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1、第4次 最佳一致逼近多项式,计算方法(Numerical Analysis),内容,函数逼近的基本概念切比雪夫多项式最佳一致逼近多项式切比雪夫多项式在函数逼近中的应用利用切比雪夫多项式的0点构造最佳逼近多项式的例子,函数逼近的基本概念,1 函数逼近的基本概念,第3章 函数逼近与曲线拟合,一、函数逼近与函数空间,实际应用需要使用简单函数逼近已知复杂函数。,定理1具有重要的理论意义；Bernstan多项式收敛到f(x)较慢，不常用。,x,y,y=L(x),一致逼近的几何意义,Home,切比雪夫多项式,由三角表达式定义的多项式,切比雪夫多项式在逼近理论中有重要的应用。,切比雪夫(Chebyshev)
2、多项式,切比雪夫多项式的0点可以用于构造具有最佳一致逼近性质的插值多项式。,切比雪夫多项式的(简单)定义：,称为切比雪夫多项式。,(2.10),课堂练习：推出T4(x),切比雪夫多项式的前几项：,切比雪夫多项式的表达式,切比雪夫多项式的性质,（1）基本递推关系,（2）正交性,当mn:,当m=n0,当m=n=0,根据积化和差公式：,利用数学归纳法证明：,（3）奇偶性,（4）切比雪夫多项式的零点,接近-1和1的地方越密。过这些0点作平行于y轴的直线，这些直线与上半单位元的交点形成了一个关于圆弧的等距的点的集合。,图为T11(x)的零点，一共有11个,（5）切比雪夫多项式的极值点,T1(x),T2(
3、x),T3(x),T4(x),T3(x)有3个0值点，4个极值点,1,-1,1,-1,总结：Tn(x)具有很好的性质。,Tn(x)是n阶多项式，具有n个0点，n+1个极值点；有界-1,1；T1(x),T3(x),只含x的奇次项，是奇函数，T2(x),T4(x),只含x的偶次项，是偶函数。,x,y,Home,最佳一致逼近多项式,3 最佳一致逼近多项式,一、基本概念及其理论,目的：求一个能够按照绝对值逼近f(x)的最佳 n次多项式,不超过n次的实系数多项式的全体,偏差的定义,确定的Pn(x),对所有的Pn(x)Hn,最佳一致逼近多项式的存在性定理,p(x)的系数an,Home,切比雪夫多项式在函数
4、逼近中的应用,三、切比雪夫多项式在函数逼近中的应用,希望构造最高次幂xn 系数为1 的多项式：,三、切比雪夫多项式在函数逼近中的应用,证明比较复杂，省略。,这个定理的结论非常重要,怎样才能使得拉格朗日插值多项式成为最佳逼近？,偏差估计,最佳一致逼近0的多项式,而上式成立的充分必要条件是x0,x1,xn是切比雪夫多项式的0点。,证明：,已知|Tn(x)|=1,对任意区间a,b，不能直接使用定理7。,例如：为将0,1-1,1，可以令：,则,针对g(t)使用定理7,最佳逼近拉格朗日插值多项式的构造步骤,Home,利用切比雪夫多项式的0点构造最佳逼近多项式的例子,解：利用定理7，构造所求的L4(x)；
5、令：,tk,例4.求f(x)=ex 在0,1上的4次最佳一致逼近 多项式L4(x),并且估计误差。,Lagrange插值多项式为,经过比较复杂的计算，得：,误差估计：注意到变换 x=(t+1),这说明，在区间0,1上使用多项式L4(x)逼近ex 的绝对值误差非常小，避免了龙格现象。,T5(t)最高次幂系数为24,现在试图用Newton插值多项式逼近,这个结果和使用拉格朗日插值法所得到的结果稍有误差，由具体计算的小数点后位数引起。,例5.求f(x)=1/(1+x2)在-5,5上的10次最佳 一致逼近多项式L10(x),并且估计误差。,解：在-1,1上的切比雪夫多项式T11(x)的0点 为,做变换 x=5t,当t-1,1的时候，x-5,5,x,y,y=L 10(x),-5,5,总结,最佳逼近：设有函数类A，若 存在函数类BA。对函数f(x)A，若存在函数*(x)B，使得在某种范数下|f-*|=|f-|,B成立。,结论：f(x)要充分光滑，插值节点选取也很特别。,总结(续),作业 P94 11,Home,
