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1、主 要 内 容二重积分的概念与性质二重积分的计算法二重积分的应用三重积分的概念及其计算法利用柱面坐标和球面坐标计算三重积分,第九章 重 积 分,第九章 重 积 分,1、理解重积分的定义，熟悉重积分的性质；2、掌握二重积分的计算法（包括直角坐标，极坐标），掌握三重积分的计算法（包括直角坐标，柱面坐标，球面坐标）3、熟悉重积分在几何、物理中的应用（包括平面图形的面积、立体体积；平面薄片和空间立体的质量、重心和转动惯量（惯性矩）；,第一节 二重积分的概念与性质,二重积分的引入二重积分的概念二重积分的性质,特点：平顶.,=？,特点：曲顶.,2曲顶柱体的体积,一、问题的提出,1平顶柱体的体积,二、二重积
2、分的概念,1什么是曲顶柱体？,显然，平顶柱体的体积=底面积高，而曲顶柱体的体积不能直接用上式计算，那么怎样来计算呢？,以 xoy 平面的有界闭区域D为底、侧面是以D的边界曲线C作准线而母线平行于,轴的柱面，顶是曲面,这里,且在D上连续所形成的立体称为曲顶柱体（如上图）。,2.其体积V怎样计算？,由第五章求曲边梯形面积的方法就不难想到下面的解决办法：,用一组曲线网将xoy面上的区域D划分为n个小区域,也同时记为它们的面积，,分别以各小闭区域的边界曲线为准线，作母线平行于z轴的柱面，这些柱面把原曲顶柱体分为n个小曲顶柱体当这些小闭区域的直径很小时，连续函数,的变化不大，这时小曲顶柱体可近似看作平顶
3、柱体在每个,中各任取一点,为高而底为,的小平顶柱体体积为,这n个平顶柱体体积之和,可作为整个曲顶柱体体积的近似值令n个小闭区域的直径中的最大值（记作）,趋于零，取上述和的极限，所得的极限就定义为所论曲顶柱体的体积,综合起来，即所谓“分割、近似、作和、取极限”四步。,求曲顶柱体的体积采用“分割、求和、取极限”的方法，如下动画演示,求曲顶柱体的体积采用“分割、近似、求和、取极限”的方法，如下动画演示,求曲顶柱体的体积采用“分割、近似、求和、取极限”的方法，如下动画演示,求曲顶柱体的体积采用“分割、近似、求和、取极限”的方法，如下动画演示,求曲顶柱体的体积采用“分割、近似、求和、取极限”的方法，如下
4、动画演示,求曲顶柱体的体积采用“分割、近似、求和、取极限”的方法，如下动画演示,求曲顶柱体的体积采用“分割、近似、求和、取极限”的方法，如下动画演示,步骤如下：,(3)用若干个小平顶柱体体积之和近似表示曲顶柱体的体积，,(4)取极限：曲顶柱体的体积,(1)先分割曲顶柱体的底，并取典型小区域,求平面薄片的质量,将薄片分割成若干小块，,取典型小块，将其近似看作均匀薄片，,所有小块质量之和近似等于薄片总质量（极限）,3.二重积分的定义,积分区域,积分和,被积函数,积分变量,被积表达式,面积元素,注：,(3)几何意义：当被积函数大于零时，二重积分是柱体的体积,当被积函数小于零时，二重积分是柱体体积的负
5、值,(5)面积元素为,二重积分可写为,性质,当 为常数时，,性质,（二重积分与定积分有类似的性质）,三、二重积分的性质,性质,对区域具有可加性,性质,若 为D的面积，,性质,若在D上,推论(1),则有,性质,（二重积分估值不等式）,解,性质,（二重积分中值定理）,解,性质8,思考题,将二重积分定义与定积分定义进行比较，找出它们的相同之处与不同之处.,课外思考题：能否用一个积分式表示二者？,定积分与二重积分都表示某个和式的极限值，且此值只与被积函数及积分区域有关不同的是定积分的积分区域为区间，被积函数为定义在区间上的一元函数，而二重积分的积分区域为平面区域，被积函数为定义在平面区域上的二元函数,思考题解答,二重积分的定义,二重积分的性质（7条性质）,二重积分的几何意义,（曲顶柱体的体积）,（和式的极限）,四、小结与作业,作业：P.93.习题9-12；4(2),(3)；5(2),(4).,
