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1、网络的最大流,如何制定一个运输计划使生产地到销售地的产品输送量最大。这就是一个网络最大流问题。,网络的最大流,基本概念：1.容量网络：队网络上的每条弧(vi,vj)都给出一个最大的通过能力，称为该弧的容量，简记为cij。容量网络中通常规定一个发点(也称源点，记为s)和一个收点(也称汇点，记为t)，网络中其他点称为中间点。,s,t,4,8,4,4,1,2,2,6,7,9,网络的最大流,2.网络的最大流是指网络中从发点到收点之间允许通过的最大流量。,3.流与可行流 流是指加在网络各条弧上的实际流量，对加在弧(vi,vj)上的负载量记为fij。若fij=0，称为零流。满足以下条件的一组流称为可行流。
2、,容量限制条件。容量网络上所有的弧满足：0fijcij 中间点平衡条件。,若以v(f)表示网络中从st的流量，则有：,网络的最大流,结论：任何网络上一定存在可行流。（零流即是可行流）,网络最大流问题：指满足容量限制条件和中间点平衡的条件下，使v(f)值达到最大。,网络的最大流,割与割集,割是指容量网络中的发点和收点分割开，并使st的流中断的一组弧的集合。割容量是组成割集合中的各条弧的容量之和，用 表示。,如下图中，AA将网络上的点分割成 两个集合。并有，称弧的集合(v1,v3),(v2,v4)是一个割，且 的流量为18。,网络的最大流,s,t,v1,v3,v2,v4,8(8),9(5),5(5
3、),10(9),6(0),2(0),9(9),5(3),7(6),A,A,B,B,网络的最大流,定理1 设网络N中一个从 s 到 t 的流 f 的流量为v(f)，(V,V)为任意一个割集，则 v(f)=f(V,V)f(V,V),推论1 对网络 N中任意流量v(f)和割集(V,V)，有v(f)c(V,V),证明 w=f(V,V)f(V,V)f(V,V)c(V,V),推论2 最大流量v(f)不大于最小割集的容量，即：v(f)minc(V,V),定理2 在网络中st的最大流量等于它的最小割集的容量，即：v(f)=c(V,V),网络的最大流,增广链在网络的发点和收点之间能找到一条链，在该链上所有指向为
4、st的弧，称为前向弧，记作+,存在f0，则称这样的链为增广链。例如下图中，sv2v1v3v4t。,定理3 网络N中的流 f 是最大流当且仅当N中不包含任何增广链,网络的最大流,s,t,v1,v3,v2,v4,8(8),9(4),5(5),10(8),6(1),2(0),9(9),5(4),7(5),网络的最大流,求网络最大流的标号算法：基本思想 由一个流开始，系统地搜寻增广链，然后在此链上增流，继续这个增流过程，直至不存在增广链。,基本方法,找出第一个可行流，（例如所有弧的流量fij=0。）用标号的方法找一条增广链,首先给发点s标号(),标号中的数字表示允许的最大调整量。选择一个点 vi 已标
5、号并且另一端未标号的弧沿着某条链向收点检查：,网络的最大流,如果弧的起点为vi，并且有fij0，则vj标号(fji),(3)重复第(2)步，可能出现两种结局：,标号过程中断，t无法标号，说明网络中不存在增广链，目前流量为最大流。同时可以确定最小割集，记已标号的点集为V,未标号的点集合为V,(V,V)为网络的最小割。t得到标号，反向追踪在网络中找到一条从s到t得由标号点及相应的弧连接而成的增广链。继续第(4)步,网络的最大流,(4)修改流量。设原图可行流为f，令,得到网络上一个新的可行流f。,(5)擦除图上所有标号，重复(1)-(4)步，直到图中找不到任何增广链，计算结束。,网络的最大流,例6.
6、10 用标号算法求下图中st的最大流量，并找出最小割。,s,t,v1,v3,v2,v4,8(7),9(3),5(4),10(8),6(1),2(0),9(9),5(4),7(5),网络的最大流,解：(1)先给s标号(),s,t,v1,v3,v2,v4,8(7),9(3),5(4),10(8),6(1),2(0),9(9),5(4),7(5),(),网络的最大流,s,t,v1,v3,v2,v4,8(7),9(3),5(4),10(8),6(1),2(0),9(9),5(4),7(5),(),(2)检查与s点相邻的未标号的点，因fs1cs1，故对v1标号=min,cs1-fs1=1,(1),网络的
7、最大流,s,t,v1,v3,v2,v4,8(7),9(3),5(4),10(8),6(1),2(0),9(9),5(4),7(6),(),(1),(2)检查与v1点相邻的未标号的点，因f13c13，故对v3标号=min1,c13-f13=min1,6=1,(1),网络的最大流,s,t,v1,v3,v2,v4,8(7),9(3),5(4),10(8),6(1),2(0),9(9),5(4),7(5),(),(1),(1),(3)检查与v3点相邻的未标号的点，因f3tc3t，故对vt标号=min1,c3t-f3t=min1,1=1,(1),找到一条增广链sv1v3t,网络的最大流,(4)修改增广链
8、上的流量，非增广链上的流量不变，得到新的可行流。,s,t,v1,v3,v2,v4,8(7),9(3),5(4),10(8),6(1),2(0),9(9),5(3),7(5),(),(1),(1),(1),网络的最大流,(5)擦除所有标号，重复上述标号过程，寻找另外的增广链。,s,t,v1,v3,v2,v4,8(8),9(4),5(5),10(8),6(0),2(0),9(9),5(3),7(5),(),(1),(1),(1),网络的最大流,(5)擦除所有标号，重复上述标号过程，寻找另外的增广链。,s,t,v1,v3,v2,v4,8(8),9(4),5(5),10(8),6(1),2(0),9(
9、9),5(3),7(5),(),(2),(2)=min,2=2,(2),(1)=min2,3=2,(3)=min2,5=2,(2),(1),(4)=min2,1=1,(1),(t)=min1,2=1,网络的最大流,(6)修改增广链上的流量，非增广链上的流量不变，得到新的可行流。,s,t,v1,v3,v2,v4,8(8),9(4),5(5),10(8),6(1),2(0),9(9),5(3),7(5),(),(2),(2),(2),(1),(1),网络的最大流,s,t,v1,v3,v2,v4,8(8),9(5),5(5),10(9),6(0),2(0),9(9),5(2),7(6),(),(2)
10、,(2),(2),(1),(1),(7)擦除所有标号，重复上述标号过程，寻找另外的增广链。,网络的最大流,s,t,v1,v3,v2,v4,8(8),9(5),5(5),10(9),6(0),2(0),9(9),5(2),7(6),(),(1),(1),(1),(7)擦除所有标号，重复上述标号过程，寻找另外的增广链。,(2)=min,1=1,(1)=min1,2=1,(3)=min1,4=1,网络的最大流,例6.9 求下图st的最大流，并找出最小割,网络的最大流,解:(1)在已知可行流的基础上，通过标号寻找增广链。,(),(2)=min,6=6,(6),(3)=min6,2=2,(2),(t)=
11、min2,5=2,(2),存在增广链sv2v3 t,网络的最大流,(2)修改增广链上的流量，非增广链上的流量不变，得到新的可行流。,(),(6),(2),(2),网络的最大流,(3)擦除原标号，重新搜寻增广链。,(),(6),(2),(2),网络的最大流,(4)重新搜寻增广链。,(),(2)=min,4=4,(4),(1),(5)=min4,1=1,(3)=min1,2=1,(1),(1),(t)=min1,3=1,存在增广链：sv2v5v3 t,网络的最大流,(5)修改增广链上的流量，非增广链上的流量不变，得到新的可行流。,(),(4),(1),(1),(1),网络的最大流,(6)擦除原标号
12、,(),(4),(1),(1),(1),网络的最大流,(),(1),(1),(1),(5)=min,1=1,(5)=min1,1=1,(5)=min1,2=1,(7)重新搜寻增广链。,存在增广链：sv5v3 t,网络的最大流,(8)调整增广链上的流量，非增广链流量不变，得到新的可行流,(),(1),(1),(1),网络的最大流,(),(1),(1),(1),(9)擦除原标号,网络的最大流,(10)重新标号，搜索增广链,(),(1)=min,1=1,(1),(5)=min1,1=1,(1),(4)=min1,1=1,(1),(t)=min1,1=1,(1),存在增广链：sv1v5v4t,网络的最大流,(),(1),(1),(1),(1),(11)调整增广链上的流量，非增广链流量不变，得到新的可行流,网络的最大流,(),(1),(1),(1),(1),(11)擦除标号，在新的可行流上重新标号。,网络的最大流,(),(11)擦除标号，在新的可行流上重新标号。,(3),(1)=min,3=1,无法标号，不存在增广链，此可行流已为最大流。最大流量为14。,
