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1、,第 2 章 连续信号与系统的时域分析,2.1 连续时间基本信号 2.2 卷积积分 2.3 系统的微分算子方程 2.4 连续系统的零输入响应 2.5 连续系统的零状态响应 2.6 系统微分方程的经典解法,2.3.1 微分算子和积分算子,p称为微分算子，1/p称为微分逆算子或积分算子。,2.3 系统的微分算子方程,例：,以p的正幂多项式出现的运算式，在形式上可以像代数多项式那样进行展开和因式分解。,设A(p)和B(p)是p的正幂多项式，则,性质1,性质2,微分算子的运算性质,微分算子方程等号两边p的公因式不能随便消去。,不能随意消去公因子p而得到y(t)=f(t)的结果。因为y(t)与f(t)之
2、间可以相差一个常数c。,也不能由方程,通过直接消去方程两边的公因式(p+a)得到y(t)=f(t)，因为y(t)与f(t)之间可以相差ce-at，其正确的关系是,性质3,例如，方程,性质4,设A(p),B(p)和D(p)均为p的正幂多项式,但是,2.3.2 LTI系统的微分算子方程,对于LTI n阶连续系统，其输入输出方程是线性常系数n阶微分方程。若系统输入为f(t)，输出为y(t)，则可表示为,用微分算子P表示可写成,或缩写为,微分算子方程,传输算子,传输算子代表了系统将输入转变为输出的作用，或系统对输入的传输作用，故称H(p)为响应y(t)对激励f(t)的传输算子或系统的传输算子。,用H(
3、p)表示的系统输入输出模型,例 2.3 1 设某连续系统的传输算子为,写出系统的输入输出微分方程,例 2.3 2 已知系统框图，求系统的传输算子。,解 设中间变量x(t)，左端加法器列方程,右端加法器,2.3.3 电路系统算子方程的建立,表 2.2 电路元件的算子模型,在电路分析中，独立源信号代表系统激励，待求解的电流或电压为系统响应。,例2.3 3电路如图所示，试写出u1(t)对f(t)的传输算子。,解 由节点电压法列出u1(t)的方程为,例 2.3 4 如图所示电路，电路输入为f(t)，输出为i2(t)，试建立该电路的输入输出算子方程。,解：列出网孔电流方程如下,2.4.1 系统初始条件,
4、根据线性系统的可分解性，LTI系统的完全响应y(t)可分解为零输入响应yx(t)和零状态响应yf(t)，即,分别令t=0-和t=0+，可得,2.4 连续系统的零输入响应,对于因果系统，由于激励在t=0时接入，故有yf(0-)=0；对于时不变系统，内部参数不随时间变化，故有yx(0+)=yx(0-)。故,同理，可推得y(t)的各阶导数满足,系统的0-和0+初始条件,2.4.2 零输入响应算子方程,设系统响应y(t)对输入f(t)的传输算子为H(p)，且,系统的特征多项式,2.4.3 简单系统的零输入响应,简单系统1 若A(p)=p-，则yx(t)=c0et,系统特征方程A(p)=0仅有一个特征根
5、p=。,两边乘以，并整理得,简单系统2 若 A(p)=(p-)2，则 yx(t)=(c0+c1t)et。,由于,即,两边乘以e-t，再取积分,推广,2.4.4 一般系统的零输入响应,对于一般情况，设n阶LTI连续系统，其特征方程A(p)=0具有l个不同的特征根i(i=1,2,l)，且i是ri阶重根，则,式中，r1+r2+rl=n,根据线性微分方程解的结构定理，令i=1,2,.,l,将相应方程求和，得,所以方程A(p)yx(t)=0,第二步，求出第i个根 对应的零输入响应yxi(t),第三步，将所有的yxi(t)(i=1,2,l)相加，得到系统的零输入响应，即,第四步，由给定的零输入响应初始条件
6、 或者0-系统的初始条件，确定常数,第一步，将A（p）进行因式分解，即,一般n阶LTI连续系统零输入响应的求解步骤：,例 2.4 1 某系统输入输出微分算子方程为,已知系统的初始条件y(0-)=3,y(0-)=-6，y(0-)=13,求系统的零输入响应yx(t)。,解 由题意知 A(p)=(p+1)(p+2)2,其一阶和二阶导函数为,令t=0-,并考虑到,代入初始条件值并整理得,例 2.4-2 电路如图2.4-1(a)所示，激励为is(t)，响应为iL(t)。已知R1=1，R2=5，C=0.25 F，L=2H，电容上初始电压uC(0-)=6 V，电感中初始电流iL(0-)=2A。试求t0时的零输入响应iLx(t)。,解 列电路的回路电流方程,画出t=0-时的等效电路,求初始条件,uC(0-)=6 ViL(0-)=2A,作 业2.10（2）（4）2.162.18（2）,
