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1、第6次 数值积分-插值型积分-误差-求积公式的收敛性与稳定性,计算方法(Numerical Analysis),第四章 数值积分,数值积分引论机械求积方法以简单函数近似逼近被积函数方法-插值型求积公式插值型求积公式的例子求积公式的收敛性和稳定性,数值积分引论,第四章 数值积分,4.0 引言若函数f(x)在区间a,b上连续且其原函数为F(x),则可用Newton-Leibnitz公式:,求定积分的值。,评论：Newton-Leibnitz公式 无论在理论上还是在解决实际问题上都起了很大作用，但它并不能完全解决定积分的计算问题。,(1)被积函数f(x)没有用初等函数的有限 形式表示的原 函数F(x
2、)，例如：,(2)被积函数f(x)的原函数能用初等函数表示，但表 达式太复杂，例如 的原函数：,则无法应用Newton-Leibnitz公式。,在实际计算中经常遇到以下三种情况：,(3)被积函数f(x)没有具体的解析表达式,其函数 关系由表格或图形表示。,对于以上情况，通过Newton-Leibniz公式求原函数计算积分的准确值都是十分困难的。因而需要研究一种新的积分方法：数值解法来建立积分的近似计算方法。将积分区间细分,在每一个小区间内用简单函数代替复杂函数进行积分，这就是数值积分的思想，用代数插值多项式去代替被积函数f(x)进行积分是本章讨论数值积分的主要内容。,Home,机械求积方法,4
3、.1 数值积分概述,图4-1 数值积分的几何意义,积分值 的几何表示：由x=a,x=b,y=0以及y=f(x)这四条边所围的曲边梯形面积。该面积难于计算是因为它有一条曲边y=f(x)。,4.1.1 数值积分的基本思想,y=f(x),y,a,b,最常用的建立数值积分公式的两种方法：,本段讲授机械求积方法.,即所求的曲边梯形的面积恰好等于底为(b-a)，高为 的矩形面积。但点的具体位置是未知的,因而 的值也是未知的。,第1种：机械求积方法.,第2种：使用简单函数近似代替被积函数的方法,由积分中值定理可知，对于连续函数f(x)，在积分区间a,b内存在一点，使得,谜,三个求积分公式,y,构造出一些求积
4、分值的近似公式。,则分别得到如下的梯形公式和中矩形公式。,梯形公式中的,y,中矩形公式中的,例如分别取：,梯形公式,x,a,b,y=f(x),a,b,用梯形面积代表积分值,中矩形公式,y=f(x),a,b,y,x,(a+b)/2,a,b,用区间中点的函数值为高的矩形面积代表积分值,y=f(x),y,Simpson公式,a,b,Simpson公式是以函数f(x)在a,b,(a+b)/2这三点的函数值的加权平均值作为平均高度f().,(a+b)/2,Home,以简单函数近似逼近被积函数方法插值型求积公式,先用某个简单函数 近似逼近f(x),用 代替原被积函数f(x)，即,函数 应该对f(x)有充分
5、的逼近程度,并且容易计算其积分。,第2种：使用简单函数近似代替被积函数的方法,以此构造数值算法。,通常，将 选取为f(x)的插值多项式,这样f(x)的积分就可以用其插值多项式的积分来近似代替。,要求：,4.1.2 插值求积公式,其中，对k=0,n,其中,称为求积系数。,取 作为 的近似值，即,记为,定义4.1 求积公式,当其系数 时，则称求积公式为插值（型）求积公式。,(4.1),记(4.1)的余项为，由插值余项定理得,其中,注意：当f(x)是次数不高于n的多项式时，因此，求积公式(4.1)成为准确的等式。,例1 给定插值节点,为定积分,构造插值求积公式。,解：以这三点为插值节点的Lagran
6、ge插值基函数为,从而，得到插值型求积公式如下：,例2 设积分区间a,b为0,2，取,解:梯形公式和辛卜生的计算结果与准确值比较如下表所示,计算其积分结果并与准确值进行比较。,分别用梯形和辛卜生公式：,可以看出，当f(x)是 x2,x3,x4 时,辛卜生公式比梯形公式更精确。,同学们，自己验证,某求积公式能对多大次数的多项式f(x)成为准确等式，是衡量该公式的精确程度的重要指标。,代数精度的定义：如果求积公式（4.1）对于一切次数小于等于m的多项式,是准确的，而对于次数为m+1的多项式是不准确的，则称该求积公式具有m次代数精度。,在公式4.1中，令f(x)=1,x,x2,x3,xn,若求积公式
7、（4.1）的代数精度为n，则其系数 应满足:,定理4.1 n+1个节点的求积公式,为插值型求积公式公式至少具有n次代数精度。,证:必要性.设n+1个节点的求积公式,插值型求积公式判断条件,为插值型求积公式，求积系数为：,又，当f(x)为不高于n次的多项式时,f(x)=P(x),其余项R(f)=0。因而这时求积公式至少具有n次代数精度。,充分性：若求积公式至少具有n次代数精度,则对n次多项式,精确成立，即,从而,所以由（*）和(*)知：,即求积公式为插值型求积公式。,其中,(*),(*),重要结论：梯形公式具有1次代数精度；辛卜生公式有3次代数精度（同学们自己验证）。,取f(x)=1，显然上式两
8、端相等。,取f(x)=x,取f(x)=x2,所以梯形公式只有1次代数精度。,下面以梯形公式为例进行验证,Home,插值型求积公式的例子,例3 试确定一个至少具有2次代数精度的公式,解:要使公式具有2次代数精度，则对f(x)=1,x,x2，求积公式准确成立，即得如下方程组。,解之得：,所求公式为：,插值型求积公式,系数的值与1）积分区间a,b有关，2）节点的选取有关；3）和具体的f(x)无关,例4 试确定求积系数A,B,C，使得,可验证，该公式对于f(x)=x3 也成立(意外收获)，而对x4 不成立。因此，该求积公式有3次代数精度。,A=1/3,B=4/3,C=1/3,具有最高的代数精度。,解:
9、分别取f(x)=1,x,x2，使求积公式准确成立,得:,Simpson求积公式,做法：选定n+1个插值节点，按照插值公式构造求积公式后，应验算该求积公式是否还有n+1次或更高的代数精度。,问题：n+1个节点的插值型求积公式的代数精度究竟有多高？,回答：n+1个节点的插值求积公式保证了至少有n次代数精度。,结论：n+1个节点的插值型求积公式的代数精度至少为n，但是有可能比n还大？,解：该插值求积公式具有3个节点，因此至少有2次代数精度。,例5 已知插值求积公式（按照插值公式构造的系数）,将f(x)=x3代入公式两端，左端=右端=(b4-a4)/4,公式两端严格相等，再代入f(x)=x4两端不相等
10、，故该求积公式具有3次代数精度。,讨论该公式的代数精度。,Simpson 公式,是否有3次代数精度呢？,的代数精度。,例6 考察求积公式,评论：三个节点不一定具有2次代数精度，因为不是插值型的！,解：可验证,对于f(x)=1,x时公式两端相等,再将f(x)=x2代入公式，经过计算，左端=2/3，右端=1。所以该求积公式具有 1 次代数精度.,课堂练习,例7 给定求积公式如下：,试证此求积公式是插值型的求积公式。,证明:,从而求积公式至少有2次代数精度，由定理4.1，此求积公式是插值型求积公式。可验证，该公式有3次代数精度。,课堂练习,上的插值基函数、和插值求积公式如下：,另外一种验证方法-具体
11、地计算出以下插值型求积公式中的积分系数,A,B,C.实际上，在例1中，已经求出了在插值节点,这和题目中所给定的求积公式相同，因此题目中的积分公式是插值型求积公式。这个方法比较复杂。,例8 求证,不是插值型的。,证明:设 x0=-1,x1=0,x2=1,从而求积公式拥有3个节点，但是仅有1次代数精度，由定理4.1，此求积公式不是插值型求积公式。,课堂练习,例9 给定求积公式,试确定求积系数A-1,A0,A1,使其有尽可能高的代数精度，并指出其代数精度。,解：令求积公式对f(x)=1,x,x2准确成立，则有,课堂练习,解之得:,其代数精度至少为2,将f(x)=x3代入求积公式两端相等；,将f(x)
12、=x4代入求积公式两端不相等；,所以其代数精度为3次,构造插值求积公式有如下特点：,1）复杂函数f(x)的积分转化为计算多项式的积分；,2）求积系数Ak只与积分区间及节点xk有关，而与被 积函数f(x)无关，无论f(x)如何，永远可以预先 算出Ak的值；,3）n+1个节点的插值求积公式至少有n次代数精度；,4）求积系数之和 可用此检验计算求积系数的正确性。,(1)在积分区间a,b上选取节点xk,(3)利用f(x)=1,x,xn,验算代数精度,构造插值求积公式的步骤：,(2)求出f(xk)及利用 或解关于Ak的线性方程组求出Ak，得到:,例10 对,构造至少有3次代数精度的求积 公式。同学自己完
13、成。,解:3次代数精度需4个节点,在0,3上取0,1,2,3四个节点构造求积公式,确定求积系数Ak(k=0,1,2,3),利用求积系数公式,因为求积公式有4个节点，所以至少具有3次代数精度，只需将f(x)=x4代入来验证其代数精度。将f(x)=x4代入两端不相等，所以只有3次代数精度。,Home,求积公式的收敛性和稳定性,、求积公式的收敛性和稳定性,一般地，求积公式,通常称为机械求积公式。,若f(x)在a,b上有n+1阶连续导数，则插值型求积公式的余项的表达式为：,误差估计公式,例1 使用以下的插值型求积公式，,计算,并且估计误差。,解：利用以上求积公式，得,误差估计:,用牛顿-莱布尼茨公式计
14、算，得精确解：,本题近似计算结果=2.3619,计算x(1-x2)在0,1上的定积分，得到误差估计：|Rf|=e/12=0.2266,实际误差 R=|2.3619-2.3504|=0.0115,问题：为什么实际误差比使用公式得到的误差估计 值要小？,求积公式的收敛性定义,定义2 在求积公式(1.3)中，若,其中，则称求积公式(1.3)是收敛的。,求积公式的稳定性定义,则称公式（1.3）是稳定的。,不会由f(xk)的微小误差而导致积分值产生大的变化,定理2 若求积公式（1.3）中的系数Ak0,k=0,1,n，则求积公式是稳定的。,证明：,按照稳定性定义，求积公式是稳定的。,作业习题 1(1)(3),2(1),Home,
