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1、新课标高中一轮总复习,第六单元不等式及不等式选讲,第44讲,简单的线性规划问题,1.理解线性约束条件、线性目标函数、线性规划的概念；2.掌握在线性约束条件下求线性目标函数的最优解；3.了解线性规划问题的图解法；4.掌握应用简单的线性规划解决生产实际中资源配置和降低资源消耗等问题，培养建立数学模型的能力.,x-3y+60 x-y+20表示的平面区域是(),1.不等式组,B,2.若双曲线x2-y2=4的两条渐近线与直线x=3围成一个三角形区域，则表示该区域的不等式组是（）,A,x-y0 x-y0 x+y0 x+y00 x3 0 x3x-y0 x-y0 x+y0 x+y00 x3 0 x3,A.,C
2、.,B.,D.,因为x2-y2=4的两条渐近线为y=x,如图为所围成的区域，故选A.,x-y-1 x+y4 y2,则目标函数z=2x+4y的最大值为(),3.设变量x、y满足约束条件,C,A.10 B.12C.13 D.14,作出可行域，如图中阴影部分，再作出目标函数的等值线，如图中虚线.由图可知，等值线经过点A(,)时，目标函数取得最大值13.,x1 x-y+10 2x-y-20，则x2+y2的最小值是.,4.已知实数x、y满足,5,x-y+1=0 x=1，得最优解为A(1,2)，所以x2+y2的最小值为5.,作出可行域，由,5.不等式|x-1|+|y-1|2表示的平面区域的面积是.,8,|
3、x-1|+|y-1|2可化为 x-10 x-10 x-10 y-10 y-10 y-10 x+y-40 x-y-20 x-y+20,或,或,x-10 y-10 x+y0.其平面区域如图：所以面积S=42=8.,或,1.二元一次不等式（组）表示的平面区域(1)一般的，二元一次不等式Ax+By+C0在平面直角坐标系中表示直线Ax+By+C=0某一侧的所有点组成的平面区域（半平面）不含边界线；不等式Ax+By+C0所表示的平面区域(半平面)包括边界线.,(2)判定不等式Ax+By+C0(或Ax+By+C0)所表示的平面区域时，只要在直线Ax+By+C=0的一侧任意取一点(x0,y0),将它的坐标代入
4、不等式，如果该点的坐标满足不等式,不等式就表示 的平面区域；如果不满足不等式，就表示这个点所在区域的 平面区域.(3)由几个不等式组成的不等式组表示的平面区域是各个不等式所表示的平面区域的公共部分.,该点所在一侧,另一侧,2.线性规划求线性目标函数在线性约束条件下的最大值或最小值的问题，统称为线性规划问题.满足线性约束条件的解(x,y)叫做,由所有可行解组成的集合叫；使目标函数取最大值或最小值的可行解叫做，生产实际中有许多问题都可以归结为线性规划问题.,可行解,可行域,最优解,线性规划问题一般用图解法,其步骤如下：(1)根据题意，设出变量x、y;(2)找出线性约束条件；(3)确定线性目标函数z
5、=f(x,y);(4)画出可行域（即各约束条件所示区域的公共区域）；(5)利用线性目标函数作平行直线f(x,y)=t(t为参数)；(6)观察图形，找到直线f(x,y)=t在可行域上使t取得欲求最值的位置，以确定最优解，给出答案.,题型一 平面区域的确定,例1,在坐标平面上，不等式组yx-1y-3|x|+1所表示的平面区域的面积为(),A.B.C.D.2,B,在平面直角坐标系，作出不等式组所表示的平面区域，如图中的阴影部分，可求得A(,-),B(-1,-2),C(0,1),D(0,-1).所以SABC=SCDB+SCDA=|CD|xB|+CD|xA|=.故选B.,作出平面区域，并分析其构成，是准
6、确求出阴影部分面积的关键.,题型二 简单线性规划问题,例2,非负实数x,y满足不等式2x+y-40 x+y-30，则x+3y的最大值为.,在平面直角坐标系中作出不等式组表示的平面区域，如图.令z=x+3y,则y=-x+，当直线过点A(0,3)时，z的值最大，zmax=0+33=9,故x+3y的最大值为9.,9,求线性目标函数在线性约束条件下的最值是一类最基本题型，也是高考命题的重点.这类问题可以借助图形直观地得到答案.,x-y-20 x+2y-40 2y-30,则 的最大值是.,设实数x、y满足,不等式组确定的平面区域如图阴影部分.,设=t，则y=tx,求 的最大值，即求y=tx的斜率的最大值
7、.显然y=tx过A点时，t最大.x+2y-4=0 2y-3=0代入y=tx,得t=.所以 的最大值为.,由,，解得A(1,).,本题是将非线性规划问题，转化为线性规划问题求解，体现了数形结合和化归思想的运用.这种题型在今后高考中可能会成为主要命题方向，望引起同学们的关注.,题型三 简单线性规划的应用,例3,制定投资计划时，不仅要考虑可能获得的利润，而且要考虑可能出现的亏损，某投资人打算投资甲、乙两个项目，根据预测，甲、乙项目可能的最大盈利率分别为100%和50%，可能的最大亏损分别为30%和10%，投资人计划投资金额不超过10万元，要求确保可能的资金亏损不超过1.8万元，问投资人对甲、乙两个项
8、目各投资多少万元，才能使可能的盈利最大？,设投资人分别用x万元、y万元投资甲、乙两个项目，则 x+y10 0.3x+0.1y1.8 x0,y0,目标函数z=x+0.5y.作可行域,当直线l:x+0.5y=z过点M时,z取最大值.x+y=10 x=4 3x+y=18，y=6，所以点M(4,6).故当x=4，y=6时，zmax=7.答：投资甲项目4万元，投资乙项目6万元时，可能的盈利最大.,由,得,这是在高考中第一次以解答题的形式考查简单的线性规划问题.本题是一道应用题，以投资决策为背景，以线性规划为素材，考查学生对数学的应用意识和能力，不落俗套，令人耳目一新.,设集合A=(x,y)|x,y,1-
9、x-y是三角形的边长，则A所表示的平面区域（不含边界的阴影部分）是(),A,利用三角形的三边关系 x+y1-x-y x-y x y,故A所表示的平面区域为A选项.,即,简单的线性规划问题是高中数学的主干知识，也是近年高考命题的热点，是数形结合思想的载体之一.作图求解：作出不等式组所表示的可行域，确定目标函数的最优位置，从而获得最优解.图解法的实质是数形结合思想的两次运用：第一次是由上步所得线性约束条件，作出可行域；第二次是将目标函数转化为平行直线系进行探究.此过程可简述为“可行域直线系最优解”.,(2009上海卷)已知实数x、y满足 y2x y-2x x3，则目标函数z=x-2y的最小值是.,-9,作出(x,y)满足的值域如图，由目标函数的特点知，在点（3，6）处z取得最小值-9.,可行域为图中阴影部分,由图可知s=x+y在点(4，5)处取得最大值，最大值为s=4+5=9.,(2009北京卷)若实数x,y满足x+y-20 x4y5,则s=x+y的最大值为.,9,本节完，谢谢聆听,立足教育，开创未来,
