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1、第一讲 协方差传播律及权,侧方交会中，A、B两点的坐标以及两点之间的距离已知，坐标 方位角为，由交会的观测角，求交会点的坐标。,问题：观测值的函数的中误差与观测值的中误差之间，存在着怎样的关系？,side2,一、协方差传播律1、观测值线性函数的方差,已知：,那么：,证明：设：,那么：,side3,side4,设，已知，求 的方差。,解：,由协方差传播律可知：,例：,side5,解：,令,所以，角X的中误差为,例2：,side6,2、多个观测值线性函数的协方差阵,已知：,side7,在一个三角形中，同精度独立观测得到三个内角L1、L2、L3，其中误差为，将闭合差平均分配后各角的协方差阵。,说明：
2、,解：,相关,相等,精度提高,例3：,side8,解：,例4：,设有观测值X的非线性函数：,已知：,3、非线性函数的情况,side10,将Z按台劳级数在X0处展开：,side11,side12,例6：设有观测向量L，已知其协方差阵试求下列函数的方差；,解：）,2）将F2取全微分后得,side13,已知,例7：,side14,略解：,side15,协方差传播应用步骤:,根据实际情况确定观测值与函数,写出具体表达式,运用协方差传播律，写出观测量的协方差阵,对函数式进行线性化，求全微分,将微分关系写成矩阵形式,side16,1、水准测量的精度,二、协方差的应用,精度降低了倍,说明：当各测站的距离大致
3、相等时，水准测量高差的中误差与距离的平方根成正比。,side17,精度提高了倍,设对某量以同精度独立观测了N次，得到观测值N个，每次测量的中误差均等于,2、同精度独立观测值的算术平均值的精度,side18,解：,例1：Sab=100m，丈量4次平均值的中误差为2cm，若以同样精度丈量CD16次，Scd=900m，求两段距离的相对中误差。,side19,4、交会定点的精度,6、时间观测序列平滑平均值的方差,5、GIS线元要素的方差,3、若干独立误差的联合影响,side20,1、权的定义,称为观测值Li的权。权与方差成反比。,二、权与定权的常用方法,side21,例：,side22,3）权是衡量精
4、度的相对指标，为了使权起到比较精度的作用，一个问题只选一个0。,5）权可能有量纲，也可能无量纲，视0和的单位而定。,4）只要事先给定一定的条件，就可以定权。,6）方差之间比例关系的数字特征。,说明：,side23,3、常用的定权方法,1）、水准测量的权,或,2、单位权中误差,side24,2）、边角定权,side25,例1：甲、乙、丙三人在A、B两水准点间作水准测量，甲路线观测高差为a,单位权中误差为正负3毫米（以2km为单位权）。乙路线观测高差为b,单位权中误差为正负2毫米（以1km为单位权）。丙路线观测高差为c,单位权中误差为正负4毫米（以4km为单位权）。现欲根据a,b,c三值求A、B间
5、高差的带权平均值，试求三者的权之比。,side26,解：先求甲、乙、丙三人每公里观测高差的中误差,side27,例2：设对丈量10公里的距离，同精度丈量10次，令其平均值的权为5，现以同样等级的精度丈量2.5公里的距离。问丈量此距离一次的权是多少？在本题演算中是以几公里的丈量中误差作为单位权中误差的？,解：由同精度观测值的算术平均值的基本公式得，一次观测的权倒数,所以每次丈量10km的距离的权为：,则,故,即丈量2.5km的距离一次的权为2。所以本题演算中是以5km距离一次丈量中误差作为单位权中误差的。,side28,X角为L1，L2两角之和，是由20次观测结果平均而得，每次观测中误差为，是由
6、16次观测结果平均而得，每次观测中误差为 若以 作为单位权中误差，求X角的权。,例3：,side29,1、协因数与协因数阵,三、协因数与协因数传播律,side30,不难得出：,QXX为协因数阵,变换形式为：,side31,I 对称，对角元素为权倒数 II 正定 III 各观测量互不相关时，为对角矩阵。当 为等精度观测，单位阵。,特点：,side32,2、权阵,a、当L相互独立时；,b、当L不相互独立时,注：权、权阵、协因数阵的概念,1、引入协因数的意义,权阵P与权P是两个不同的概念：1、当P为对角阵时，P中对角线元素恰为权P；2、当P不是对角阵时，P中对角线元素不等于权P,side33,例1：
7、,side34,2、协因数传播律,已知：,side35,已知：,设有观测值X的非线性函数：,side36,解：,例3：,side37,三个方向观测值L1，L2，L3为同精度独立观测值，求 的权,解：,例4：,side38,例5：对某量进行三次同精度观测，得独立观测值L1，L2，L3，由此求得平差值和改正数向量,side39,四、由真误差计算中误差及其实际应用,1、由三角闭合差求测角中误差,2、由双观测值之差求中误差,side40,1、求这组闭合差的中误差；2、各角观测值的中误差；3、每测回观测值的中误差,例6：对一三角形的三个角进行了九组同精度的观测，各组观测值是对各角分别观测四回的平均值，得到三角形闭合差为：,side41,）由于包含系统误差，故偶然误差为：,则这组闭合差的中误差为：,）,3）,解：,
