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1、通俗简易讲解“变分问题”,季泉生,由于60至70年代有限元方法的发展及其在工程上的广泛应用,变分原理作为其理论基础,显示出重要性。世界上有两个学术中心,引起各国学者的注意,一个是美国麻省理工学院的赖斯纳、日本著名学者鹫津久一郎、卞学鐄等人,另一个就是钱伟长等一批中国的科学家。,以往的变分原理工作,大都是凑出来的,即首先写出泛函,再取驻值验证。所以每一个新原理的出现都是一项重要成果。钱伟长试图找到系统的做法,他首先从最小位能原理和最小余能原理出发,把约束条件利用拉格朗日乘子引入泛函,从而先放松条件,得到相应广义化的变分原理。在变分中可以把待定的拉氏乘子确定下来,这是对建立广义变分原理的泛函提出合
2、乎逻辑的数学方法,无疑是一个重要成果。可惜在1964年将文章投给力学学报后,该报的编委予以退稿处理。从审查意见中可以看到,审查者并不完全理解拉格朗日乘子法。,日本鹫津久一郎在1968年出版的弹性和塑性力学中的变分法一书中,才比较明确地应用了拉氏乘子法,但还有一些要点上不够明确,如待定乘子通过泛函驻值条件来决定的观点还没有反映。一直到1977年,国外的文献上才有这一方面的论述。O.C钦科维奇(Zienkiewicz)在有限元法一书中明确地把Courant和Hilbert的经典著作中有关变分约束条件,待定拉格朗日乘子法加以讲解,应用到弹性力学变分原理中。比起钱伟长1964年的工作已晚了13年。,补
3、充几个概念,(1)极值曲线(函数)。在通过已知点A、B的所有曲线(函数)y=y(x)中(函数y(x)在区间a0,a1上连续),求出这样的函数,使得泛函,取得极大或极小值,这样的曲线(函数)称为极值曲线(函数)。,(2)容许曲线。满足条件 的光滑曲线称为泛函的容许曲线,即通过M0(a0,b0)、M1(a1,b1)的曲线称为容许曲线。,式中,为任意实数,易证曲线族 中的每条曲线都属于容许曲线族。,变分,可以推导出在曲线 达到极值,则 必为微分方程 的解。此方程 是欧拉1744年得出的,故称为欧拉方程。,若F不显含x,此时泛函,于是欧拉方程可降价为一阶方程。,有限元法是以变分原理为基础,吸取差分格式
4、的思想而发展起来的一种有效的数值解法,它把求解无限自由度的选定函数归结为求解有限个自由度(中待定的节点参数值的总个数)的待定问题,具有按分布形式的节点及其一定的节点参数子区域 e称为单元。,几个概念,泛函函数的函数,表达式:;,称为变分;,泛函的极值条件。,几个实例,1.最大速降问题 坐标原点到某点M(a,b)时间最短,是走什么轨道(轨迹)。根据欧拉方程降阶欧拉方程(如果泛函不含x),降阶欧拉方程,设,滚轮(半径为)沿 x 轴滚动的轨迹为旋轮线(俗称摆线)钟表中的齿轮齿形曲线不是渐开线而是摆线,其特点中心距不可分,优点精确。,2.等周问题条件泛函极值,一块钢板围成什么曲面做成的半壁料仓其容积最大。化成平面问题,定长直线,围成什么曲线使其所围面积最大。,条件:,泛函,构造一个新函数 拉格朗日乘子。根据降阶欧拉公式:,设,半径为 的圆弧,通过(0,a)点。,