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1、1,4.1 自回归过程的性质,一、一阶自回归过程AR(1)的性质二、二阶自回归过程AR(2)的性质三、p阶自回归过程AR(p)的性质,返回本节首页,下一页,上一页,2,一、时间序列模型的平稳性（Stationarity）,平稳性的定义：,如果一个时间序列模型可以写成如下形式：,其中，xt为零均值平稳序列，at为白噪声，且满足条件 就称该模型是平稳的。（上式又称Wold展开式）,返回本节首页,下一页,上一页,3,4,时间序列模型的可逆性(ivertibility),如果一个时间序列（未必平稳）的模型可以写成如下形式：,其中：at为白噪声，且有那么，就称这个模型是可逆的。,返回本节首页,下一页,上
2、一页,5,对于一个有限阶的自回归模型AR(P),总有：,所以，一个有限阶的AR(p)模型总是可逆的。,6,自回归表示有助于理解预测机制，Box和Jenkins证明在预测时，一个非可逆过程是毫无意义的。,7,一、一阶自回归过程AR(1)的性质,一阶自回归模型的形式为：,或,返回本节首页,下一页,上一页,8,1、平稳性和可逆性,A.可逆性：一个有限阶的自回归模型总是可逆的，所以，AR(1)模型总是可逆的。,B.平稳性：为满足平稳性，的根必须在单位圆外，于是有：,9,10,上式说明系统是怎样记忆扰动at上式中的系数客观的描述了该系统的动态性，故这个系数称为记忆函数（格林函数），AR(1)模型的格林函
3、数可表示为平稳序列的这种表示形式，称为“传递形式”，（用无穷阶MA模型来逼近有限阶AR模型）,11,格林函数的意义,是前j个时间单位以前进入系统的扰动对系统现在的影响；客观的刻划了系统动态响应衰减的快慢程度；是系统动态真实描述；格林函数所描述的动态性完全取决于系统参数,12,对于AR(1)来说：,若系统受到扰动后，该扰动的作用逐渐减小，直至趋于零，即系统随着时间的增长回到均衡位置，那么该系统就是渐近稳定的，也就是平稳的。系统平稳对于格林函数来说，就是随着j的增加，趋近于零；若格林函数趋于无穷大，那么任意小的扰动，只要给定足够的时间，就会使系统响应正负趋于无穷，永远不会回到其均衡位置，这时系统便
4、是不稳定的，当然是非平稳的。,13,2.AR(1)过程的自相关函数,14,15,16,17,通过上述推导可看出，当过程平稳即 时，AR(1)过程的自相关函数（ACF）呈指数衰减。,如果，那么所有的自相关系数都为正，并逐渐衰减。,如果,自相关系数的符号以负号开始，并呈正、负交替逐渐衰减。,18,例1，下面两图表分别是模拟生成的249个数据如下AR(1)过程趋势图和自相关图,19,-6,-4,-2,0,2,4,82,84,86,88,90,92,94,96,98,00,例1，模拟生成的AR(1)过程趋势图,20,例1：模拟生成的AR(1)过程自相关图:,呈指数衰减,21,例2，下面两图表分别是模拟
5、生成的249个数据如下AR(1)过程趋势图和自相关图,22,-6,-4,-2,0,2,4,6,82,84,86,88,90,92,94,96,98,00,Y,例2，模拟生成的AR(1)过程趋势图,23,例2：模拟生成的AR(1)过程自相关图:,呈正负交替指数衰减,24,3.AR(1)过程的偏自相关函数（PACF）,A.偏自相关函数的一般公式,25,26,27,28,29,B.AR(1)过程的偏自相关函数,30,上述结论说明：AR(1)过程的偏自相关函数(PACF)在滞后一阶有一峰值，其符号取决于。滞后一阶以后PACF截尾。,31,例1：模拟生成的AR(1)过程自相关图:,滞后一阶以后截尾,32
6、,例2：模拟生成的AR(1)过程自相关图:,滞后一阶以后截尾,33,二、二阶自回归AR(2)过程的性质,二阶自回归模型的形式为：,或,返回本节首页,下一页,上一页,34,B.平稳性：为满足平稳性，的根必须在单位圆外.,1、平稳性和可逆性,A.可逆性：AR(2)模型总是可逆的。,35,36,注：我们下面对AR(2)性质的讨论中都假定平稳性条件满足.,37,-2,0,2,-1,0,1,实根,复根,AR(2)过程的平稳性区域如下图三角域所示,38,2.AR(2)过程的自相关函数,39,40,41,42,通过上述推导可以如下结论，在AR(2)过程的平稳性条件满足时，如果特征方程的根为实根，即 时，AR
7、(2)的自相关函数呈指数衰减。如果特征方程的根为复根，即 时，AR(2)的自相关函数呈阻尼正弦波衰减。,43,3.AR(2)过程的偏自相关函数,44,45,通过上述证明可以得出如下结论：,46,例1，下面两图表分别是模拟生成的250个数据如下AR(2)过程趋势图和自相关图,47,-4,-2,0,2,4,82,84,86,88,90,92,94,96,98,00,例1.模拟生成的AR(2)过程趋势图,48,例1.模拟生成的AR(2)过程自相关图,呈混合指数衰,滞后二阶以后截尾,49,例2，下面两图表分别是模拟生成的250个数据如下AR(2)过程趋势图和自相关图,50,-6,-4,-2,0,2,4
8、,6,82,84,86,88,90,92,94,96,98,00,例2.模拟生成的AR(2)过程趋势图,51,例2.模拟生成的AR(2)过程自相关图,呈混合指数衰减,滞后二阶以后截尾,52,例3，下面两图表分别是模拟生成的250个数据如下AR(2)过程趋势图和自相关图,53,-4,-2,0,2,4,82,84,86,88,90,92,94,96,98,00,模拟生成的AR(2)过程趋势图,54,模拟生成的AR(2)过程自相关图,呈阻尼正弦波衰减,滞后二阶以后截尾,55,三、p阶自回归过程AR(p)的性质,二阶自回归模型的形式为：,或,返回本节首页,下一页,上一页,56,B.平稳性：为满足平稳性
9、，的根必须在单位圆外.,1、平稳性和可逆性,A.可逆性：AR(p)模型总是可逆的。,即如果1，2，p是 的根，那么它们的绝对值|i|1,57,其实也就是要求特征方程的特征根都在单位圆内。,即如果1，2p是上述特征方程的p个特征根，那么为满足平稳性条件，必须有|i|1,注：下面对AR(p)性质的讨论，都假定平稳性条件满足。,58,对于高阶的自回归过程，其平稳性条件用其模型参数表示虽比较复杂，但都有最基本的一点：,这是自回归过程平稳的必要条件之一。,59,一个可逆过程不一定是平稳的，对于一个有限阶的AR(P)模型：,自回归过程的平稳性条件(stationarity condition),它是平稳过
10、程的必要条件是:的根都在单位圆外，即如果1，2，p是 的根，那么它们的绝对值必须大于1,返回本节首页,下一页,上一页,60,注,61,移项得,推导过程如下,由,根据数学知识，上式可以展开为幂级数，即,62,根据平稳性的条件有：,即级数 必须收敛。,而要满足这个条件，则必须有:的根都在单位圆外。,63,通过上述推导，可以得出如下结论：一个有限阶的AR(p)模型，可以表示成一个无限阶的MA模型,64,2.AR(p)的自相关函数ACF,65,66,通过上述推导有如下结论：对于平稳过程，有|i|1，AR(p)过程的ACF是由差分方程的根确定的，呈混合指数衰减或出现复根时的阻尼正弦波衰减。,67,3.AR(p)过程的偏自相关函数PACF,68,可以很容易地看出，当kp时，上式分母行列式最后列是同一矩阵前面各列的线性组合。于是当kp时,有kk=0。所以，AR(p)过程的偏自相关函数(PACF)滞后p阶截尾。,69,例如,对于一阶自回归过程：,它的特征方程为：,它的特征根为：,则平稳性条件为：,70,谢谢！,Thank you very much!,
