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1、1,第四节 二阶常系数线性微分方程,一、二阶线性微分方程解的性质 方程 y+p(x)y+q(x)y=f(x)(9-24)称为二阶线性微分方程(非齐次)若非齐次项 f(x)0,则称为齐次方程.y+p(x)y+q(x)y=0(9-25)定理9-1:若 y1(x),y2(x)是二阶齐次线性微分方程的解,则 y(x)=C1 y1(x)+C2 y2(x)也是该方程的解.证:y1(x),y2(x)都是(9-25)的解 y1+p(x)y1+q(x)y1=0 y2+p(x)y2+q(x)y2=0 y(x)=C1 y1(x)+C2 y2(x)代入方程的左端,得:(C1 y1+C2 y2)+p(x)(C1 y1+
2、C2 y2)+q(x)(C1 y1+C2 y2)=0,2,定理9-2 若 y1(x),y2(x)是二阶齐次线性微分方程(9-25)的解,且 不为常数,则 y=C1 y1(x)+C2 y2(x)是该方程的通解。证：由定理9-1知 y=C1 y1(x)+C2 y2(x)是方程(9-25)的解。由及 不为常数,可知任意常数C1和C2不能合并成一个常数,即它们相互独立,则 y=C1 y1(x)+C2 y2(x)是该方程的通解。,3,注意:定理9-1和定理9-2的区别。当 y1=ky2 时,y=C1 y1+C2 y2=C1ky2+C2 y2(x)=(C1k+C2)y2=C y2其中，只含一个任意常数C，
3、故不是二阶齐次线性微分方程（9-25）的通解。当两个函数的比值等于常数时,称它们线性相关,否则它们线性无关.y1/y2k 例如：，容易验证 和是该方程的两个解，且故 是方程 的通解。,4,定理9-3 若 y*(x)是非齐次线性微分方程的一个特解,Y(x)=C1 y1(x)+C2 y2(x)是与它对应的齐次线性微分方程的通解,则 y(x)=Y(x)+y*(x)是二阶非齐次线性方程 y+p(x)y+q(x)y=f(x)(9-24)的通解.,5,定理9-4 若 y1(x)是非齐次方程 y+p(x)y+q(x)y=f1(x)(9-26),的解,y2(x)是非齐次线性微分方程 y+p(x)y+q(x)y
4、=f2(x)(9-27)的解,则 y(x)=y1(x)+y2(x)是 y+p(x)y+q(x)y=f1(x)+f2(x)(9-28)的解.,6,二、二阶常系数齐次线性微分方程,y+py+qy=0（9-29）设方程的解为 y=erx,则 y=rerx,y=r2erx 代入方程中:erx(r2+pr+q)=0特征方程:r2+pr+q=0（9-30）,(1)当 p2-4q0 时,特征方程(9-30)有实根 r1r2 方程(9-29)有特解：y1=er1x,y2=er2x,y1/y2=e(r1-r2)xk 方程的通解为,7,(2)当 p2-4q=0 时，特征方程(9-30)有一重根 r1,2=-p/2
5、,方程(9-29)有特解：y1=erx设与 y1 线性无关解为 y2,令 y2=u(x)erx y2=u(x)erx+r u(x)erx=u(x)+r u(x)erx y2=u(x)+2r u(x)+r 2u(x)erx 代入方程整理得：y+py+qy=u(x)+(2r+p)u(x)+(r2+pr+q)u(x)erx=0 u(x)=0 u(x)=Ax+B u(x)=x 得方程通解：y=(C1+C2x)erx,8,(3)当 p2-4q0 时，特征方程(9-30)有共轭复根,r1,2=i,方程有两特解 y1=e(+i)x,y2=e(-i)x 由欧拉公式：ei=cos+isin y1=e(+i)x=
6、ex(cos x+isin x)y2=e(-i)x=ex(cos x-isin x)y1=(y1+y2)/2=excos x y2=(y1-y2)/2i=exsin x方程通解为：y=ex(C1cosx+C2sinx),9,二阶常系数齐次方程:y+py+qy=0 的解,10,例9-18 求方程 y-2y-8y=0 的通解,解：特征方程：r2-2r-8=0 r1=-2,r2=4 得方程通解：y=C1e-2x+C2e4x例9-19 求微分方程 y+4y+4y=0 满足初始条件 y|x=0=0,y|x=0=1 的特解 解：特征方程：r2+4r+4=0 r1=r2=-2 y=(C1+C2x)e-2x,
7、由初始条件：C1=0,y=C2e-2x-2C2x e-2x,C2=1 特解为：y=xe-2x,11,例9-20 求微分方程 y-4y+5y=0 的通解,解：特征方程：r2-4r+5=0 得共轭复根 r1,2=2i 方程通解：y=e2x(C1cosx+C2sinx),例9-21 求方程 y+25y=0满足初始条件 y|x=0=0,y|x=0=1 的特解 解：特征方程r2+25=0 特征根为 r1,2=5i 方程的通解为 y=C1cos5x+C2sin5x 由初始条件 C1=2,y=-10sin5x+5C2cos5x,C2=1 特解为：y=2cos5x+sin5x,12,n 阶常系数齐次线性微分方
8、程,y(n)+p1y(n-1)+p2 y(n-2)+pn-1y+pny=0 特征方程：rn+p1rn-1+p2rn-2+pn-1r+pn=0,13,例9-22 求微分方程 y(5)-3y(4)+4y(3)+8y=0 的通解。,解：对应特征方程为：r5-3r4+4r3+8r2=0 r2(r+1)(r2-2r+5)=0 得特征根 r1=r2=0,r3=-1,r4,5=22i 因此通解为：y=C1+C2x+C3e-x+e2x(C4cos2x+C5sin2x),14,三、二阶常系数非齐次线性微分方程,y+py+qy=f(x)特征方程:r2+pr+q=0非齐次方程的通解=齐次方程的通解+非齐次方程特解(
9、一)f(x)=exPm(x)其中 Pm(x)为 m 次多项式,是常数,15,16,例9-23 求微分方程 y-5y+6y=xe2x 的通解,解：解特征方程：r2-5r+6=0 得特征根：r1=2,r2=3,得对应齐次方程的通解：Y(x)=C1e2x+C2e3x f(x)=xe2x,=2 是特征根 设非齐次方程的特解为 y*(x)=x(a+bx)e2x=(ax+bx2)e2x y*=(a+2bx)e2x+2(ax+bx2)e2x=a+2(a+b)x+2bx2e2x y*=2(2a+b)+4(a+2b)x+4bx2e2x 代入方程,约去e2x 有-a+2b-2bx=x 解得:a=-1,b=-1/2
10、 得特解：y*(x)=-1/2x(x+2)e2x 得通解：y(x)=Y(x)+y*(x)=C1e2x+C2e3x-1/2x(x+2)e2x,17,(二)f(x)=exPm(x)cosx+Pn(x)sinx,18,例9-24 求微分方程 y+y=ex+cos x 满足初始条件 y|x=0=1,y|x=0=1 的特解,解：特征方程：r2+1=0 的根 r=i,得齐次方程的通解：Y(x)=C1cosx+C2sinx f1(x)=ex,=1 不是特证根,设 y1*=aex,f2(x)=cos x,i 是特征根,设 y2*=x(bcosx+csinx),y*=y1*+y2*=aex+x(bcosx+cs
11、inx),y*=aex+bcosx-bxsinx+ccosx+cxcosx=aex+(b+cx)cosx+(c-bx)sinx y*=aex+(2c-bx)cosx-(2b+cx)sinx 代入原方程 aex+(2c-bx)cosx-(2b+cx)sinx+aex+x(bcosx+csinx)=ex+cosx,19,2a=1 比较系数,得 2c=1-2b=0 解得:a=1/2,c=1/2,b=0 特解:y*=1/2ex+1/2xsinx 通解:y=C1cosx+C2sinx+1/2ex+1/2xsinx 由 y|x=0=0,C1=1/2 y=-1/2sinx+C2cosx+1/2ex+1/2sinx+1/2xcosx y|x=0=1 C2=1/2故方程的特解为 y=1/2cosx+1/2sinx+1/2ex+1/2xsinx,整理得:2aex+2ccosx+2bsinx=ex+cos x,20,作业:习题九,17,18,21,22,23,
