《自控原理第2章.ppt》由会员分享，可在线阅读，更多相关《自控原理第2章.ppt（46页珍藏版）》请在三一办公上搜索。
1、第2章 线性自动控制系统的数学描述,2.1 概述 自动控制理论研究的问题主要有两个：（1）一个给定的自动控制系统它是如何运动的，运动具有哪些性质和特性？-系统分析。例如，给定一个自动控制系统，要研究在扰动作用下，系统中的各个变量是如何变化的，或者在瞬间的扰动作用下，系统又是如何变化的，它们具有什么特征。,2.1 概述,（2）如何设计一个控制系统或如何控制系统的运动使它具有预先要求的性质与特征？这类问题称为系统综合。例如，如何选择系统中的参数，使反馈控制系统在给定值单位阶跃函数扰动下希望的过渡过程？系统分析的基础,才能对系统进行综合。系统综合是生产过程自动控制系统能够具体实现的条件。要解决上面问
2、题，都离不开对表征系统运动的所有参数变量及它们之间关系的充分了解，并用数学形式进行描述。这就是常说的必须建立系统的数学模型。建立数学模型是控制原理的基础。,2.1 概述,一动态系统,图2-1 动态系统示意,是外界对系统的扰动，是输入变量，时间的函数；是系统对外界的影响，是动态系统的输出变量，时间的函数。输入是输出变化的原因，输出是输入变化的结果。,一动态系统,是系统内部联系输入和输出的，也是时间的函数。动态系统是指有特定输入和输出设备或装置的一种模型。热水加热器出口温度控制系统中被控对象（加热器）和自动调节器都可看成动态系统，而整个反馈控制系统也可看成一个动态系统。,一动态系统,动态系统简称系
3、统。在动态过程中系统的输入、输出和状态都是时间的函数，都是变量。它们之间的关系就称系统的动态特性，动态特性的数学描述（数学表达式）就称动态系统的数学模型，一般情况下，动态特性与动态模型是指的同一含义。单变量系统或单输入单输出系统（SI-SO）。多变量系统或多输入多输出系统（MI-MO）。,二动态系统的数学模型,系统的动态特性可以用两类方法描述：1系统的输出输入描述：微分方程和传递函数。不考虑系统内部的状态，只建立系统输出变量与输入变量之间的数学关系。多种形式，彼此可以互相转换。适用于不同的系统分析与综合方法时使用。系统的输出输入描述只涉及系统端部特性，不反映系统内部的特性，所以从本质上说这样的
4、描述并不能反映动态系统的全貌。,二动态系统的数学模型,2系统的输入状态输出描述：状态空间描述 反映系统的端部特性而且还反映了系统内部状态的特性，是系统特性的完整表达，是系统性的。现代控制理论的状态空间分析方法对系统进行分析和综合。两种方法可以互相转换。,三建立系统动态数学模型的方法,是系统分析与系统综合的基础，模型的正确性影响控制系统设计、分析和综合结果的准确性与可靠性，影响到控制任务的完成。1分析建模法(物理定理)它以描述宏观物理现象的力学、热力学、传热学、流体力学及电工学等基本定律为基础，由系统的结构参数用理论分析的方法建立系统中各变量之间关系的数学表达式即数学模型。将系统按一定规则分成多
5、个彼此相关的子系统，再分别建立子系统变量之间关系，最终确定整个系统模型。该法只适用于过程机理清晰系统，为模型简化常作必要假定。得到模型还需实际验证。,三建立系统动态数学模型的方法,2试验建模法 在系统的输入端加上某种测试信号（系统激励信号）测量系统的输出信号用数学方法求出动态数学模型。也可以利用系统运行时各变量的实际运行数据,用统计的方法建立系统的动态数学模型。试验建模法已发展成一门完整的学科分支，就是“系统辨识与参数估计”，它涉及到许多理论问题。热工过程，相对较慢（时间数量级），常采用阶跃信号、正弦信号及伪随机二进制信号作为试验输入信号，然后再测量系统的输出信号，用一定的数学方法得到系统的动
6、态数学模型。,3综合法 将上两种方法相结合形成新方法。,2.2 单变量系统的数学描述,只有一个输入变量和一个输出变量的系统，其输入和输出之间的数学关系就是单变量系统的输出输入描述。一稳态模型和动态模型1稳态模型：系统在稳定状态(不再变化)下，即输入和输出各阶导数都为零时，输出和输入的关系称系统的稳态模型或静态模型，也称稳态特性或静态特性。变量与时间无关。输出输入变量关系的代数方程描述：,一稳态模型和动态模型,例1：图2-2(a)图2-2(a)直接安装在管路中的调节阀门，其输入为阀门的开度，输出为管路中的液体流量，在稳定状态下，可以写出如下关系：,式中：Q0是 时阀门的漏流量；k为常数，其数值取
7、决于阀门的结构、管路特性及介质性质等.非线性模型。,一稳态模型和动态模型,例2 图2-2(b)热电偶测量介质温度,输出信号为热电偶热电势，输入信号为被测介质温度。在稳定状态下，关系为(假定热电偶冷端为零度)：是线性模型,2动态模型,系统在动态过程中输出与输入的关系的数学描述就是系统的动态模型（或动态特性），动态过程中输入和输出的各阶导数都随时间变化。微分方程是表征系统动态特性的最基本的数学方程。,二线性系统的数学模型,稳态模型中，用线性代数方程-线性模型。用非线性代数方程-非线性模型。动态模型中，如果用线性微分方程描述的就是线性系统。用非线性微分方程描述的是非线性系统。线性系统满足叠加原理。如
8、果有多个输入影响一个输出，那么，多个输入信号同时作用的输出响应，等于每个输入信号单独作用下输出信号的叠加。非线性系统：不满足叠加原理的系统。实际生产过程有非线性因素。对系统中的非线性因素，使建模及系统分析、综合都有一定难度-线性化处理。也就是将各个变量在小范围内变化时认为是线性的，将非线性微分方程变成线性微分方程，再用线性系统理论进行分析研究。,三系统输出输入动态特性的微分方程描述,例2-1RC电路（a）所示，设输入信号为u1，输出信号为uc，写出它们之间的动态模型，这里输入u1和输出uc都是时间t的函数。解：(1)根据电路的基本定律，可以画出图(b)的方框图。(2)列写运动方程式：,例2-1
9、,(2)列写运动方程式：环节1：相当于电阻R，环节2：相当于电容C，(3)消去中间变量i，得到:线性常系数一阶微分方程.,例2-1,如果知道了系统的初始条件及在t0时的输入u1(t)，求解方程可得uc。在稳定状态下，则有：uc=u1。如果要求得到输出为电阻两端的电压或电流与输入的关系，只要上两式中消去中间变量，它们分别为：,例2-2,例2-2用热电偶测量介质温度。如图所示，输入信号为介质的温度，输出为热电势，写出动态关系的数学表达式。解：(1)根据物理过程画出图(b)的框图，其中q为介质向热电偶的传热量；(2)列写运动方程。环节1：输入为介质温度与热电偶热端温度的差，输出为介质向热电偶热端的传
10、热量，由传热学知识可得：,例2-2,传热阻力，假定常数；q热流量，单位时间传热量.环节2：输入-热流量q，输出-热电偶热端温度，它们之间的关系为：热电偶热端热容量（每升高 所需热量）,例2-2,环节3：热电偶热端温度 变化使热电势E变化，关系为：为热电偶特性常数，即热电偶热端温度每改变 所产生的热电势.(3)消去中间变量，可以得到:一阶线性常系数微分方程，描述了热电偶的输出热电势与被测介质温度之间的动态关系。在稳态时，有,这就是热电偶的静态特性。,例2-3,例2-3蓄水箱物理系统，水箱截面积为A，输入信号为进水量Q1，输出信号为水箱水位H，写出它们的动态方程式。解：(1)根据物理过程画出框图。
11、(2)列写运动方程：环节1：输入为Q1-Q2，输出为水位H。,例2-3,环节2：输入为H，输出为Q2。为管道流出侧的阻力系数.(3)消去中间变量 一阶非线性微分方程.,伯努利方程:Q2=K(2gh)1/2,例2-3,在较大范围变化内，Q2与H是非线性的。线性化处理 在（H0,Q0)点稳定，,例2-3,线性化处理后的以增量形式表示的动态方程，是一个一阶线性常微分方程。运动时变量的变化可看成是该稳态点增量，在写方程式或画框图时的变量名称，应理解为稳态点的增量。更进一步，如果将变量取成增量的相对变化的无因次量，那么在系统中就不再存在量纲。,伯努利方程:Q2=K(2gh)1/2,线性化处理,例2-4液
12、位控制系统,直接作用式液位控制系统。流量Q3只与水泵转速有关，设输入为流出量Q3，输出为水位H2，写出它们的动态方程式。,例2-4,解：(1)根据物理过程画出框图，框图中的每个变量符号应理解成是相对于某个稳态点的增量，或增量的无因次量。(2)列写运动方程环节1：水箱1，输入为Q1-Q2，输出为H1。,例2-4,环节2：小扰动线性化后,环节3：,环节4：,环节5：阀门特性,例2-4,(3)可以得到输入为Q3，输出为H2的动态方程：,分析物理过程机理，画出框图，写出环节的动态方程，消去中间变量-输出输入关系的动态方程。是线性常微分方程（非线性部分，小范围内线性化处理），方程阶次与系数取决于物理系统
13、的结构等参数。微分方程是系统输出输入描述的最基本的方法。,例2.5 气动系统,当q1=q2时,p保持不变.动态时,p1,p2变化,p跟随变化.,理想气体状态方程:p v=RTv是气体比容,R是气体常数,T是气体热力学温度.充气是等温过程.,考虑到p变,p2变,R是气阻.,步骤:,1.分析系统工作原理,确定输入输出关系.根据物理规律,写出运动方程;2.消去中间变量3.得到微分方程.,四系统动态特性的传递函数描述,系统越复杂，微分方程的阶次就越高，方程求解的计算工作量越大。利用 变换数学工具，简化微分方程的求解，同时可将微分方程变换成复变量S的代数方程，研究方便简化。传递函数 描述系统的输出输入关
14、系.定义：在零值初始条件下系统输出和输入拉普拉斯变换的比，写成：,传递函数,在零值初始条件下，对方程两端进行拉普拉斯变换:,传递函数的分母为关于s的n次多项式：,传递函数,特征多项式,根称为传递函数极点 零点 传递函数分子多项式等于零的根称传递函数的零点.,为传递函数的零点,为传递函数的极点,分子的阶次不高于分母阶次的传递函数称为正则传递函数。,传递函数,传递函数说明：1 传递函数是一种数学模型，它表示联系系统输出变量与输入变量的微分方程的一种运算方法。2 是系统本身属性，它与输入量大小、性质无关。3 包含输入量与输出量之间的联系，但不提供任何有关物理结构的信息。4 如果系统的传递函数已知，可
15、以针对各种不同的输入量，研究系统的输出，以便掌握系统的性质。5 如果不知道系统传递函数，则可以通过引入已知输入量并研究系统输出量的实验方法，确定系统的传递函数。,传递函数,导出传递函数的步骤：物理方法：1写出系统的微分方程；2假设全部初始条件为0，对微分方程进行拉普拉斯变换；3求输出量Y(s)与输入量U(s)之比，得传递函数。实验方法：1给系统加已知输入信号，测出系统的输出。2用数学方法求出系统的函数表达式。对函数表达式进行拉普拉斯变换，得到传递函数。,五典型输入下输出响应脉冲响应和阶跃响应,用传递函数描述系统输出输入动态关系,则输入作用下:,在相同输入下，响应因系统特性不同而不同。用典型输入
16、信号，从输出响应了解系统的特性。有单位脉冲函数、单位阶跃函数和单位斜坡函数，其对应的输出为单位脉冲响应、单位阶跃响应和单位斜坡响应。在热工过程中，常用的典型输入信号为单位脉冲函数和单位阶跃函数。,1单位脉冲响应,且,单位脉冲函数 输入下系统的输出.,重要特性,1单位脉冲响应,在 输入下，输出 为:,单位脉冲函数及其近似矩形脉冲,称为脉冲响应函数,系统的权函数.,2单位阶跃响应,单位阶跃函数输入下系统的输出单位阶跃响应.输出响应为：,许多扰动近似阶跃函数性质。例：负荷突然变化,阀门的突然开大或关小等。用阶跃响应来表示一个环节动态性质能较直观地显示出输出变量变化情况。阶跃函数包含信号成分(谱)十分丰富,任意输入函数可以近似成不同作用时刻不同幅度的阶跃函数的叠加。,例2-1的传递函数,其单位脉冲响应为：,两边取拉普拉斯变换，在零初值条件下：,其单位阶跃响应为：,例2-1的输入输出曲线,输入 输出曲线,动态关系描述法,系统的输出-输入动态关系描述法微分方程传递函数典型输入下的输出响应频率特性,
