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1、第六节 微分及其应用 一、微分 二、微分的几何意义 三、一阶微分形式不变性 四、微分的应用,一、微分 一块正方形金属薄片受温度变化的影响时,其边长由 x0 变化到 x0+x,问此薄片的面积改变了多少?,定义2-4 设函数 y=f(x)在某区间内有定义，x0 及 x0+x 在这区间内，如果函数的增量 y=f(x0+x)-f(x0)可表示为 y=A x+o(x)其中 A 是不依赖于x 的常数，而 o(x)是比 x 高阶的无穷小，则称函数 y=f(x)在点 x0 是可微的(differentiable)，而 A x 叫做函数 y=f(x)在点 x0 相应于自变量增量 x 的微分(differenti
2、al),记为 d y，即 d y=A x 函数 y=f(x)在任意点 x 处的微分,称为函数的微分,记为 d y 或 d f(x)d y=A x,函数 f(x)在点 x0 可微的充分必要条件是 f(x)在点 x0 可导，且 d y=f(x0)x。即 可导 可微 d y=f(x0)x,(2)充分性,即,例2-53 求函数 y=esinx 的微分。解 dy=ydx=(esinx)dx=esinx(sinx)dx=esinx cosx dx 例2-54 求函数 y=xlnx 在 x=e,当 x=1 时的微分。解 dy=yx=(xlnx)x=(1+lnx)x,二、微分的几何意义 当自变量 x 在点 x
3、0 处取增量 x 时，由于曲线 y=f(x)上点(x0,y0)处的切线方程为：Y=f(x0)+f(x0)(x-x0)所以 Y=f(x0)+f(x0)(x0+x-x0)-f(x0)+f(x0)(x-x0)=f(x0)x=dy即微分是曲线 y=f(x)在点(x0,y0)处的切线上纵坐标的相应增量。,M,N,）,三、一阶微分形式不变性,结论：,微分形式的不变性,例2-55 y=e1-3x co x，求 dy。解 例2-56 y=ln sin(x+1)2,求 dy。解法一,解法二 由一阶微分形式不变性知 例2-57 设 y=y(x)是由 y3-3y+2ax=0 所确定的函数，求 dy。解 两边同时微分
4、 d(y3-3y+2ax)=d(0)d(y3)-3dy+2a dx=0 3y2dy-3dy=-2a dx,例2-58 在下列等式左端的括号中填入适当的函数，使等式成立。（1）d()=xdx;（2）d()=cos t dt。解（1）因为 d(x2)=2dx，所以 显然，对任何常数 C 都有（2）因为，所以，即，或对任何常数 C 都有,基本初等函数的微分公式,函数和、差、积、商的微分法则,四、微分的应用 在 f(x0)0 的条件下，dy 是 y 的线性主部，当|x|很小时，有近似计算公式：y dy=f(x0)x 将 y=f(x0+x)-f(x0)代入上式，可得：f(x0+x)f(x0)+f(x0)
5、x 令 x=x0+x，则：f(x)f(x0)+f(x0)(x-x0),使用原则:,特别当,很小时,常用近似公式:,很小),证明:,令,得,例2-59 计算 的近似值。解 设，则由于1.05=1+0.05，故令 x0=1,x=0.05显然 f(1)=1,f(1)=1/2，且 x=0.05 相对较小。所以，,例2-60 利用微分计算 sin 3030 的近似值。解 把 3030 化为弧度，得 设 f(x)=sin x，此时 f(x)=cos x 如果取，显然,所以,内容小结:,1.微分概念,微分的定义及几何意义,可微,可导,2.微分运算法则,微分形式不变性:,(u 是自变量或中间变量),3.微分的应用:,近似计算,思考与练习,1.设函数,的图形如下,试在图中标出的点,处的,及,并说明其正负.,x,y,0,x0,x0+x,x,y,0,x0,x0+x,x,y,0,x0,x0+x,1)y0,dy0,y-dy0,2)y0,dy0,y-dy0,3)y0,作业:习题二 57-61,
