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1、2.4 稳定球面腔中的模结构,方形镜共焦腔与圆形镜共焦腔的自再现模一般稳定球面腔的模式特征,方形镜共焦腔与圆形镜共焦腔的自再现模,方形镜共焦腔模式积分方程的精确解析解是长椭球函数（本征函数角向/本征值径向）；圆形镜共焦腔模式积分方程的精确解析解是超椭球函数在xa，ya的区域内，即在共焦反射镜面中心附近，角向长椭球函数可以表示为厄米特多项式和高斯函数的乘积当腔的菲涅耳数N（a2/L）时，圆形镜共焦腔自再现模可用拉盖尔-高斯函数描述知道了镜面上的场以后，如何求出共焦腔中任一点的场？,利用菲涅耳基尔霍夫衍射积分,The Hermite-Gaussian or Laguerre-Gaussian mo
2、de are exact and yet mathematically convenient solutions to the paraxial wave equation in free space.They also provide very close(though not quite exact)approximations for the transverse eigenmodes of stable laser resonators with finite diameter mirrors.,对称共焦腔基模在镜面上的分布高阶横模（强度花样）相位分布单程损耗单程相移和谐振频率,一、镜
3、面上场的振幅和相位分布,1、对称共焦腔基模在镜面上的分布为,基模在镜面上的分布是高斯型的,什么 函数？,在离中心的距离为 处场的振幅降落为中心处的1/e，通常就用半径 的圆来规定基模光斑的大小，并定义 为共焦腔基模在镜面上的光斑尺寸或光斑半径。共焦腔基模在镜面上的光斑大小与镜的横向几何尺寸无关，只决定于腔长。举例。,共焦腔模的场主要集中在镜面中心附近。,2、高阶横模方形镜的,TEMmn模在镜面上振幅分布的特点取决于厄米特多项式与高斯分布函数的乘积，厄米特多项式的零点决定场的节线，厄米特多项式的正负交替的变化与高斯函数随着x、y的增大而单调下降的特性决定着场分布的外形轮廓。m阶厄米特多项式有m个
4、零点，TEMmn模沿x方向有m条节线，沿y方向有n条节线。(P55),对厄米特高斯函数，高阶横模的光斑尺寸定义为其坐标均方差的四倍高阶横模与基模光斑尺寸之比为,圆形镜共焦腔的自再现模为拉盖尔高斯函数所描述，镜面上用极坐标（r,）表示。基模在镜面上的振幅分布是高斯型的，整个镜面上没有场的节线。对高阶横模，镜面上出现节线。TEMmn模沿辐角（）方向的节线数目为m，沿径向（r方向）的节线圆数为n，各节线圆沿r方向不是等距分布的。(P63)高阶横模的光斑半径mns定义为场振幅降落到最外面一个极大值的1/e的点与镜面中心的距离。,高阶横模圆形镜的,3、相位分布,镜面上场的相位分布由自再现模 或 的辐角决
5、定。与 均为实函数，表明镜面上各点场的相位相同，共焦腔反射镜本身构成场的一个等相位面，无论对基模或高阶横模，情况都是一样。,4、单程损耗,共焦腔自再现模TEMmn的单程功率损耗绘出损耗mn作为菲涅耳数N的函数，进行查表在同一菲涅耳数下，不同横模的衍射损耗各不相同，损耗随着模的阶次的增高而增大由于衍射损耗通常很小，平均单程衍射损耗因子近似等于mn（单程百分数衍射损耗率）,5、单程相移和谐振频率,共焦腔TEMmn模在腔内一次渡越的总相移为,方形镜：,圆形镜：,方形镜：,各阶横模的谐振频率（P57-58）属于同一横模的相邻两个纵模之间的频率间隔为,共焦腔模在频率上是高度简并的，（2q+m+n）相同的
6、所有模式都具有相同的谐振频率由于不同的横模具有不同的损耗，在频率上简并的模在损耗上一般并不是简并的,各阶横模的谐振频率属于同一横模的相邻两个纵模之间的频率间隔为,圆形镜：,振幅分布和光斑尺寸模体积等相位面的分布远场发散角,二、共焦腔行波场（共焦场）的特征,Emn(x,y,z)表示TEMmn模在腔内任意点(x,y,z)处的电场强度。是由腔的一个镜面上的场所产生的、并沿着腔的轴线而传播的行波场。,共焦场基模的振幅在横截面内的分布由高斯函数所描述定义在振幅的1/e处的基模光斑尺寸(spot size)为,0s镜面上基模的光斑半径,一、振幅分布和光斑尺寸,腔中不同位置处的光斑大小各不相同。在共焦腔镜面
7、上，此时在共焦腔的中心z=0处，(z)达到极小值共焦场中基模光斑的大小随着坐标z按双曲线(hyperbolic)规律变化,高斯光束的基模腰斑半径(waist spot size),The parameter(z)is the distance r at which the field amplitude is down by a factor 1/e compared to its value on the axis.We will consequently refer to it as the beam“spot size”.The parameter 0 is the minimum sp
8、ot size.It is the beam spot size at the plane z=0.These hyperbolas are normal to the phase fronts and thus correspond to the local direction of energy flow.The hyperboloid is the locus of the points where the exponential factor in the field amplitude is down to e-1 from its value on the axis.The qua
9、ntity(z)is thus defined as the mode spot size at the plane z.,In particular,the distance which the beam travels from the waist before the beam diameter increases by,or before the beam area doubles,is given simply by the parameter f,called Rayleigh range.The Rayleigh range marks the approximate divid
10、ing line between the“near-field”or Fresnel and the“far-field”of Fraunhofer regions for a beam propagating out from a gaussian waist.,模体积：某一模式的模体积描述该模式在腔内所扩展的空间范围。模体积大，对该模式的振荡有贡献的激发态粒子数就多，因而，也就可能获得大的输出功率。基模往往集中在腔的轴线附近，模的阶次越高，展布的范围越宽估计共焦腔基模的模体积,二、模体积,在腔的轴线附近，共焦场的等相位面近似为球面，与腔的轴线在z0点相交的等相位面的曲率半径为(radius
11、 of curvature of the wavefronts)等相位面是凹面向着腔的中心的球面，其曲率半径随坐标而变化，当z0=f=L/2时，R(z0)=2f=L，共焦腔反射镜面本身与场的两个等相位面重合；当z0=0时，R(z0)；z0 时，R(z0)。共焦腔反射镜面是共焦场中曲率最大的等相位面。,三、等相位面的分布,在场的任意一个等相位面处放置一块具有相应曲率半径的反射镜片，则入射在该镜片上的场将准确地沿着原入射方向返回，共焦场分布将不会受到扰动Given a beam of the type we can form an optical resonator merely by inser
12、ting at points z1 and z2 two reflectors with radii of curvature that match those of the propagation beam spherical phase fronts at these points.Since the surfaces are normal to the direction of energy propagation,the reflected beam retraces itself;thus,if the phase shift between the mirrors is some
13、multiple of 2 radians,a self-reproducing stable field configuration results.,四、远场发散角,远场发散角：定义为两根渐近线之间的夹角。包含在发散角0内的功率占高斯基模光束总功率的86.5%。More reasonable definition for the far-field beam angle is to use the 1/e or 86%criterion for the beam diameter,so that the far field half-angular spread is defined by
14、 the width corresponding to the 1/e point for the E field amplitude at large z.,full angular spread,对圆形镜共焦场行波特性的分析可按与方形镜同样的方法进行圆形镜与方形镜的基模光束的振幅分布、光斑尺寸、等相位面的曲率半径及光束发散角都完全相同。,一般稳定球面腔的模式特征(P65-70),共焦腔模式理论可以推广到整个稳定球面腔系统任意一个共焦腔与无穷多个稳定球面腔等价 任一满足稳定性条件的球面腔唯一地等价于某一共焦腔“等价”指具有相同的行波场。这种等价性深刻地揭示出各种稳定腔（共焦腔也是其中之一）之
15、间的内在联系，使得可以利用共焦腔模式理论的研究结果来解析地表述一般稳定球面腔模的特征,任意一个共焦腔与无穷多个稳定球面腔等价 思路：任一个共焦腔模有无穷多个等相位面，可构成无穷多个等价球面腔证明所有这些球面腔都是稳定腔任一满足稳定性条件的球面腔唯一地等价于某一共焦腔思路：由稳定球面腔的腔参数（R1、R2、L）可以唯一地解出一组数（z1、z2、f2），从而唯一地确定等价共焦腔,只有当所讨论的稳定腔的孔径足够大，腔中的场集中在轴线附近时，本节的结论才是正确的,当z1、z2、f2求出后，等价共焦腔就唯一地确定了。,Taking the mirror spacing as L=z2-z1,where
16、z2 is to the right of z1.,将一般稳定球面腔的模式特征借助于其等价共焦腔行波场的特性而解析地表示出来镜面上的光斑尺寸s1、s2 由（R1、R2、L）求出唯一一组（z1、z2、f）后，代入式模体积,等价性是以共焦腔等相位面的分布规律为依据的,方形孔径,等相位面的分布R(z1)=R1、R(z2)=R2谐振频率基模远场发散角,方形镜,圆形镜,衍射损耗,共焦腔的模式理论证明：每一个横模的单程衍射损耗单值地由腔的菲涅耳数 决定对稳定球面腔以及与它等价的共焦腔而言，由于它们的行波场结构完全相同，而且反射镜面都构成场的等相位面，因此，它们的衍射损耗应该遵从相同的规律。定义稳定球面腔的有效菲涅耳数对一般稳定球面腔，每一个反射镜对应着一个有效菲涅耳数，然后按共焦腔的单程衍射损耗曲线查得一般稳定球面腔的损耗值,end,
