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1、1,第三章 自动控制系统的时域分析法,2,3.1系统时域分析概述,时域分析法 在一定输入条件下，使用拉氏反变换直接求解自动控制系统在时间域中输出量的表达式，从而得到控制系统直观而精确的输出响应曲线和性能指标。,控制系统的时域响应不仅取决于系统本身的结构与参数，还与外加信号有关。因此，需要预先设定一些典型信号，然后比较系统对这些输入信号的响应。,3,一、典型输入信号,时域分析法中常用的典型信号,a)单位阶跃函数 b)单位斜坡函数 c)单位抛物线函数 d)单位脉冲函数,4,单位阶跃函数数学表达式为：0 t 0 r（t）=1（t）=1 t 0拉氏变换式为：,该信号相当于在t=0处突加一个恒定的输入信
2、号。对于恒值系统相当于参考输入量的变化或者扰动量的突变；对于随动系统，相当于突加一个位置输入信号。,5,单位斜坡函数 也称为速度信号，数学表达式为：0 t 0 r(t)=t t 0 拉氏变换式为：,6,单位抛物线函数 也称为加速度信号，数学表达式为：,拉氏变换式为：,7,单位脉冲函数数学表达式为：0 t0 r（t）=（t）=t=0 拉氏变换式为：,8,二、控制系统的时域性能指标,在典型输入信号下，任何一个控制系统的时间响应都可以分为动态过程和稳态过程两部分。动态过程又称过渡过程，是指系统从加入输入信号起到输出量到稳态值之前的响应过程，它表征系统的稳定性和对输入信号响应的快速性。稳态过程是指时间
3、趋于无穷大时的输出状态，它表征系统输出量最终复现输入量的准确性。,9,3.2控制系统的稳定性分析,一、稳定性概念,定义：线性系统处于某一平衡状态下，受到干扰的作用而偏离了原来的平衡状态，在干扰消失后，系统能够回到原状态或者回到原平衡点附近，称该系统是稳定的，若偏差不断增加，即使扰动消失，系统也不能回到平衡状态，则这种系统是不稳定的，如下图所示。,10,稳定性只取决于系统内部的结构和参数，而与初始条件和外作用的大小无关。系统稳定性概念包括绝对稳定性与相对稳定性。绝对稳定性是指系统稳定与否，而相对稳定性是指在绝对稳定的前提下，系统稳定的程度。,11,设系统在初始条件为零时输入一个单位脉冲信号(t)
4、,根据前述系统稳定的定义,若脉冲消失后t时响应趋近于原来的零状态,则系统是稳定的。即如果 则系统是稳定的。控制系统闭环传递函数可表示为,12,令称为系统的闭环特征方程。如果特征方程有l个实根、r个共轭复根，l+2r=n则有,si为特征方程的实根kjk为特征方程的共轭复根r（t）=（t）R（s）=1则,13,拉氏反变换可得：只有当si和k都为负值时，才有即只有当控制系统闭环特征方程的根全部具有负实部，系统才是稳定的系统稳定的充分必要条件。,14,根据稳定的充要条件，直接求解系统闭环特征方程的根，检查是否具有负实部，就可以立即判断系统是否稳定，但是当系统阶次较高时，求解系统闭环特征方程的根会比较困
5、难。因此工程上常采用劳斯赫尔维茨稳定判据。,15,三、Hurwritz代数稳定判据,1Hurwritz代数稳定判据内容设线性系统的特征方程式为：D(s)=ansn+an-1sn-1+a2s2+a1s+a0=0则系统稳定的充要条件是：（1）特征方程的各项系数均为正值。必要条件（2）特征方程的Hurwritz行列式k(k=1，2，n)均大于0。充分条件,16,2Hurwritz行列式k的编写方法 第一行为特征式第二项、第四项等偶数项的系数；第二行为特征式第一项、第三项等奇数项的系数；第三、四行重复上二行的排列，但向右移一列，前一 列则用0代替。D(s)=ansn+an-1sn-1+an-2sn-2
6、+an-3sn-3+a1s+a0=0,17,赫尔维茨行列式,18,3推论,在特征方程式各项系数全为正的条件下，若所有奇次Hurwritz行列式为正，则所有偶次Hurwritz行列式必为正，反之亦然。,例3-1 设系统的特征方程式为 2s4+s3+3s2+5s+10=0,试判断系统的稳定性.,解：（1）各项系数为正，且不为零，满足稳定的必要条件。（2）系统的Hurritz行列式为,所以，该系统不稳定。,19,例3-2 已知系统的框图如图3-2所示，求当系统稳定时K的取值范围。,图3-2,解：因为未直接给出系统的特征方程式，故须求系统的闭环传递 函数，从而得到特征方程式D(s)。,（1）闭环系统的
7、传递函数为：,（2）系统的特征方程式为s3+3s2+2s+K=0（3）稳定的必要条件是系统的特征方程式各项系数为正，因而要求K0。,（4）系统稳定的充分条件是：,由此可见，加大系统增益对系统的稳定性不利。,因此，为保证系统闭环稳定，增益K的可调范围是,上例表明，某些系统在一定的参数范围内，它是稳定的；超出这个范围，它就会不稳定。这类系统称为条件稳定系统。但有些系统，无论如何调整其他参数，系统也不稳定。这类系统称为结构不稳定系统。如特征方程式缺项，或者出现负系数等。对于结构不稳定系统，必须采用校正措施才能改善其稳定性。,21,3.3控制系统的动态性能分析,一、一阶系统 的动态性能分析,一阶系统的
8、数学模型,图3-2为典型一阶系统的框图。一阶系统的标准闭环传递函数为,T 时间常数,2、一阶系统的单位阶跃响应,若r(t)为单位阶跃信号，即R(s)=1/s，则,对上式进行拉氏反变换，得单位阶跃响应为,其曲线如图3-3所示，它具有以下特点：,图3-3,t=0处斜率为1/T,t时,斜率为零;,t=T时,输出到达稳态 的63.2%;,无振荡，无超调,23,c（t）由两个分量组成。其中一个分量是随时间衰减的，称为暂态分量，暂态分量与传递函数G(s)=1/(Ts+1)的极点（s=-1/T）有关。另一分量与输入信号成正比，称为稳态分量。上述概念称为两个分量的概念。它适合于任何控制系统。,t时,输出等于输
9、入值（公式中暂态项等于零）,24,稳定性 一阶系统单位阶跃响应是从一个稳态过渡到另一个稳态，因而它是一个绝对稳定（简称稳定）系统。同时，可以看出系统传递函数的极点为负实数。,上升时间tr 上升时间一般指系统响应曲线第一次上升到稳态值所需的时间，对于无振荡的系统则定义为从稳态值的10%上升到90%所需的时间。,25,根据 可求 时t1=0.1T 时t2=2.3T则tr=t2-t1=2.2T,26,调节时间ts t=3T时，c（3T）=0.95，t=4T，c（4T）=0.98，一阶系统单位阶跃响应ts=34T。,超调量=0,27,典型二阶系统开环传递函数：,n无阻尼振荡频率,阻尼比,二、二阶系统的
10、动态性能分析,1、二阶系统的单位阶跃响应,R(S),C(S),E(S),n2,S(S+2n,),28,闭环传递函数为：,令上式分母为零，得到系统特征方程式：,特征方程的根，即闭环传递函数的极点为：,29,01时，系统的特征根为一对实部为负的共轭复数，称为欠阻尼状态，系统时域响应具有振荡性；当=1时，系统的特征根为一对相等的负实数，称为临界阻尼状态；1时，系统的特征根为两个不相等的负实根，称为过阻尼状态。临界阻尼状态和过阻尼状态下，系统时域响应均无振荡现象；=0时，系统的特征根为一对虚根，称为无阻尼状态，系统时间响应为等幅振荡曲线；0时，系统的特征根为一对实部为正的共轭复根。,30,当=0和0时
11、，系统分别处于临界稳定状态和不稳定状态，系统响应无法跟随参考输入量变化，系统无法正常工作。下面只讨论01、=1和1三种情况下系统的单位阶跃响应。,31,(1)临界阻尼状态单位阶跃响应分析,由拉氏反变换可得：,32,阶跃响应曲线是单调上升的，且稳态值为1，这一特点与一阶系统相同。因而，它是一个稳定的无差系统。一阶系统阶跃响应曲线的斜率在t=0处最大，并逐渐递减至零；而二阶临界阻尼响应曲线的斜率为：对上式求导可知，响应曲线斜率的最大值出现在 1/n 处。二阶阻尼响应曲线斜率由零逐渐增大到最大值 1/n，然后再逐渐减小到零，曲线形状呈S形。,33,（2）过阻尼状态单位阶跃响应分析,此时，闭环系统的特
12、征根为两个不相等的负实数,34,由拉氏反变换可得单位阶跃响应：,分别为1.25和2时的单位阶跃响应,响应曲线单调上升。暂态分量为两个衰减的指数函数。若12，则时间常数为2的项衰减快，因而它主要对系统响应曲线的前期有影响；时间常数为1的项衰减慢，因而它主要影响系统响应曲线的后期。,35,（3）欠阻尼状态单位阶跃响应分析,由拉氏反变换可得单位阶跃响应为：,36,其曲线如图所示，该曲线特点：衰减振荡,37,暂态分量是一个按指数曲线衰减的正弦表达式。是一条指数衰减曲线，n的大小直接反映了正弦幅值衰减的快慢，因而，称其为衰减系数。d是正弦振荡的频率，因与阻尼有关，称为阻尼振荡角频率。稳态分量为1。,38
13、,2.二阶系统欠阻尼单位阶跃响应性能指标,=1和1时的系统响应均为单调上升的曲线，类似于一阶系统响应曲线，但其响应速度比一阶系统慢。工程上对于不允许产生振荡的控制系统，为提高响应速度，常将控制系统设计成典型的一阶系统；对于那些允许在调节过程中有适度振荡、希望有较快响应速度的控制系统，则将控制系统设计成欠阻尼状态的二阶系统。下面专门讨论欠阻尼状态二阶系统性能指标。,系统的响应为衰减的正弦振荡波形,当时间趋于无穷大时,系统的输出趋于稳态值1。,40,1)上升时间tr：定义：c(t)从0上升到c()所需的时间。,得,2)峰值时间tp：定义：c(t)从0上升到第一个周期峰值的时间。,取n=1，得,41
14、,3)最大超调量,定义：,仅与阻尼比有关，越大，则越小，系统的相对稳定性越好。因此在设计系统时,通常由所要求的超调量决定。一般选择在0.40.8之间，这样阶跃响应的超调量在25%1.5%之间。,42,为简便计算，可用响应曲线的包络线取代实际响应曲线来近似计算建立时间。时，0.05；0.02。,4)调整时间ts,定义：系统输出量与稳态值之差进入并一直保持在允许误差带内所需要的时间。取2%或5%。,43,3.4控制系统的 稳态误差,一、系统误差与稳态误差的定义,系统误差,象函数形式,稳态误差,终值定理,44,线性系统的总误差为跟随误差和扰动误差的代数和，即,给定输入信号r(t)作用,扰动输入信号d
15、(t)作用,45,二、控制系统的型别,系统开环传递函数,注：含两个以上积分环节的系统不易稳定，所以很少采用II型以上的系统,46,三、稳态误差的计算,与系统的开环传递函数G0(s)及输入信号R(s)有关,1.给定输入信号作用下的稳态误差,可见，输入信号作用下的稳态误差与系统的开环传递函数G0(s)及输入信号R(s)有关。,47,典型输入信号,48,输入信号为单位阶跃信号,0型系统,I型及I型以上系统,系统开环传递函数,49,输入信号为单位斜坡信号,0型系统,I型系统,II型及II型以上系统,系统开环传递函数,50,输入信号为单位加速度信号,0型系统,I型系统,II型系统,II型以上系统,系统开
16、环传递函数,例3-2 已知某单位反馈系统的开环传递函数为 当输入信号r(t)=2+4t+t2时，试求系统的稳态误差。,解：首先判断系统的稳定性。由系统的开环传递函数得系统的闭环特征式为 D(s)=s(s+4)(s+5)+20(s+2)=s3+9s2+40s+40=0由二阶Hurwitz行列式 可知，该系统闭环是稳定的。,根据系统的开环传递函数,可知系统为v=1，K=2。由于输入信号是由阶跃、斜坡和加速度信号组成的复合信号，根据线性系统的叠加原理，系统总误差为各个信号单独作用下的误差之和。因此所求误差为,计算结果表明，该系统不能跟随给定的输入信号，应进行系统结构校正。,52,3、扰动信号作用下的
17、稳态误差,当开环传递函数G(s)=G1(s)G2(s)H(s)1时，上式可近似为,53,则系统在扰动信号作用下的稳态误差为,设,可见扰动信号作用下稳态误差的大小和有无，除了与扰动信号D(s)的形式有关外，当G0(s)=G1(s)G2(s)H(s)1时，主要取决于扰动作用点前传递函数G1(s)中积分环节的个数v和放大倍数K1。,54,例3-3 某系统的结构图如图3-8 所示，假设r(t)=t，d(t)=0.5，试计算该系统的稳态误差。,首先判断系统的稳定性。由系统的结构图，可得系统的闭环特征式为D(s)=s(3s+1)(0.2s+1)+40.5=0.6s3+3.2s2+s+2=0由二阶Hurwitz行列式可知，该系统闭环是稳定的。,图38,55,由此可知，系统为I型，开环放大倍数K=2，且输入为单位斜坡信号。因此 essr=1/K=1/2=0.5,计算在输入信号作用下的稳态误差essr。系统的开环传递函数为,计算在扰动信号作用下的稳态误差essd,在输入信号和扰动信号同时作用下的总稳态误差ess,ess=ess+essd=0.5+0.125=0.625,
