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1、第二节 离散型随机变量及其分布函数,离散型随机变量及其概率分布 常用离散分布 二项分布的泊松近似 例题选讲：,一、离散型随机变量及其概率分布,定义 设离散型随机变量 的所有可能取值为,称 为 的概率分布或分布律,也称概率函数.常用表格形式来表示 的概率分布:,二、常用离散分布,退化分布 两点分布 个点上的均匀分布 二项分布 几何分布 超几何分布 泊松分布：泊松分布是概率论中最重要的几个分布之一.实际问题中许多随机现象都服从或近似服从泊松分布.,三、二项分布的泊松近似,定理1(泊松定理)在 重伯努利试验中,事件 在每次试验中发生的概率为(注意这与试验的次数 有关),如果 时,(为常数),则对任意
2、给定的,有.,例题选讲：,离散型随机变量及其概率分布 例1(讲义例1)某篮球运动员投中篮圈的概率是0.9,求他两次独立投篮投中次数 的概率分布.解 可取0,1,2为值,且于是,的概率分布可表示为,例2 设随机变量 的概率分布为:.试确定常数.解依据概率分布的性质：欲使上述函数为概率分布应有 从中解得 注:这里用到了常见的幂级数展开式,两点分布 例3(讲义例2)200件产品中,有196件是正品,4件是次品,今从中随机地抽取一件,若规定 则 于是,服从参数为0.98的两点分布.,二项分布 例4(讲义例3)已知100个产品中有5个次品,现从中有放回地取3次,每次任取1个,求在所取的3个中恰有2个次品
3、的概率.解因为这是有放回地取3次,因此这3次试验的条件完全相同且独立,它是伯努利试验,依题意,每次试验取到次品的概率为0.05.设 为所取的3个中的次品数,则 于是,所求概率为:,注:若将本例中的“有放回”改为“无放回”,那么各次试验条件就不同了,已不是伯努利概型,此时,只能用古典概型求解.,例5(讲义例4)某人进行射击,设每次射击的命中率为0.02,独立射击400次,试求至少击中两次的概率.解将一次射击看成是一次试验.设击中的次数为,则 的分布律为 于是所求概率为,例6 设有80台同类型设备,各台工作是相互独立的,发生故障的概率都是0.01,且一台设备的故障能由一个人处理.考虑两种配备维修工
4、人的方法,其一是由4人维护,每人负责20台;其二是由3人共同维护80台.试比较这两种方法在设备发生故障时不能及时维修的概率的大小.,解按第一种方法.以 记“第1人维护的20台中同一时刻发生故障的台数”,以 表示“第人维护的20台中发生故障不能及时维修”,则知80台中发生故障不能及时维修的概率为 而 故有 即,按第二种方法.以 记80台中同一时刻发生故障的台数.此时 故80台中发生故障而不能及时维修的概率为 结果表明,在后一种情况尽管任务重了(每人平均维护约27台),但工作效率不仅没有降低,反而提高了.,例7 某射手连续向一目标射击,直到命中为止,已知他每发命中的概率是,求所需射击发数 的概率分
5、布.解显然,可能取的值是 为计算 设 第 发命中,则 可见所求需射击发数的概率分布为,泊松分布 例8(讲义例5)某一城市每天发生火灾的次数X服从参数 的泊松分布,求该城市一天内发生3次或3次以上火灾的概率.解由概率的性质,得,二项分布的泊松近似 例9(讲义例6)某公司生产的一种产品300件.根据历史生产记录知废品率为0.01.问现在这300件产品经检验废品数大于5的概率是多少?,解把每件产品的检验看作一次伯努利试验,它有两个结果:正品,废品.检验300件产品就是作300次独立的伯努利试验.用 表示检验出的废品数,则 我们要计算 对 有 于是,得 查泊松分布表,得,例10(讲义例7)一家商店采用
6、科学管理,由该商店过去的销售记录知道,某种商品每月的销售数可以用参数的泊松分布来描述,为了以95%以上的把握保证不脱销,问商店在月底至少应进某种商品多少件?解设该商品每月的销售数为 已知 服从参数 的泊松分布.设商店在月底应进该种商品 件,求满足 的最小的 即 查泊松分布表,得 于是得 件.,例11 自1875年至1955年中的某63年间,上海市夏季(59月)共发生大暴雨180次,试建立上海市夏季暴雨发生次数的概率分布模型.解每年夏季共有 天,每次暴雨发生以1天计算,则夏季每天发生暴雨的概率 将暴雨发生看做稀有事件,利用泊松分布来建立上海市一个夏季暴雨发生 次的概率分布模型.,设 表示夏季发生暴雨的次数,由于 故得上海市暴雨发生次数的概率分布模型为 由上述 的概率分布计算63年中上海市夏季发生 次暴雨的理论年数 并将它与资料记载的实际年数作对照,这些值及 的值均列入下表.,课堂练习,
