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1、第四节 有理函数与 简单无理函数的积分 一、有理函数的积分 二、简单无理函数的积分,一、有理函数的积分 有理函数是指由两个多项式的商所表示的函数，它具有如下形式：其中 n,m 为非负整数,a0,a1,an 和 b0,b1,bm 都是实数，且 a00,b00。假定分子与分母之间没有公因式,定理:如果真分式的分母可分解为两个因式 Q(x)与 R(x)的乘积,则此真分式等于两个部分分式之和(1)如果分母的因式中含有单因子 x-a,则部分分式中含有 的项，其中 A 为待定常数。例,(2)分母中含有因子(x-a)k(k 1),则部分分式中含有其中 A1,A2,，Ak 为待定常数。例(3)如果分母的因式中
2、含有 x2+px+q,则部分分式中含有其中 p2-4q 0,A,B,为待定常数。例,(4)如果分母的因式中含有(x2+px+q)s,(s1),则其中,p2-4q 0,Ai,Bi(i=1,2,s)为待定常数。例 便于求积分必须把真分式化为部分分式之和,同时要把上面的待定的常数确定,这种方法叫待定系数法。,例3-40 求 解 由于所以,例3-41 把真分式 化为部分分式之和。解 方法一：令两边去分母后，得即比较两端系数，得,方法二：令两边去分母后，得 取 x=1 得：B=1；取 x=0 得：-A+1+D=0；取 x=-1得：-4A+2+4D-4C=-2；取 x=2 得：5A+5+2C+D=2，得方
3、程组解得所以,例3-42 求 解 由例子3-41 的结果，得,例3-43 求 解 令化去分母后,得令 x=0 得A=1;x=1,x=2,x=-1,代入上式,得其中,二、简单无理函数的积分 例3-44 求 解 令，则,例3-45 求 解 令，则,例3-46 求 解 由于,令,则,应当指出由于初等函数在其定义域内连续,所以其原函数存在,但是有些初等函数的原函数却不能用初等函数表示。例如：如果一个初等函数的原函数不能用初等函数表示，称这个函数的不定积分“积不出来”。注意：一个初等函数的不定积分“积不出来”，并不是指这个不定积分不存在，而是指它的原函数不是初等函数。,内容小结,1.可积函数的特殊类型,有理函数,分解,多项式及部分分式之和,三角函数有理式,万能代换,简单无理函数,三角代换,根式代换,2.特殊类型的积分按上述方法虽然可以积出,但不一定,要注意综合使用基本积分法,简便计算.,简便,作业：习题三 8,
