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1、1,小结 思考题 作业,概念的引入,概念与性质,对坐标的曲面积分的计算法,两类曲面积分之间的联系,10.5 第二类(对坐标)的曲面积分,surface integral,第10章 曲线积分与曲面积分,2,观察以下曲面的侧,曲面分上侧和下侧,曲面分内侧和外侧,1.有向曲面,通常光滑曲面都有两侧.,流向另一侧的流量问题等.,(假设曲面是光滑的),一、概念的引入,如流体从曲面的这一侧,3,有两侧的曲面.,规定,(1)双侧曲面,2.曲面的分类,法向量的指向来规定曲面的两侧.,这两侧一般称为,分别记作,规定了正、负侧的双侧曲面称为,正侧和负侧,有向曲面.,4,对于封闭曲面,通常规定其,外侧(即外法线方向
2、所指的一侧),为正侧,而规定内侧(即内法线方,向所指的一侧)为负侧.,对于非封闭曲面,通常规定其上侧为,当曲面分为,上、下两侧时,正侧,下侧为负侧.,当曲面方程由z=z(x,y)给出时,规定其法向量,与z轴正向的夹角为锐角的一侧为正侧,其法向量是,而负侧的法向量是,5,对于非封闭曲面,通常规定其右侧为,当曲面分为,左、右两侧时,正侧,左侧为负侧.,通常规定其前侧为,当曲面分为前、后两侧时,正侧,后侧为负侧.,6,(2)单侧曲面,莫比乌斯(Mobius)带.,B、C 粘在一起形成的环行带.,不通过边界可以爬到任,这在双侧曲面上是,它是由一张长方形纸条ABCD,扭转一下,将A、D粘在一起,小毛虫在
3、莫比乌斯带上,何一点去.,Mobius(1790-1868)19世纪德国数学家,不能实现的.,7,设有一稳定流体,以速度,流量,实例,(为平面A的单位法向量),(斜柱体体积),(1),流速为常向量,有向平面区域 A,求单位时间流过A的流量(假定密度为1).,有向曲面(从负侧流向正侧),求流量.,流过,当,不是常量,8,(2),采用元素法,求流量.,把大范围的曲面,问题化为小范围的平面的问题,并在,小范围内,把流量近似地看成常向量.,是有向曲面.,分割,法向量为,把曲面分成n小块,(Si同时也代表第i小块,Si,曲面的面积),点Mi,则该点流速为,在Si上任取一,取近似,流体流过小块Si的流量i
4、为,9,求和,流过有向曲面(从负侧流向正侧)的总,流量的近似值为,取极限,当各小块Si的最大直径,取极限得到流量的精确值为,除了流量以外,电流强度,通过有向曲面,的电通量也可表示同一类型的极限,10,1.定义,二、概念与性质,定义10.4,设有分片光滑的双侧曲面,取定其,一侧,记这一侧的单位法向量为,为定义在上的向量函数.,任意分,S1,S2,Sn,割为n小块,小块及其面积都记作,在每一小块Si上,任取一点,作和式,11,令各小块Si的最大直径,若上和式有,极限,则称此极限值为向量函数,在有向曲面上沿指定一侧的第二类(对坐标)的曲,面积分,记作,简记作,12,如曲面为封闭曲面:,在前面的实例中
5、,流量为流速,上的,第二类(对坐标)的曲面积分,即,电通量为电流强度,在曲面上的,第二类(对坐标)的曲面积分,即,在曲面,13,2.性质,(1)线性性质,(k1,k2为常数),(2)可加性,若由1和2组成,则,(3)有向性,14,三、两类曲面积分之间的联系,设,(其中,处的单位法向量,为有向曲面在指定一侧的点(x,y,z),的方向角,一般来说,它们都是x,y,z的函数),则第二类曲面积分,两类曲面积分的转化公式,15,四、第二类曲面积分的计算法,若光滑有向曲面,在xOy面上的投影区,域为Dxy,函数 z(x,y)在,导数,由方程 z=z(x,y)给出,Dxy上具有一阶连续偏,则由,16,上侧为
6、正,下侧为负,化为二重积分,一投,二代,三定号,向量的点积法(合一投影法),17,例,外侧.,其中,解,在xOy面上的投影区域为Dxy:,法向量:,18,一投,二代,三定号,化为二重积分,19,前侧为正,后侧为负,若光滑有向曲面由方程 x=x(y,z)给出,在yOz面上的投影区域为Dyz,函数x(y,z)在Dyz上,具有一阶连续偏导数,则,化为二重积分,20,若光滑有向曲面由方程 y=y(x,z)给出,在xOz面上的投影区域为Dxz,函数y(x,z)在Dxz上,具有一阶连续偏导数,则,化为二重积分,右侧为正,左侧为负,21,第二类曲面积分,往往用坐标形式来表示.,常用记号dydz,分别表示面积
7、元素,dxdy,dzdx,dS在yOz平面,上的有向投影,即,(它们的值或正或负,其符号取决于方向角,是,锐角还是钝角),因此第二类曲面积分可表示为,第二类曲面积分的坐标形式,zOx平面,xOy平面,22,(1)认定对哪两个坐标的积分,(2)将 的方程代入被积函数,(3)根据的侧(法向量的方向)确定二重积,为这两个变量的函数,将曲面表,并确定的投影域.,上的二重积分.,化为投影域,分前的正负号.,第二类曲面积分的计算时:,23,解,投影域,例,计算,其中是球面,外侧在,的部分.,把分成1和2两部分,化为二重积分,一投,二代,三定号,24,25,解,利用两类曲面积分的联系计算.,取上侧,例,在第
8、一卦限部分的,上侧.,法向量为,26,化为二重积分,27,若分片光滑的闭曲面,0,其中,注,x的偶函数,x的奇函数,曲面不封闭也可以.,取外侧(内侧仍成立),那末,关于yOz平面对称,若P(x,y,z)是,若P(x,y,z)是,28,例,计算曲面积分,解,对称性质,关于yOz面对称,被积函数关于,则,所以,极坐标,x为偶函数,一投,二代,三定号,化为二重积分,29,关于曲面侧的性质,五、小结,第二类的曲面积分的计算,第二类的曲面积分的概念,四步:分割、取近似、求和、取极限,思想:化为二重积分计算;,注意:,“一投,二代,三定号”,第二类的曲面积分的性质,两类曲面积分之间的联系,方法:,30,思考题,是非题,由于是以原点为中心的球面.,由对称性知,31,思考题解答,非,因为上半球面,下半球面,故,上侧为正,下侧为负,32,作 业,习题10.5(452页),
