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4.7 单叶双曲面与双曲抛物面的直母线,一、直纹曲面的概念,柱面和锥面都是直纹曲面；,椭球面不是直纹曲面；,定义 由一族直线所生成的曲面叫做直纹曲面(ruled surface)，生成曲面的那族直线叫做该曲面的一族直母线.,椭圆抛物面不是直纹曲面.,平面是直纹曲面；,双叶双曲面不是直纹曲面；,例求直线 绕直线 旋转所得的旋转曲面的方程.,单叶旋转双曲面,单叶双曲面,二、单叶双曲面是直纹曲面,如果曲面 S 上存在一族直线，,(2)直线族中的每条直线都在曲面 S 上.,(1)曲面 S 上的每个点必定在这个族中的某一条直线上;,分析:,推论1 对于单叶双曲面上的点，两族直母线中各有一条直母线通过这点.,三、双曲抛物面是直纹曲面,双曲抛物面,四、单叶双曲面与双曲抛物面的性质,定理4.7.1 单叶双曲面上异族的任意两直母线必共面，而双曲抛物面上异族的任意两直母线必相交.,定理4.7.2 单叶双曲面或双曲抛物面上同族的任意两直母线总是异面直线，而且双曲抛物面同族的全体直母线平行于同一平面.,例1 求过单叶双曲面 上的点 的直母线的方程.,分析:,将（6，2，8）代入上述直母线族方程，,求得 w,u,t,v.,例2 试证明双曲抛物面 上的两直母线直交时，其交点必在一双曲线上.,例3 已知空间两异面直线间的距离为，夹角为，过这两直线分别作平面，并使这两平面相互垂直，求这样的两平面交线的轨迹.,
