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1、第3章 连续系统的时域分析,3.1 线性时不变系统的描述及其响应,1.线性时不变系统（LTI系统）的分析方法 第一步：建立数学模型 第二步：运用数学工具去处理 第三步：对所得的数学解给出物理解释，赋予物理意义。,3.1.1 系统的微分方程,例1.对图示电路列写电流的微分方程。,解：由两类约束关系，分别列两回路方程得：回路1的KVL方程：,回路2的KVL方程：,电阻R的伏安关系：整理后得：,例2.对图示电路，写出激励e(t)和响应r(t)间的微分方程。,解：由图列方程,KCL:,KVL:,将（2）式两边微分，得,将（3）代入（1）得,*由以上例题可以得出如下结论：1.求得的微分方程阶数与电路的阶
2、数一致。例一：含有4个储能元件，故为四阶电路。例二：含有2个储能元件，故为二阶电路。,2.无论是电流i(t)或电压U（t）,他们的齐次方程相同。说明同一系统的特征根相同，即自由频率是唯一的。,2.描述连续时间系统激励与响应关系的数学模型。,一般，对于一个线性系统，其输入与输出之间关系，总可以用下列形式的微分方程来描述：,n阶常系数微分方程,3.n阶常系数微分方程的求解法,全响应=齐次方程通解+非齐次方程特解（自由响应）（受迫响应）,全响应=零输入响应+零状态响应（解齐次方程）（叠加积分法）,时域分析法（经典法）,变换域法（第五章拉普拉斯变换法）,微分方程求解,描述LTI连续系统激励与响应关系的
3、数学模型是n阶线性常系数微分方程。,上式缩写为：,令,特解是满足微分方程并和激励信号形式有关的解。,激励,特解,或,等于,A,有,所有特征根均不等于,自由响应（瞬态响应）,强迫响应（稳态响应）,零输入响应,零状态响应,零状态响应的齐次解,自由响应,式中,零输入响应,3.1.2 零输入响应和零状态响应,1.零输入响应(Zeroinput response,ZIR)：换路后电路无外施激励源，仅由动态元件的初始储能引起的响应。,经典法,特征方程,特征根,1）一阶系统方程,ZIR应为,2）二阶系统方程,特征方程,特征根,ZIR应为,式中，系数A1和A2由初始值yzi(0+)和yzi(0+)确定。,零状
4、态响应(Zerostate response,ZSR)：动态元件的初始储能为零，仅由外施激励源引起的响应。,2.零状态响应,一阶连续系统的微分方程的标准形式为,对上式从0-到t积分，得,对因果系统，yzs(0-)=0,若令则,上式是以为积分变量，以t为参变量的积分，常称之为卷积积分，g1(t)称为一阶系统的特征函数。,例：描述某系统的微分方程为y”(t)+5y(t)+6y(t)=f(t)求（1）当f(t)=2e-t时的零状态响应；（2）当f(t)=e-2t时的零状态响应。,解:(1)特征方程为2+5+6=0,其特征根1=2，2=3。齐次解为yh(t)=C1e2t+C2e3t,由表可知，当f(t
5、)=2et时，其特解可设为 YP(t)=Pet,将其代入微分方程得Pet+5(Pet)+6Pet=2et 解得 P=1,于是特解为yp(t)=et零状态响应为：y(t)=yh(t)+yp(t)=C1e2t+C2e3t+et,其中待定常数C1,C2由初始条件确定。y(0)=C1+C2+1=0，y(0)=2C13C21=0解得C1=2，C2=1最后得零状态响应为 y(t)=et2e2t+e3t,t0,（2）齐次解同上。当激励f(t)=e2t时，其指数与特征根之一相重。其特解为 yp(t)=(P1t+P0)e2t,代入微分方程可得 P1e-2t=e2t,所以P1=1 但P0不能求得。,全解为 y(t
6、)=C1e2t+C2e3t+te2t+P0e2t=(C1+P0)e2t+C2e3t+te2t,将初始条件代入，得 y(0)=(C1+P0)+C2=0，y(0)=2(C1+P0)3C2+1=0,解得 C1+P0=1,C2=1，最后得微分方程的全解为 y(t)=te2te2t+e3t,t0上式第一项的系数C1+P0=1，不能区分C1和P0，因而也不能区分自由响应和强迫响应。,3.2.1 冲激响应1.定义：当激励为单位冲激函数 时，系统的零状态响应称为单位冲激响应，简称冲激响应，用h(t)表示。,零状态,3.2 阶跃响应与冲激响应,2.h(t)的求解方法例1.描述某系统的微分方程为试求该系统的冲激响
7、应h(t)。解：由冲激响应的定义，当e(t)=时，,试求该系统的冲激响应h(t)。,解：,3.2.2 阶跃响应1.定义:当激励为单位阶跃函数(t)时，系统的零状态响应称为单位阶跃响应，简称阶跃响应，用s(t)或g(t)表示。,2.g(t)的求解方法,另外：,3.3.1 卷积的概念与性质,3.3 卷积及其应用,一、卷积的定义,二、卷积的性质 1.交换律：2.分配律：3.结合律：,4.卷积的微分性质5.卷积的积分性质由4.5两性质可得,6.卷积的延时性质,函数与冲激函数的卷积,函数与阶跃函数的卷积,例2、,解：,由微分性,延时性,3.3.2 系统的卷积分析法,3.3.3 卷积的计算：图形扫描法,下
8、页动画演示卷积,卷积动画,卷积动画,解：问：,利用卷积求系统的零状态响应，必须知道系统的冲激响应。虽然利用算子求冲激响应比较方便，但必须利用部分分式展开确定有关系数求取h(t)后，再与输入信号卷积后才能完成。如何直接利用卷积方法求取系统的零状态响应和冲激响应呢？这就是本节所要解决的问题。,3.4 特征函数及其应用,1.特征函数的概念,强迫函数,则,特征方程,特征根,算子形式的微分方程,如何利用卷积求零状态响应y(t)呢？一阶系统,其算子方程为：,即,方程的解为,对于二阶系统，,推广之，若n阶LTI系统的微分方程为,其特征方程的根为,则系统的ZSR为,2.特征函数的应用,故零状态响应,解：,特征方程,特征根,例2 求RLC串联电路以uC(t)为输出的冲激响应。（1）（2）（3）（4）,解：,（1）,，从而,（3）,（2）,（4）,下面再看二阶系统的阶跃响应。,求例2中的阶跃响应，只要对冲激响应分别积分即可。（1）,（2）,（3）,（4）,
