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1、随机误差,随机误差产生的原因,随机误差的特性特征,随机误差处理的基本原则,随机误差的分布,正态分布,非正态分布,随机误差的数据处理,算术平均值,算术平均值的标准差,实验标准差,贝塞尔公式,修正贝塞尔公式,极差法,最大误差法,极限误差,极限误差的定义,单次测量的极限误差,算术平均值的极限误差,随机误差的概述,第一节 随机误差的概述,1.1 随机误差产生的原因 随机误差是由众多的、微小的因素造成的。这些因素中，有的尚未掌握其影响测量准确的规律；有的是在测量过程中对其难以完全控制的微小变化，而这些微小变化又给测量带来误差。如实验条件的偶然性微小变化，如温度波动、噪声干扰、电磁场微变、电源电压的随机起
2、伏、地面振动等。再如，测量人员瞄准、估读时，围绕其习惯性偏差的微小的不稳定性均导致随机误差。,举例：某台激光数字波面干涉仪，对其进行准确度考核，在相同测量条件下对某标准平晶的表面面形进行150次重复测量获得面形峰谷值数据。通过实验分析，查询有关的技术资料和其他信息，可知随机误差来源 结论：对具体测量问题具体分析，从所用的设备、人员、测量方法等资源以及环境等要素中去分析寻找主要的随机误差来源。,150次的面形峰谷值数据,0.124 0.120 0.118 0.119 0.121 0.125 0.121 0.123 0.120 0.118 0.119 0.117 0.118 0.121 0.119
3、 0.118 0.119 0.119 0.115 0.120 0.119 0.119 0.119 0.116 0.116 0.118 0.121 0.120 0.122 0.122 0.119 0.121 0.121 0.124 0.121 0.118 0.118 0.119 0.120 0.118 0.119 0.122 0.118 0.119 0.119 0.117 0.118 0.118 0.118 0.120 0.119 0.118 0.120 0.124 0.120 0.118 0.118 0.119 0.121 0.123 0.124 0.123 0.118 0.119 0.119
4、 0.120 0.120 0.119 0.119 0.118 0.123 0.121 0.119 0.118 0.120 0.120 0.120 0.119 0.120 0.123 0.118 0.121 0.119 0.121 0.120 0.123 0.123 0.121 0.118 0.119 0.120 0.121 0.122 0.119 0.121 0.122 0.119 0.120 0.117 0.125 0.119 0.127 0.120 0.124 0.123 0.123 0.118 0.119 0.124 0.122 0.123 0.124 0.121 0.123 0.123
5、 0.121 0.120 0.121 0.123 0.127 0.125 0.121 0.120 0.124 0.123 0.123 0.124 0.123 0.119 0.121 0.123 0.129 0.121 0.120 0.121 0.124 0.123 0.121 0.125 0.119 0.122 0.127 0.121 0.120 0.122 0.121 0.122 0.123 0.124 0.121,（1）测量装置方面的因素：氦氖激光源辐射激光束的频率不够稳定造成激光波长的漂移，离散化采样误差、各次装夹定位不一致，CCD光电探测器采集信号及其电信号处理电路造成干涉图像信号的随
6、机噪声。,（2）测量环境方面的因素：放置测量主机和被测试样的隔震台不能很好消除外界的低频震动，仪器所在实验室气流和温度的波动，空气尘埃的漂浮、稳压电源供电电压的微小波动。,（3）操作人员方面的因素：操作人员的装夹调整不当引起被采集的测量干涉图像质量低、条纹疏密不当，采集干涉图像的摄像头变焦倍数过小造成较大的离散化采样误差。,数据特点：,数据列表明，各次测值不尽相同，这说明各次测量中含有随机误差，这些误差的出现没有确定的规律，即前一个数据出现后，不能预测下一个数据的大小。但就数据整体而言，却明显具有某种统计规律，这个规律可以用统计直方图来表示。如下图所示：,0.114,0.116,0.118,0
7、.12,0.122,0.124,0.126,0.128,0,10,20,30,40,50,经过分析，由于上述误差源多而又不能断定哪个误差源的影响占主要地位，因此造成该统计直方图大致呈现正态分布的特征。如果其中有个别非正态的随机误差因素明显占优，则该统计直方图就会呈现其他分布的特征。,1.2 随机误差的特性特征,1、随机误差特性 随机误差的特性可归纳为三个方面：具有随机性、产生在测量过程中、与测量的次数有关，重复性条件下增加测量次数可减小随机误差对测量结果的影响。2、随机误差的本质特征（1）随机误差的表述 设被测量的真值为，一系列测量值为，如果各次测量值中不含有系统误差，则根据对随机误差 的定义
8、，有：,（2）随机误差的抵偿性,当测量次数n充分大时，有,以及,抵偿性是各种随机误差所共有的本质特征。,综上所述，对于任何的测量，其中的随机误差源客观存在，造成对每次测量数据的不可预测的随机性影响。这种影响表现在该测量数据总体服从某种分布，它的误差大小可以通过标准差来估计，其误差界限则可用置信区间表示，例如：当正态分布来描述随机误差时，实际上往往用 的一个有界区间来表示。如果随机误差过大，则会影响测量的质量。因此，在测量中自始自终要设法减小随机误差，努力提高测量的质量水平。,1.3 随机误差处理的基本原则,随机误差性质上属于随机变量，其处理方法的理论依据是概率论与数理统计。具体参量可用随机变量
9、的数学期望（算数平均值）、方差（标准偏差）和置信概率等三个特征来描述。,第二节 随机误差的分布,2.1 正态分布 随机误差统计直方图提供了随机误差的分布，即随机误差符号和绝对值的分布情况。因为绘制图形时的测量次数是有限的（150次），所以此时提供的只是大致的情况。为了准确的反映随机误差的分布，必须经过充分多次的测量，使测量次数趋近于无穷，并将误差区间划分的充分小，此时直方图上各个矩形边缘形成一条曲线。这条连续的、对称的曲线称为随机误差的正态分布概率密度曲线。,正态分布的密度函数,为测量总体的数学期望，如不计系统误差，则 即为随机误差。,为测量总体的标准差，是评价随机误差的基本指标，它的数值决定
10、于标准器、仪器仪表、测量环境、测量人员和被测对象等各项因素。对同一被测对象，测量系统确定后，标准偏差 的数值也就随之确定。不同测量系统则 取值也不同。,服从正态分布的随机误差的特征,（1）单峰性：小误差出现的概率比大误差出现 的概率大。（2）对称性：正误差出现的概率与负误差出现的概率相等。（3）有界性：在一定条件下绝对值不会超过一定界限。（4）抵偿性：随测量次数增加，随机误差算术平均值趋于零。,测量实践证明，绝大多数的随机误差均服从正态分布，但是也有一些随机误差按其他规律分布，如有的按均匀分布，有的按反正弦分布等。但是概率论研究成果告诉我们，即使服从不同分布的误差，只要它们足够多数量、相互独立
11、且都均匀的，那么它们合成分布仍然近似正态分布，并以正态分布为极限，因此，正态分布是随机误差的主要概率分布。,2.2 非正态分布 均匀分布、三角分布、反正弦分布、t分布、分布、F分布。,第三节 随机误差的数据处理,在等权测量条件下，对某被测量进行多次重复测量，得到一系列测量值,常取算术平均值,作为被测量真值的最佳估计。,3.1 算术平均值,若测量次数无限增多，且无系统误差下，由概率论的大数定律知，算术平均值以概率为1趋近于真值,因为,根据随机误差的抵偿性，当n充分大时，有,简单地说，大数定理就是“当试验次数足够多时，事件发生的频率无穷接近于该事件发生的概率”,若测量次数有限，由参数估计知，算术平
12、均值是该测量总体期望的一个最佳的估计量，即满足无偏性、有效性、一致性。,满足最小二乘原理：该所有测量值对其算术平均值之差的平方和达到最小。,在正态分布条件下，满足最大似然原理即该测量事件发生的概率最大。,3.2 算术平均值的标准差,单次测量标准差,算术平均值的标准差,根据概率论中关于方差的性质，可得到该算数平均值的标准差与单次测量标准差有如下关系：,上式表明，当测量次数n愈大，算术平均值的标准差愈小，即愈接近真值。可见，增加测量次数取其算术平均值表示测量结果，是减小随机误差的一种途径。,10次算术平均值与单次测量的分布关系,如右图所示，10次测量的算术平均值与单次测量的总体分布关系，可以更全面
13、而形象的说明这样一个事实，即两个的分布类型和峰值位置未发生变化，只是分散性不同。,当 一定时，n 10 以后，已减小得较缓慢。,测量次数愈大时，也愈难保证测量条件的不变，从而带来新的误差。另外，增加测量次数，必然会增加测量的工作量及其成,本。因此一般情况下，取10n15 以内较为适宜。总之，要提高测量准确度，应选用适当准确度的测量仪器，选取适当的测量次数。,3.3实验标准差,定义：对于一组测量数据，我们往往用其标准差来表述这组数据的分散性。如果这组数据是来自于某测量总体的一个样本，则该组数据的标准差是对该测量总体标准差的一个估计，称其为样本标准差，又称为实验标准差。标准偏差的基本方法：贝塞尔公
14、式、极差法、最大误差法。,（1）贝塞尔公式,计算公式,是方差的无偏估计，但s并不是标准差 的无偏估计，因此还可以得到一个经过无偏修正的贝塞尔公式，在后面可以看到。,为残余误差，简称残差。,总体标准差的估计(实验样本标准差),修正贝塞尔公式,贝塞尔公式的修正因子,3,4,5,6,7,8,9,10,15,20,1.25,1.13,1.09,1.06,1.05,1.04,1.04,1.03,1.03,1.02,1.01,值随 减少明显偏离系数1,在样本数较小的情形（如），为了提高对s估计的相对误差，最好用无偏修正的贝塞尔公式。,在n次测量服从正态分布且独立的条件下，可以导出如下两个关系式：,估计标准
15、差的相对误差，用百分数表示，该百分数愈小，表示估计的信赖程度愈高。,适用的估计贝塞尔公式的相对误差的公式,估计标准差的相对误差,几种估计标准差的相对误差,贝塞尔公式,0.80,修正贝塞尔公式,0.60,极差法,0.76,最大误差法,0.75,0.51,1,2,3,0.57,0.46,0.52,0.45,0.47,0.39,0.43,0.40,0.40,0.34,0.37,0.36,0.36,0.31,0.34,0.33,0.32,0.28,0.31,0.31,0.30,0.26,0.29,0.29,9,0.28,0.25,0.27,0.28,10,0.26,0.23,0.26,0.27,20,
16、0.17,0.16,0.20,0.23,当样本数较小的情形用贝塞尔公式估计的信赖程度已经开始低于极差法和最大误差法，应当改用修正的贝塞尔公式来估计标准差。,（2）极差法,对多次独立测得的数据，最大值，最小值，计算它们的差值称为极差即：,当测量误差服从正态分布时，标准差的计算公式,估算时的相对误差,极差,s也是测量总体标准差 的无偏估计，由它估算,极差法系数,1.13,0.76,9,2.97,0.27,16,3.53,0.21,3,1.69,0.52,10,3.08,0.26,17,3.59,0.21,4,2.06,0.43,11,3.17,0.25,18,3.64,0.20,5,2.33,0.
17、37,12,3.26,0.24,19,3.69,0.20,6,2.53,0.34,13,3.31,0.23,20,3.74,0.20,7,2.70,0.31,14,3.41,0.22,8,2.85,0.29,15,3.47,0.22,公式中 和 的值可见如上表，与贝塞尔公式的估计标准差进行比较，可见在n10时，其相对误差比未修正的贝塞尔公式略小，而且计算方便，但仅适用于正态分布总体，故在一些测量领域中也采用它。,（3）最大误差法,估算时的相对误差,在已知被测量的真值的情形，多次独立测得的数据，计算它们的真误差，从中找出绝对值最大的，测量误差服从正态分布时，估计标准差的计算公式,在一般情况下，被
18、测量的真值难以知道，无法应用最大误差法估计标准差，可以用最大残余误差 估计标准差,0.88,0.51,1.77,1,2,3,0.75,0.45,1.02,0.68,0.40,0.83,0.64,0.36,0.74,0.61,0.33,0.68,0.58,0.31,0.64,0.56,0.29,0.61,10,0.53,0.27,0.57,20,0.46,0.23,0.25,1.25,0.75,最大误差法系数,对某量测得数据有7.7,7.7,7.5,7.7,7.7,7.7,7.9,7.6,7.7,7.8,7.9，试分别用贝塞尔公式、修正贝塞尔公式、极差法、最大误差法估计其测量标准差及其标准差的相
19、对标准差。,(1)用贝塞尔公式估算,查表，并插值计算,(2)用修正贝塞尔公式估算,查表，并插值计算,(3)用极差法估算,查表，得,故,（4）用最大误差法估算,真值未知，计算最大残差,查表，插值计算得,故,比较上述四种方法对s的估计，贝塞尔公式和修正贝塞尔公式十分接近，而极差法和最大误差法明显估计偏小。从估计相对误差上看，贝塞尔公式和修正贝塞尔公式较好，因为样本数大于10，用贝塞尔公式估算并没有显著改善。从估算简易程度上看，极差法和最大误差法公式简单，但需要查表计算。另外，极差法和最大误差发的公式中所用的系数都是在假设为正态分布的条件下计算出来的。如果偏离正态分布比较大的情形，也照搬这些公式及其
20、系数，则会影响估计得信赖程度。,第四节 极限误差,4.1 极限误差的定义 测量的目的在于掌握被测对象的客观实际状态（真值），但是测量的结果总是含有误差，在数据上不等于被测的真值。测量结果与被测的差异是由两部分组成的：一部分是由随机误差的存在而引起的；另一部分是由于不能完全消除的系统误差的存在而引起的。对于随机误差造成的那部分差异的确定，通常用估计随机误差界限，即确定随机极限误差的办法来解决。,极限误差时指极端误差，是误差不应超过的界限，此时对被测量的测量结果（单次测量或测量的算术平均值）的误差，不超过极端误差的置信概率，并使差值 可以忽略。此极端误差称为测量的极限误差并用表示。,极限误差 的值
21、可依据测量标准差，误差分布及要求的置信概率确定：,或,称为置信因子，是误差分布、自由度和置信概率的函数，通常有表可查。,4.2 单次测量的极限误差,在一组测量值中，大小 为的测量值落入指定区间 内的概率称为置信概率，而该指定区间 称为置信区间。,显然置信区间取得宽，置信概率就大，反之则小。一般，当置信区间宽为 时，测量值落入区间 内的概率为68.3%，也就是说，进行100次测量，大约有68次的值是落在 的范围的。,当置信区间宽为 时，对应概率为95.4%,当置信区间宽为 时，对应概率为99.7%,把置信区间 作为单次测量随机误差可能出现的界限。此时的可靠性即置信概率为99.7%。对于这个置信区间，即置信概率为0.997对应的，一般称为测量的极限误差。,4.3 算术平均值的极限误差 已知单次测量的标准偏差为s，n次测量结果的算术平均值 的标准偏差为。因此，算术平均值 的不确定度表示为,算术平均值 的极限误差为：,
