓,圆 周 奇 对 称(序 列),周期延拓,(c)共 轭 对 称(序列)和 共 轭 反 对 称(序 列),序 列 x(n)与 x*(-n)互 为 共 轭 对 称.共 轭 对 称 序 列 是 满 足xe(n)=x*e(-n)的 序 列 xe(n),对 于 实 序 列 来 说,这 一 条 件 变 成 xe(n)=xe(-n),即 为 偶 对 称 序 列.序列 x(n)与-x*(-n)互 为 共 轭 反 对 称.共 轭 反 对 称 序 列 是 满 足xo(n)=-x*o(-n)的 序 列,对 于 实 序 列 来 说,即 为 xo(n)=-xo(-n)奇 对 称 序

23、 列.,(d)圆 周 共 轭 对 称(序列)和 圆 周 共 轭 反 对 称(序 列),N 点 有 限 长 序 列 x(n)与x*(-n)NRN(n)互 为 圆 周 共 轭 对 称.圆 周 共 轭 对 称 序 列 是 满 足 xep(n)=xep*(-n)NRN(n)的 序 列 即 xep(n)的 模是 圆 周 偶 对 称,相 角是 圆 周 奇 对 称(或 说 实 部 圆 周 偶 对 称,虚 部 圆 周 奇 对 称).即把xep(n)看成分布在 N等分的圆上,在 n=0 的左半圆与右半 圆上,序列是共轭对称的。,圆 周 共 轭 对 称(序列)的例子,虚部,实部,实 部 圆 周 偶 对 称,虚 部

24、 圆 周 奇 对 称,圆 周 共 轭 反 对 称(序 列),圆 周 共 轭 反对 称 序 列 是 满 足 xop(n)=-xop*(-n)NRN(n)的 序 列 即 xop(n)的 模是 圆 周 奇 对 称,相 角是 圆 周 偶 对 称(或 说 实 部 圆 周 奇 对 称,虚 部 圆 周 偶 对 称).即把xop(n)看成分布在 N等分的圆上,在 n=0 的左半圆与右半 圆上,序列是共轭反对称的。,圆 周 共 轭 反 对 称(序 列)例子,实部,虚部,实 部 圆 周 偶 对 称,虚 部 圆 周 奇 对 称,(2)序列的对称分量,奇 对 称 分 量 和 偶 对 称 分 量圆 周 奇 对 称 分

25、量 和 圆 周 偶 对 称 分 量 共 轭 对 称 分 量 和 共 轭 反 对 称 分 量圆 周 共 轭 对 称 分 量 和 圆 周 共 轭 反 对 称 分 量,a)奇 对 称 分 量 和 偶 对 称 分 量,x(n)为任一序列(实 或 纯 虚 序 列),x(n)总能表示成一个奇对称序列 xo(n)和 一个偶对称序 列xe(n)之和,即x(n)=xo(n)+xe(n).其中,xo(n)奇对称序列称为x(n)的 奇 对 称 分 量;xe(n)偶 对 称 序 列 称 为 x(n)的 偶 对 称 分 量.,看出这样得到的xo(n)和xe(n)分 别 满 足 奇 对 称 和 偶 对 称 的 条 件,且

26、 二 者 之 和 为 x(n)。说明若 x(n)为 有 限 长 序 列 且0nN-1,则xo(n)与xe(n)的点 数 均 为(2N-1).区 别 于 奇 对 称(序列)和 偶 对 称(序列).,b)圆周奇对称分量和圆周偶对称分量,设 x(n)是 一 长 度 为 N 的 有 限 长 序 列,总 能 表 示 成 一 个 圆 周 奇 对 称 序 列xop(n)和 一 个 圆 周 偶 对 称 序 列xep(n)之 和，即x(n)=xep(n)+xop(n).其 中 xop(n)称 为 x(n)的 圆 周 奇 对 称 分 量;xep(n)称 为 x(n)的 圆 周 偶 对 称 分 量.看 出 满 足

27、圆 周 奇 对 称 和 圆 周 偶 对 称 的 条 件,且 二 者 之 和 为 x(n).,c)共轭对称分量和共轭反对称分量,任 一 序 列 x(n)总能表示成一个共轭对称序列 xo(n)和 一个共轭反对称序列xe(n)之和,即x(n)=xo(n)+xe(n).其中,xo(n)共轭反对称序列称为x(n)的 共轭反 对 称 分 量;xe(n)共轭对称序列称为 x(n)的 共轭 对 称 分 量.看出xo(n)和xe(n)分 别 满 足 奇 对 称 和 偶 对 称 的 条 件,且 二 者 之 和 为 x(n)。,d)圆 周 共 轭 对 称 分 量 和 圆 周 共 轭 反 对 称 分 量,设 x(n)

28、是 一 长 度 为 N 的 有 限 长 序 列,总 能 表 示 成 一 个 圆 周 共轭反 对 称 序 列xop(n)和 一 个 圆 周 共轭 对 称 序 列xep(n)之 和，即x(n)=xep(n)+xop(n).其 中 xop(n)称 为 x(n)的 圆 周共轭反 对 称 分 量;xep(n)称 为 x(n)的 圆 周 共轭 对 称 分 量.看 出 满 足 圆 周 奇 对 称 和 圆 周 偶 对 称 的 条 件,且 二 者 之 和 为 x(n).,4.相关,(1)线性相关(2)圆周相关,(1)线性相关,设有限长序列则线性相关定义为线性相关结果长度变成N1+N2-1,(2)圆周相关,设有限

29、长序列则x1(n)与x2(n)N点圆周相关定义为注：圆周相关结果长度不变为N。相关通信中很重要。,4.4 离散付里叶变换的性质,在由DFS引出DFT的过程中我们知道，DFT本质上是和周期序列的DFS概念紧密相关的，因而它们在性质上有着极大的相似，并由DFT隐含周期性（对应于DFS的显式周期性）所保证。假定x1(n）,x2(n)都是列长为N的有限序列，它们的离散付里叶变换分别为：X1(k)=DFTx1(n)X2(k)=DFTx2(n),1）线性,则x1(n),x2(n)的线性组合有：其中a,b为任一常数，本性质可由定义直接证明。证：,线性说明,如果x1(n)和x2(n)长度皆为N,即0nN-1范

30、围有值,则aX1(k)+bX2(k)的长 度也是N;若x1(n)和x2(n)长度不等,设x1(n)长度为N1,x2(n)长度为N2,则ax1(n)+bx2(n)的长度应为N=maxN1,N2,故DFT必须按长度N计算。若N1N2，则N=N2,那么需将x1(n)补上N2-N1个零值点后变成长度为N序列,然 后 都 作N点的 DFT.,(2)对称定理,若x(n)的离散傅里叶变换为X(k),则当时间序列具有频谱序列的形状x(n)时，对应的傅里叶变换对为：,(3)反转定理,若x(n)的离散傅里叶变换为X(k),则x(-n)的离散傅里叶变换为X(-k).,(4)序列的总和,列长为N的时间序列x(n)中各

31、取样值的总和等于其离散傅里叶变换X(k)在k=0时的值,(5)序列的初值,若序列的离散傅里叶变换为X(k),则对应的时间序列x(n)在n=0的值为频谱序列各取样值X(k)的总和除以N，,(6)延长序列的离散傅里叶变换,这意味着，g(n)的频谱G(k)与x(n)的频谱X(k)是相对应的，只不过G(k)的频谱间隔比X(k)的频谱间隔降低k/r。即若把序列x(n)填充零值而人为的加长再进行离散傅里叶变换，可以得到频谱更加细致。若增加的长度并非N的整数倍，得到离散傅里叶变换G(k)的谱线比X(k)多。,（7）时移,设N点有限长序列x(n)DFTx(n)=X(k)则 DFTx(n+m)NRN(n)=WN

32、-mkX(k)说明：（1）本性质描述了有限长序列时域移位后频域的变化规律.（2）只有采用圆周移位这一能体现 DFT的隐 含 周 期 性 的 移 位 方 式,才 能 得 到 本 性 质 所 描 述 的 结 果.,时移证明,证：,时移复习（平移）,（8）频移,设频域N点，有限长序列X(k)则,本 性 质 与 时 域 移 位 性 质 成 对 偶 关 系.本 性 质 又 称 调 制 特 性,时 域 的 调 制 等 效 于 频 域 移 位.注 意 是 圆 周 移 位.由 此 性 质 可 得 出时域、频域调制的两 个 公 式。,频移应用：时域调制公式,时域调制频域移位,（9）圆 周 卷 积 定 理,时域卷

33、积-频域相乘频域卷积-时域相乘,时 域 卷 积 对 应 于 频 域 相 乘,而 时 域 相 乘 对 应 于 频 域 卷 积.这 与 我 们 曾 学 过 的 其 他 变 换（FT/L/Z)的 卷 积 定 理 是 相 似 的.但 注 意,由 于 DFT 隐 含 的 周 期 性,卷 积 必 须 是 圆 周 卷 积 才 有 此 性 质.注 意 第 二 个 关 系 中 的 系 数,不 要 忽 略。,线卷积和圆卷积步骤比较,线卷积：反折、平移、相乘、积分（或相加）圆卷积：反折、周期化、平移、相乘、相加,（10）圆 周 相 关 定 理,设x1(n)对x2(n)的互相关系数为RN1N2(m),则有：请 不 要

34、 弄 错 关 系 式 中x1(n)，x2(n)及X1(k),X2(k)的顺序.相 关 定 理 不 满 足 交 换 律,这 点 和 卷 积 定 理 不 同!有限长序列的相关运算可分为圆相关（循环相关)与线相关两种形式，通常可借助于圆相关求线相关。,（复习)卷积,离散线卷积：离散圆卷积：离散线相关：离散圆相关：卷积与相关不同：y是共轭且y中为n-m,卷积与次序无关而相关与次序有关。,(12)对 称 性 质,DFT 的 对称性质较为复杂,归为以下三类:1.共轭与圆周共轭对称在时频域的对应关系;2.实(虚)部与圆周共轭对称(反对称)分量在时 频域的对应关系;3.时域为实序列时对应DFT特征;在以上对称

35、性质的基础上,可归纳总结出 x(n)与X(k)的奇、偶、虚、实关系,利用这 些关系,可减少计算DFT时的运算量。,1.共轭与圆周共轭对称在时频域 的 对 应 关 系,设 x(n)为 N 点 有 限 长 序 列,0nN-1则有：如下关系1，关系2 和关系3.,（1）关系1,时 域 x(n)取 共 轭,对 应 于 频 域 X(k)取 圆 周 共 轭 对 称.若 x(n)本 身 是 实 序 列,对 应 于 频 域 X(k)就 是 圆 周 共 轭 对 称 序 列;反 之 亦 然.,原序列,序列共轭,频域圆周共轭,原序列为实序列，其频域为圆周共轭对称序列,证明,（2）关系2,时 域 x(n)取 圆 周

36、偶 对 称,对 应 于 频 域 X(k)也 取 圆 周 偶 对 称.若 x(n)本 身 是 圆 周 偶 对 称 序 列,对 应 频 域 X(k)也 是 圆 周 偶 对 称 序 列;反 之 亦 然.,证明,解释：设有限长N序列为y(n)=ye(n)+xo(n)已知时 域 x(n)=ye(n)取圆周偶对称,则有：对 应 于 频 域 X(k)也 取 圆 周 偶 对 称.如果y(n)是圆周偶对称序列，即只有ye(n)分量，则X(k)当然也是圆周偶对称序列。,（3）关系3,此 关 系 与 关 系1成 对 偶关系.频 域 X(k)取 共 轭,对 应 于 时 域 x(n)取 圆 周 共 轭 对 称.若 X(

37、k)是 实 序 列,则 对 应 时 域 x(n)是 圆 周 共 轭 对 称 序 列;反 之 亦 然.,原序列,序列时域圆周共轭对称,序列频域共轭对称,原序列为实序列，其频域为圆周共轭对称序列,序列取圆周偶对称，其频域为圆周偶对称序列,返回,2.实(虚)部与圆周共轭对称(反对称)分量 在 时 频 域 的 对 应关系,设x(n)为N点有限长序列0nN-1则有关系1，关系2，关系3：,关系1,时 域 x(n)取 实 部,对 应 频 域 取 X(k)的 圆 周 共 轭 对 称 分 量.若 x(n)本 身 是 实 序 列,那 么 由 于因 而 对 应 频 域 X(k)是 圆 周 共 轭 对 称 序 列;

38、反 之 亦 然.,关系2,时 域 x(n)取 虚 部 并 加 权 j,对 应 频 域 取 X(k)的 圆 周 共 轭 反 对 称 分 量.若x(n)本身是纯虚序列,那么X(k),关系3,说明：（1）对时域x(n)取圆周共轭对称分量(xep(n),即对频域X(k)取实部；对时域x(n)取圆周共轭反对称分量(xop(n),即对频域X(k)取虚部加权j；若X(k)本身是实序列，则时域x(n)是圆周共轭对称序列；若X(k)本身是纯虚序列，则时域x(n)是圆周共轭反对称序列；反之亦然。返回,3.时域是实序列时对应DFT特征,设x(n)为长度为N的有限长实序列,0 nN-1,DFTx(n)=X(k)有以下

39、几个特征：（5个）,（1）特征1,X(k)=X*(N-k)NRN(k)说明：（1）x(n)的DFT，即X(k)是圆周共轭对称序列。（2）是实（虚）部与圆周共轭对称（反对称）分量在时域、频域的对应关系。,（2）特征2,ReX(k)=ReX(N-k)NRN(k)说明：X(k)的实部是圆周偶对称序列。,（3）特征3,ImX(k)=-ImX(N-k)NRN(k)说明：X(k)的虚部是圆周奇对称序列。,（4）特征4,|X(k)|=|X(N-k)N|RN(k)说明：X(k)的模是圆周偶对称序列。,（5）特征5,argX(k)=-argX(N-k)NRN(k)说明：X(k)的相角是圆周奇对称序列。,返回,4

40、.序列及其DFT的奇偶虚实关系,由上对称性质基础上，可归纳总结出x(n)与X(k)的奇、偶；虚、实关系，利用这些关系，可以减少计算DFT的运算量。下面总结归纳出有限长序列及其DFT的奇、偶；虚、实关系。这一关系清晰地展示了时域序列的奇、偶；虚、实特性与频域序列的奇、偶；虚、实特性是如何对应的。,(1)奇、偶；虚、实的含义,所 谓 奇,偶,虚,实 的 含 义 如 下:奇-指 序 列 是 圆 周 奇 对 称 序 列 偶-指 序 列 是 圆 周 偶 对 称 序 列虚-指 序 列 是 纯 虚 序 列实-指 序 列 是 实 序 列,(2)奇偶虚实关系表,六、DFT形式下的帕塞瓦尔定理（Parsevals

41、 Theorem),说明：（1）这是DFT形式下的帕塞瓦尔定理(Parsevals,Theorem)(2)只需令y(n)=x(n),再两边取模，便得到明确物理意义的能量计算公式。,证明Parseval定理,七、DFT性质一览表1,七、DFT性质一览表2,4.5 频率抽样理论,时域抽样定理 奈奎斯特抽样定理：要想抽样后能够不失真的还原出原信号，则抽样频率必须大于两倍信号谱的最高频率。即 或抽样内插公式即由信号的抽样值xa(mT)经此公式而得到连续信号xa(t).,主要内容：（1）z变换与DFT的关系（抽样z变换），在此基础上引出抽样z变换的概念，并进一步深入讨论频域抽样不失真条件。（2）频域抽样

42、理论（频域抽样不失真条件）（3)频域内插公式,一、z变换与DFT关系（1）引入,连续傅里叶变换引出离散傅里叶变换定义式。离散傅里叶变换看作是序列的傅里叶变换在 频 域 再 抽 样 后 的 变 换 对.在Z变换与L变换中,又可了解到序列的傅里叶 变换就是单位圆上的Z 变 换.所以对序列的傅里叶变换进行频域抽样时,自 然可以看作是对单位圆上的 Z变换进行抽样.,(2)推 导,Z 变 换 的 定 义 式(正 变 换)重 写 如 下:取z=ejw 代 入 定 义 式,得 到 单 位 圆 上 Z 变 换 为w是 单 位 圆 上 各 点 的 数 字 角 频 率.再 进 行 抽 样-N 等 分.这 样w=2

43、k/N,即w值为0,2/N,4/N,6/N,考虑到x(n)是N点有限长序列,因而n只需0N-1即可。将w=2k/N代入并改变上下限,得 则这正是离散傅里叶变换(DFT)正变换定义式.,(3)结论1,从 以 上 推 导 中 可 看 出,有 限 长 序 列 x(n)的 离 散 傅 里 叶 变 换 X(k)序 列 的 各 点 值 等 于 对 x(n)进 行 Z 变 换 后 在 单 位 圆 上 N 等 分 抽 样 的 各 点 处 所 得 的 Z 变 换 值,即 这 就 是 Z 变 换 与 DFT 的 关 系.,(4)结论2,有限长序列补零加长 N增加,求其DFT。发现频 谱包络不变,只是抽样点更密.原

44、因:即N补零加长并不改变有限长序列本身,因而其 Z变换不变,而只是增加了N值。根 据 每个 X(k)仍 等 于X0(ejw)这 一 包 络.由于0kN-1,X(k)值的个数增加了,谱线变密.,二、频率抽样理论（频域抽样不失真条件）（1）问题引入,由 Z 变 换 与 DFT 的 关 系,知 道：x(n)的 离 散 傅 里 叶 变 换 X(k)序 列 值 和 x(n)的 Z 变 换 在 单 位 圆 N 个 等 分 点 上 的 抽 样 值 相 等,这 就 是 说 实 现 了 频 域 的 抽 样。便 于 计 算 机 计 算而提出的.是否任何一序列(或说任何一个频率特性)都能用频域抽样的办法去逼近呢?其

45、 限 制 条 件 是 什 么?,（2）分析,将x(n)的频域函数X(ejw)，按每周期 N点抽样，得到一周期序列,再反变换回时域,得到变换结果,是一周期延拓的序列,且与原序列x(n)有如下关系即 频 域 按 每 周 期 N 点 抽 样,时 域 便 按 N 点 周 期 延 拓.此结果符合频域抽样,时域周期延拓的说法.,（3）结论,长度为M的有限长序列,频域抽样不失真的条件：频域抽样点数N要大于或等于序列长度M,即满足NM.此时可得到 表明长度为N(或小于N)的有限长序列可用它的z变换在单位圆上的N个均分点上的抽样值精确地表示.,（4）抽样后序列能否无失真恢复原时域信号,（5）注意点,DFT 变

46、换 对 的 一 一 对 应 关 系 也 是 由 此 而 得 到 保 证 的.实 际 上,在 我 们 从 连 续 傅 里 叶 变 换 引 出 DFT 时,也 只 有 按 此 条 件 对 频 域 进 行 抽 样,才 能 在 最 后 正 确 导 出 DFT 变 换 对 定 义式.,（6）例子-1,频域抽样：看一个矩形序列，频域抽样是指对时域已是离散，频域仍是连续信号。现在频域上进行抽样处理，使其频域也离散化。,（6）例子-2,解：频域抽样，按N=5点，频域抽样，时域延拓相加,时域延拓的周期个数等于频域的抽样点数N=5，由于N=M，所以时域延拓恰好无混叠现象。,（6）例子-3,按N=4时进行抽样，由于

47、N=4，而序列长度为M=5，NM,时域延拓后产生混叠现象。（原信号为红色，延拓取主值区间后的恢复信号为兰色。）,三、频域内插公式,从 频 域 抽 样 不 失 真 条 件 可 以 知 道：N 个 频 域 抽 样 X(k)能 不 失 真 地 还 原 出 长 度 为 N 的 有 限 长 序 列 x(n)。那 么 用 N 个 X(k)也 一 定 能 完 整 地 表 示 出 X(z)以 及 频 率 响 应 即 单 位 圆 上 的 X(z).过 程 很 简 单,先 把 N 个 X(k)作 IDFT 得 到 x(n),再 把 x(n)作 Z 变 换 便 得 到 X(z).,（1）内插公式,（2）内插函数,1

48、.由X(k)恢复X(Z)序列x(n),（0nN-1）的Z变换为由于，所以（下页！）,由X(k)表达 X(Z)与 的问题内插公式,上式就是由X(k)恢复X(Z)的内插公式,其中,称作内插函数。,2.内插函数的特性 将内插函数写成如下式:,令分子为零,得；所以有N个零点。令分母为零,得 为 一阶极点,Z=0为(N-1)阶极点。但是极点 与一零点相消。这样只有(N-1)个零点,抽样点 称作本抽样点。因此说,内插函数仅在本抽样点处不 为零,其他(N-1)个抽样点均为零。,（3）.频率响应 单位圆上的Z变换即为频响,代入,（4）.内插函数的频率特性,可见,既是 的函数又是k的函数,其可表示为 当k=0时

49、,则有,时,时,，所以,当N=5时,的幅度特性 和相位 特性 如下图：,其中，,N=5,由于i与k均为整数,所以i k 时 这就是说,内插函数在本抽样点 上,而在其他抽样点上,（5）.与X(k)的关系 由于 的特性可知,在每个抽 样点上其值为1,故 就精确等于X(k)。即,而在抽样点之间,等于加权的内插函数值 叠加而得。,总结,从 公 式 中看 出:在 每 个 抽 样 点 上X(ejw)就 精 确 地 等 于 X(k)(因 为 其 他 的 内 插 函 数 在 这 一 点 上 的 值 为 零,无 影 响),即各 抽 样 点 之 间 的X(ejw)值,则 由 各 抽 样 点 的 加 权 内 插 函

50、 数 在 所 求 点 上 的 值 的 叠 加 而 得到.频 率 响 应 的 内 插 函 数 具 有 线 性 相 位.,4.6 DFT的应用,一、引言,FT及FFT在数字滤波、功率谱分析、仿真、系统分析、通讯理论方面有广泛的应用。归 结 起 来,有两个大方面,一是计算线性卷积、线性相关；二是用 DFT(FFT)作为连续傅里叶变换 的近似.FFT并不是什么新的变换,只是DFT在计算机上的 一 种高速算法，虽实际 中广泛使用的是 FFT,但 其应用的理论基础仍是 DFT.通过考察计算线性卷积(相关)和连续傅里叶逼近这两种DFT应用,就可以说我们建立了一 般 FFT 应用的基本理论基础.,二、应用方面